Límites e continuidade

1. Límites e continuidade Limites de sucesións

2. Limite dunha sucesión A idea que hai detrás do concepto de límite é a seguinte: en determinadas situacións, os termos da sucesión tenden a un valor determinado: Valores de n Valores dos termos da sucesión Exemplo: Vemos claramente que cando n se fai moi grande, os termos da sucesión aproxímanse cada vez máis a cero. Describimos esta situación dicindo que o límite da sucesión é cero e escribimos:

3. Analogamente, estudando os termos de A definición formal de límite é: • Que significa: • L é límite dunha sucesión an se podemos achegarnos ao valor de L con termos da sucesión tanto como queiramos . • Ou • L é o limite dunha sucesión an se podemos facer a diferenza entre algúns termos da sucesión e o valor do límite tan pequena como se queira. vemos que cada vez se achegan máis a dous, e que nunca van pasar de aí: Cando unha sucesión ten límite dicimos que converxe, ou que é unha sucesión converxente O límite é o número ao que se dirixen os termos dunha sucesión sen chegar a acadalo nunca.

4. SUCESIÓN DIVERXENTE: O  Para a sucesión Diremos que unha sucesión diverxe cando o seu límite non existe porque os valores da sucesión fanse cada vez maiores: A táboa representa os valores de algúns termos da sucesión: Os valores tenden a números moi grandes pero negativos: Formalmente: Pode comprobarse que se fan cada vez máis grandes sen deterse na proximidade de ningún valor: neste caso escribiremos: Unha sucesión An dise que diverxe cando o seu límite é infinito: cando a sucesión de termos non se detén en ningún valor A sucesión diverxe

5. LÍMITES DE FUNCIÓNS Límites de funcións

6. Límites de funcións Para a función f(x) = x2- 4, A principal diferenza entre os límites de sucesións e os límites de funcións é que nas funcións non so estudamos os límites cando x se fai infinito, senón que faremos “estudios locais”: estudaremos a que valores tende a función nun entorno dun punto determinado. Vexamos algúns exemplos do que acontece nos arredores de x=2 para varias funcións. Aproximándonos a 2 desde valores superiores (maiores que 2, que se encontran no eixe á dereita do dous) observamos que os valores da función achéganse paulatinamente cada vez máis a 0, ate facerse infinitamente próximos. Aproximándonos a 2 desde valores inferiores (menores que 2, que se encontran no eixe á esquerda do dous) observamos que os valores da función achéganse paulatinamente cada vez máis a 0, ate facerse infinitamente próximos.

7. Cando os límites a ambos lados coinciden, dicimos que existe o límite da función, que é igual a ese valor común Defínese o límite dunha función como: A función da gráfica non ten límite: pola dereita vaise a -, e pola dereita o límite é -1. Ao non coincidir os límites laterais non existe límite

8. Cando x Tamén se estuda o límite das funcións cando o argumento (a variable dependente) tende a infinito: Cando x→-∞, a función toma valores cada vez máis próximos a 1, de maneira que: Na gráfica vemos que cando x→∞, a función toma valores cada vez máis próximos a 1, de maneira que: Defínense os límites dunha función cando a variable independente se fai infinita como: Como podemos comprobar se facemos unha táboa de valores: TEOREMA: O límite dunha función é único

9. LIMITES E OPERACIÓNS LÍMITES E OPERACIÓNS

10. Límites e operacións As propiedades aritméticas realizadas con sucesións e funcións permiten simplificar o cálculo de límites ao permitir descompoñelos en límites de cálculo máis sinxelo. no caso das inversas e dos cocientes, estas igualdades cumpriranse se nin as sucesións nin o límite se anulan nos denominadores, e identicamente para as funcións.

11. A principal aplicación das propiedades dos límites é o método de cálculo destes: Indeterminacións As posibles indeterminacións que poden aparecer no cálculo dos límites son: Cocientes finitos: Cocientes infinitos: Sen tanta formalidade, para calcular un límite dunha función, substitúese na expresión da función a indeterminada polo valor ao que tende: Potencias: e ademais Que facer coas indeterminacións? Cando no cálculo dun límite obtemos como resultado unha indeterminación intentaremos eliminala simplificando a expresión, mediante métodos apropiados a cada caso. Ímolos ver con detalle. Non sempre a cousa é tan simple. En moitas ocasións aparecen operacións irresolubles que reciben o nome de indeterminacións:

