Download
1 / 47
480 likes | 723 Vues
چندی کردن ( Quantizing ) Department of Electrical Eng. Islamic Azad University Majlesi Branch. مقدمه : .
E N D
چندی کردن ( Quantizing )Department of Electrical Eng.Islamic Azad UniversityMajlesi Branch
مقدمه: سیگنال های پیام از قبیل شکل موج های صحبت یا شکل موج های تصویر دارای دامنه پیوسته بوده و در نتیجه نمونه های آنها نیز در دامنه پیوسته خواهند بود. هنگامی که این نمونه های با دامنه پیوسته توسط یک کانال با اغتشاش ارسال می گردند، گیرنده نمیتواند اندازه های دقیق دنباله ارسالی را آشکارسازی کند. اثر اغتشاش در سیستم را می توان با نمایش نمونه ها توسط تعدادی محدود سطوح از پیش تعیین شده و ارسال این سطوح توسط شماهای مدولاسیون گسسته از قبیل PAM گسسته به حداقل رسانید.
انواع سيگنال ها : سيگنال زمان پيوسته : سیگنالی است که در گستره پیوسته ای از زمان تعریف می شود. دامنه این سیگنال ممکن است گستره پیوسته ای از مقادیر باشد یا تعداد محدودی از مقادیر متمایز را اختیار نماید. سيگنال زمان گسسته : سیگنالی است که تنها در لحظه های گسسته ای از زمان تعریف می شود. اگر دامنه يك سيگنال زمان گسسته بتواند گستره پیوسته ای از مقادیر را انتخاب کند، در این صورت سیگنال را سیگنال نمونه برداری داده ها گویند.
علت تبدیل سیگنال های آنالوگ به دیجیتال *اکثر منابع اطلاعاتی ماهیتا آنالوگ هستند. منابع آنالوگ شامل منابع گفتاری، تصویری و بسیاری از منابع اندازه گیری از راه دور هستند. با توجه به اینکه پردازش، مخابره و ذخیره سازی اطلاعات دیجیتال آسانتر می باشد لازم استتوسط مبدل های مناسب، سیگنال آنالوگ را به دیجیتال تبدیل کند. * کد گذاری دیجیتال اطلاعات آنالوگ، سیگنال مقاومی با مصونیت بسیار در مقابل اعوجاج، تداخل و نویز ایجاد می کند. کد گذاری دیجیتال امکان به کارگیری تکرار کننده های بازساز برای مخابره راه دور را نیز فراهم میکند.
پارامترهای مهم در دیجیتال کردن 1- نرخ نمونه برداری( ( Sampling rate 2- نحوه کوانتیزاسیون 3- نحوه کد کردن داده ها
1- ارسال دیجیتال سیگنال های آنالوگ با اتکا به قضیه نمونه برداری امکان پذیر است. قضیه نمونه برداری بیان می دارد که یک سیکنال آنالوگ را می توان توسط مجموعه مناسبی از نمونه هایش بازسازی نمود. و بنابراین برای ارسال یک سیگنال آنالوگ، ارسال این نمونه ها کفایت می کند. نمونه های یک سیگنال آنالوگ را می توان با استفاده از شمــاهــای مدولاسیون پالس آنالوگ که در آن ها دامنه، عرض و یا مکان شکل موج پالس متناسب با اندازه نمونه ها تغییر می کند ارسال نمود. 2- روش دیگر برای ارسال اندازه های نمونه برداری شده یک سیگنال آنالوگ، چندی کردن اندازه های نمونه برداری شده به یکی از Q اندازه از قبل تعیین شده و سپس انتقال سیگنال نمونه برداری شده به یکی از شماهای مدولاسیون دیجیتال می باشد.
