GEOMETRIA E SPAZIO

1. GEOMETRIA E SPAZIO GIULIO CODOGNI 4D

2. Nel rinascimento molti artisti, sotto l’influsso del neoplatonismo, erano convinti che lo spazio rispettasse i teoremi della geometria euclidea e, grazie a quest’idea, portarono avanti studi sulla prospettiva che diedero ottimi risultati

3. Questo metodo si basa sull’idea che lo spazio gode di alcune proprietà, chiamate postulati, la cui verità è evidente, e di altre proprietà, dette teoremi, che non sono evidenti ma possono essere dedotte logicamente dai postulati

4. Opere di Paolo Uccello, pittore del rinascimento

5. Grazie a questa chiave di lettura della realtà Copernico teorizzò un nuovo modello di Cosmo e Keplero scoprì le tre leggi che lo regolano. Inoltre Galileo diede l’inizio ad una riformulazione di tutta la cinematicae Cartesio arrivò alla geometria analitica

6. Newton, arrivò a collocare tutti gli esperimenti in un ideale palcoscenico infinito, dove tutti i corpi rispettavano, prima che le leggi fisiche, i teoremi della geometria euclidea

7. Ma questo entusiasmo per la geometria euclidea fu disatteso a circa metà dell’ottocento, si capì che la geometria euclidea non è l’unica geometria possibile, che la matematica non porta ad una verità assoluta ma ad una molteplicità di risultati tra cui si deve scegliere.

8. Per capire questo problema che portò ad un’autentica rifondazione della matematica partiamo da un indovinello

9. Un uomo cammina verso sud per 1 Km, poi cammina verso est per 1 Km, poi cammina verso nord per 1 Km … e si ritrova al punto di partenza! Com’è possibile? (La costruzione matematica, Spirito)

10. Innanzitutto proviamo a dare una veste più “geometrica” all’indovinello È possibile tracciare un triangolo con tre angoli retti?

11. Impossibile???

12. Proviamo a cercare la risposta in un bel libro:Alla fine, un martedì di Dicembre, verso l’ora di pranzo esplose in un colpo solo tutta la carica del suo tormento. I bambini avrebbero ricordato per tutta la loro vita l’augusta solennità con la quale il padre sedette a capotavola, tremante di febbre, consunto dalla veglia prolungata e dal fermento della sua immaginazione, e rivelò la sua scoperta: “La terra è tonda come un’arancia”. Ursula perse la pazienza: “Se devi diventare pazzo diventalo per conto tuo” gridò “ e non cercare di inculcare ai bambini le tue idee da zingaro” (Cent’anni di solitudine, Marquez)

13. Semplicissimo!!!

14. Possiamo trarre qualche conclusione interessante da questo indovinello? Qualcuna: • In un piano “classico”, che i matematici chiamano euclideo, è impossibile tracciare un triangolo che abbia tutti e tre gli angoli retti • Invece su una sfera, che è un esempio di piano non euclideo, è semplicissimo tracciarlo

15. Generalizzando: • Ci sono alcuni spazi, detti euclidei, dove valgono i teoremi della geometria euclidea (in questo caso: “la somma degli angoli interni di un triangolo è di 180 gradi”) • In altri spazi, detti non euclidei, i teoremi della geometria euclidea sono falsi e vengono sostituiti da altri teoremi di altre geometrie, chiamate non euclidee

16. Ecco le tre geometrie più studiate e utilizzate: • Geometria euclidea è quella dove la somma degli angoli interni di un triangolo è di 180 gradi • Geometria di Riemann: è la “geometria dell’arancia”, la somma degli angoli interni di un triangolo è sempre maggiore di 180 gradi • Geometria di Lobaceskji: è la geometria dove la somma degli angoli interni di un triangolo è sempre minore di 180 gradi

17. Adesso dovrebbe sorgere spontanea una domanda che è quasi più inerente alla metafisica che alla fisica: Quale geometria vale nello spazio che circonda? Ovvero: i teoremi di quale geometria sono validi nello lo spazio che ci circonda?

18. All’inizio Gauss e Lobaceskjitentarono un approccio empirico al problema: misuravano l’ampiezza di alcuni triangoli e, in base alla somma degli angoli interni, tentavano di stabilire quale sia la geometria corretta.

19. Però Helmholtz capì che questo approccio era sbagliato: se noi eseguiamo le nostre misure su un triangolo formato, per esempio, da raggi di luce presupponiamo una legge fisica, cioè che la luce si muove in linea retta, ma se non sappiamo ancora quale geometria è vera come facciamo a verificare questa legge?!?

20. Una delle risposte più interessanti è stata data dalla teoria del convenzionalismo, il maggiore ispiratore di questa teoria è stato Poincarè.

21. Il convenzionalismo: • Non esiste una geometria corretta, tutte le geometrie sono corrette purché abbinate ad opportune leggi fisiche • Cioè se cambiamo geometria dobbiamo modificare le leggi fisiche e viceversa • Esistono infinite coppie geometria-leggi fisiche in grado di interpretare la realtà ed è opportuno scegliere la più semplice.

22. Opere di Escher dove valgono coppie geometria-fisica non compatibili con il nostro mondo

23. Prima della relatività ristretta di Einstein la coppia utilizzata era: geometria euclidea - fisica di Newton

24. Con la relatività generale Einstein ha mostrato che • La “vecchia coppia” è valida solo con velocità molto piccole e in assenza di forze gravitazionali molto forti • La “coppia migliore” è geometria di Reimann – fisica di Einstein • Per quanto riguarda i modelli cosmologiche ipotesi fisiche diverse, anche opposte, rispettano ugualmente i dati sperimentali purché abbinate ad un’opportuna geometria