12. INDETERMINACIÓNS No caso: Exemplo: 1.- Factorízanse numerador e denominador e simplifícase a expresión: 1.- Miramos os límites laterais facendo as táboas de valores próximos a 2: 2.-Calcúlase o límite da expresión simplificada: Se iso permite calcular o límite: problema resolto. Se non, teremos que calcular os límites laterais para ver se existen, e de existir, se coinciden. En consecuencia: De onde: NON EXISTE

13. LÍMITES INFINITOS. O infinito e as indeterminacións Límites infinitos

14. O INFINITO E OS LÍMITES O infinito aparece no cálculo de límites: Decimos que o límite dunha función –pola dereita ou pola esquerda- cando o argumento se achega a un valor é infinito se canto máis nos achegamos ao valor do argumento máis medra o valor da función: Ou no de asíntotas: Asíntota horizontal: y = b / No exemplo: y=0 Asíntota vertical: x = a / Neste caso: No exemplo: x=1

15. A definición na linguaxe matemática: Non ten sentido falar de Os límites laterais, aínda que ambos tomen o mesmo valor, nunca van coincidir en punto ningún. Diseentón que a función diverxe en x=a. OPERACIÓNS CO  “a” é un número real positivo. As regras para operar co infinito resúmense nos cadrosseguintes, e de forma xeral, teñenunhacertalóxica, aínda que, por veces, semellencontraditorias, en especial no caso das indeterminacións.

16. Indeterminacións con  1.- A indeterminación Para resolver esta indeterminación sácase factor común a menor potencia nos pares consecutivos: Operamos : 2.- A indeterminación I.- Para resolver dividimos polamaior potencia do denominador, podendo darse tres casos: 1.-Grao do denominador >grao do numerador Neste caso o resultado do límite é sempre cero 2.- 2.-Grao do denominador <grao do numerador Neste caso o resultado do límite é sempre infinito:

17. 3.-Grao do denominador =grao do numerador Cando os graos coinciden o límite é o cociente dos termos coa maior potencia: Indeterminación 1∞. Esta indeterminación aparece no cálculo de límites da forma: Os valores da sucesión tenden a estabilizar as cifras decimais. Diversos razoamentos matemáticos confirman a idea de que a sucesión anterior ten que ter un límite: este número que sería o límite desa sucesión é o número “e”. E normalmente está asociada a un número real chamado “e”, chamado “número de Euler”,ou”Constante de Neper” que xurde do cálculo de : como pode verse natáboa: A efectos de cálculo aproximaremos : e=2,72

18. Outrassucesións que converxenao número e son: TEOREMA: Este teorema emprégase para resolver a indeterminación DEMOSTRACIÓN:

19. Continuidade Funcións continuas e descontinuas, tipos de descontinuidades.

20. Continuidade Función continua Unha función dise que é continua nun punto cando: 1.- Existe f(x0) 2.- Existen os limites laterais no punto e coinciden. Existindo entón límite da función, L 3.- O límite e o valor da función coinciden L= f(x0) A idea básica que queremos expresar co concepto de continuidade é a de que a serie de valores non se interrompe en x0. De forma gráfica, unha función é continua un punto se a representamos sen ter que levanta o lápis do papel. Nas gráficas podemos ver unha función continua e outra función Función descontinua en x=3

21. DESCONTINUIDADES NAS FUNCIÓNS Unha función é descontinuanun punto se non é continua: se non se cumprealgunha das tres condicións da definición. 1.- Non se cumpre a primeira: Se a imaxe non existe é porque x0Df. Os casos máis frecuentes son: puntos nos que se anula un denominador, intervalos da recta real nos que un radicando é negativo. non existe f(0), xa que f(0)=1/0 operación que non ten ningún resultado: o cero non é un número do dominio da función: 0Df , e polo tanto esa función é discontinua no cero. A función non toma valores para os números negativos: non teñen raíz

22. 2.-Non se cumpre a segunda que algún, ou ningún dos límites laterais exista : (que o límite lateral sexa +∞ ou -∞): A función pode non ter limite debido a: Que os límites laterais non coincidan Exemplo: Diremos entón que temos unha descontinuidade de salto infinito ou esencial Diremos que temosunhadescontinuidade de salto finito. O salto é a diferenza entre os valores dos límites laterais.

23. 3.- Non se cumpre a 3ª: Cando os límites laterais coinciden pero o valor na función é distinto temosunha Exemplo: descontinuidade evitable. Podémola evitar redefinindo a función no punto problemático co valor dos límites laterais: sería continua en x=0.