تعریف های مختلف چندی کردن (Quantization) 1) نمایش اندازه نمونه های آنالوگ به تعدادی محدود از سطوح مختلف را چندی کردن گویند. 2) فرایند نمایش یک متغیر با دسته ای از مقادیر متمایز را کوانتیزه کردن و مقادیر متمایز حاصل را مقادیر کوانتیزه شده گویند. 3) فرآیند نمایش یک سیگنال پیوسته یا آنالوگ با تعداد محدودی از حالتهای گسسته را کوانتیزه کردن دامنه گویند. 4) گسسته سازی در جهت دامنه(فشرده سازی اطلاعات). 5) از بین بردن قسمتی از اطلاعات مفید برای فشرده کردن اطلاعات.
در عمل بسیاری از سیگنال های دیجیتال از نمونه برداری سیگنال های آنالوگ و سپس کوانتیزه کردن آنها بدست می آیند. x(t) x(t) 4 1 سیگنال کوانتیزه شده زمان پیوسته آنالوگ زمانی پیوسته X(t) x(t) 32 سیگنال نمونه برداری داده ها سیگنال دیجیتال
کاهش اثر اغتشاش در سیستماثر اغتشاش در سیستم را می توان با نمایش نمونه ها توسط تعدادی محدود سطوح از پیش تعیین شده و ارسال این سطوح توسط شماهای مدولاسیون گسسته از قبیلPAMگسسته به حداقل رسانید. حال، اگر فاصله بین سطوح متوالی در مقایسه با تغییرات اغتشاش بزرگ باشد، در این صورت، گیرنده به سادگی وبه طور دقیق میتواند سطح ارسالی راتشخیص دهد. بنابراین، اثراغتشاش تصادفی راواقعا می توان حذف نمود.
نمونه برداری یک سیگنال پیوسته درزمان رابه یک سیگنال گسسته درزمان تبدیل می کند، چندی کردن یک نمونه با اندازه پیوسته را به یک نمونه بــا اندازه گسسته تبدیل می نماید. بنابراین،نمونه برداری وچندی کردن مشترکا خروجی یک منبع اطلاعات آنالوگ را به دنباله ای ازسطوح یا سمبل ها تبدیل می کنند.یعنی،یک منبع آنالوگ به یک منبع گسسته (دیجیتال) تبدیل می شود. مثالی ازعمل چندی کردن در شکل زیر نشان داده شده است.
اندازه واقعی سیگنال خطای چندی کردن اندازه چندی شده سیگنال شکل بالا عمل چندی کردن.m1,m2,…,m7 7سطح خروجی چندی کننده هستند. چندی کننده
ورودی چندی کننده یک فرآیندتصادفی X(t) است که بیانگرخروجی یک منبع اطلاعات آنالوگ می باشد. شکل موج تصادفی X(t) با میزان مناسب نمونه برداری شده واندازه نمونه به یکی از سطح مجاز مطابق قاعده تعیین شده زیر تبدیل می شوند. اگر
خروجی چندی کننده دنباله ای از سطوح است که درشکل بالا با نمایش داده شده است واز روی شکل مشاهده می شود که سیگنال چندی شده تقریب خوبی ازسیگنال اصلی است.کیفیت تقریب رامی توان باانتخاب دقیق mi ها و xi ها طوری بالا بردکه نوعی اندازه کا رآیی سیستم بهینه گردد.
معیاری که اغلب برای اندازه گیری کارآیی چندی کننده به کار می رود،نسبت توان خروجی سیگنال به توان اغتشاش حاصل از چندی کردن است که به صورت زیر تعریف می شود: با توجه به اینکه کارآیی کلی شماهای ارسال دیجیتال سیگنال های آنالوگ توسط نسبت سیگنال به اغتشاش اندازه گیری می شود وبا توجه به اینکه کیفیت سیگنال دریافتی بستگی به دقت درنمایش اندازه نمونه ها دارد.نسبت سیگنال به اغتشاش چندی کردن که در معادله تعریف شده معیار مناسبی برای اندازه گیری کیفیت سیگنال خواهد بود.حال چندروش مختلف رابرای چندی کردن اندازه های نمونه برداری شده یک فرآیند تصادفی بررسی می کنیم.
انواع چندی کردن1- چندی کردن یکنواخت 2- چندی کردن غیر یکنواخت 3- چندی کردن تفاضلی
کوانتیزه یکنواخت در کوانتیزه یکنواخت تمام نواحی کوانتیزه بجز اولین و آخرین ناحیه یعنی R1 و Rn طول مساوی دارند که با Δ نشان داده می شوند. می توان نشان داد که سطح بهینه کوانتیزه در هر بازه، مرکز آن است. با توجه به اینکه داده های مـوجـود در هـر یـک از نـواحی دارای فراوانی مخصوص به خود می باشند می توان برای هر یـک از آنها تابع احتمـالـی در نظر گرفت. تابع چگالی احتمال اهمیت هر یک ازداده ها را در نواحی کوانتیزه نشان می دهد. با توجه به مفهوم امید ریاضی داده ها را بر اساس تابع احتمال وزن دار نموده و میانگین داده ها را با دقـت منـاسبـی محاسـبه نمود.
برای ساد گی، فرض خواهیم کرد یک فرآیند تصادفی ایستان با میانگین صفروتابع چگالی احتمال باشد.مسئله چندی کردن عبارتست از تقریب یک متغیر تصادفی پیوسته با یک متغیر تصادفی گسسته #برای محاسبه خطای چندی کردن از معیار میانگین مربع ها استفاده می کنیم. مثالی از چندی کردن یکنواخت. اندازه گام=∆وQ=4
در این روش چندی کردن، برد متغییر تصادفی X بهفاصله مساوی تقسیم می شود. اگر X در فاصله چندی iام قرارگیرد، در این صورت اندازه چندی شده X برابر با نقطه میانی فاصله خواهد بود (شکل پیش را ببینید ).اگر a و b به ترتیب حداقل وحداکثر مقادیر X باشند، در این صورت اندازه فاصله ها و یا اندازه گام ها برابر خواهد بود با: خروجی چندی شده مطابق رابطه زیر تولید می شود.اگرکه در آنو
تقویت کننده عملیاتی مقایسه کننده Xورودی FF FF FF FF AND پالسهای ساعت شکل بالا یک چندی کننده یکنواخت 16 سطحی. اندازه گام =1 ، کلمه کد متناظر باسطح را می دهد. میزان ساعت خیلی بیشتر از میزان نمونه برداری فرض می شود وQ=1.
یک چندی کننده یکنواخت (مبدل A/D)که کد باینری را برای سطوح خروجی تولید می کند درشکل بالا نشان داده شده است و شامل یک شمارنده باینری، یک ماتریس مقاومتی و وسیله جمع کننده و یک مقایسه کننده است. ورودی چندی کننده بنا به فرض بین 0/5- ولت تا 15/5 ولت می باشد ( اگر برد X خارج از این فاصله باشد، در این صورت تغییر مقیاس وجابه جایی سطوح ضرورت دارد). در لحظه شروع چندی کردن شمارنده در صفر تنظیم شده و خواهد بود.
با افزایش شماره ( در حالی که دریچه AND باز است ) اندازه افزایش می یابد. به محضی که در فاصله 0/5 ولت از X قرار گرفت، خروجی مقایسه کننده برابر با صفر شده و دریچه AND بسته شده وپالس های زمان سنجی به منظور جلوگیری از افزایش شمارنده مسدود می شوند. خروجی تقویت کننده عملیاتی )(Op-amp اندازه چندی شده X یعنی را نشان داده و خروجی فلیپ فلاپ یک کلمه کد باینری را برای سطح خروجی تامین می کند. در این مثال اندازه عددی کلمه باینری برابر با اندازه می باشد.
توان اغتشاش چندی کردن برای چندی کننده یکنواخت برابر است با:که در آن و . توان سیگنال در خروجی چندی کننده را می توان با استفاده از رابطه روبرو به دست آورد:نسبت کیفیت کار ( کارآیی ) چندی کننده یکنواخت را نشان می دهد. با معلوم بودن تابع چگالی X این نسبت قابل محاسبه است.
مثال: وردی یک چندی کننده Q - سطحی یکنواخت دارای توزیع یکنواخت در فاصله ی می باشد. مطلوبست محاسبه نسبت سیگنال به اغتشاش چندی کردن در خروجی این چندی کننده: حل:با استفاده از معادله بالا داریم: زیرا
حال با استفاده از معادلات فوق توان سیگنال خروجی را حساب می کنیم:و بنابراین نسبت سیگنال به اغتشاش چندی کردن برابر خواهد بود با :
q های برابر 64 و 128 برای سیگنال های صوتی مناسب است زیرا به ترتیب معادل 27 و 33 دسیبل می شود. بـرای کـاربرد های ارسال داده ها، بالاتر ( احتمال خطای کمتر ) مورد نیاز است. در این حالت دو ستون آخر جدول یعنی تعداد سطوح 2048 و 4096 مناسب هستند. کوانتیزه کننده یکنواخت دارای سادگی در ساخت و عمل است، اما یکی از مسایل اساسی در کوانتیزه کننده های یکنواخت این است که چون کـلیـه پـله هـا بـا هـم مشـابهند و سیگنال ورودی اغلـب دارای تـابـع چگالی احتمال غیر یکنواخت است، کیفیت حاصل از این نوع کوانـتیزه کننده رضایت بخش نیست. لذا جهت تطابق تعداد و طول پله ها با تابع چگالی احتمال سیگنال، کوانتیزه کننده غـیر یـکنواخت معرفی می شود.
معادله فوق نشان می دهد که با افزایش یعنی تعداد سطوح چندی کننده، کارآیی چندی کنـنـده افزایش می یابد. اگر تعداد زیادی سطوح با فاصله کوچک از یکدیگر به کار گرفته شوند، در این صورت خروجی را می توان به اندازه دلخواه به ورودی یعنی X نزدیک نمود. تعداد سطوح براساس کارآیی (وفا داری) مورد نظر در انتقال (کیفیت کار) تعیین می شود. تجربه نشان داده است که برای سیگنال صحبت انتخاب 8 یا 16 سطح تا حدودی کافی است. اما اغتشاش چندی کردن ( که توانش تقریبا در باند سیگنال به طور یکنواخت توزیع شده است ) به سادگی در زمینه صحبت شنیده می شود. در سیستم های تجارتی تلفنی ( استاندارد ) برای به دست آوردن نسبت سیگنال بـه اغتشاش برابر با dB42 ، تعداد سطوح لااقل برابر با 128 به کار برده می شود که در نتیجه برای نمایش هر یک از نمونه های چندی شده به 7 بیت نیاز است و بنابراین به پهنای باند بیشتر از سیگنال صوتی آنالوگ چندی نشده احتیاج خواهد بود.
اگر سیگنال ورودی دارای توزیع یکنواخت باشد، چندی کننده یکنواخت بیشترین نـسـبـت سـیـگنال بـه اغتشـاش چندی کننده را دارا خواهـد بود. مقدار موثر اغتشاش چندی کننده، مستقل از اندازه های نمونه های X که باید چندی شوند، در تثبیت می شوند. بنابراین،اگر سیگنال برای مدت مدیدی کوچک بماند، نسبت سیگنال به اغتشاش ظاهری خیلی کمتر از مقدارطراحی خواهد بود. این اثر به خصوص هنگامی که ضریب قله (نسبت پیک به مقدار موثر) سیگنال بزرگ باشد قابل توجه است. برای چندی کردن چنین سیگنال هایی تغییر فاصله بین سطوح بدین ترتیب که فاصله کمتر در مـجـاورت صـفـر و فـاصله بزرگتر در مجاورت دو انتهای سیگنال به کار برده شوند، سودمند خواهد بود.
چندی کردن غیر یکنواختیـک چنـدی کننده غـیـر یکنواخت از اندازه گام متغیـیر استفاده می کند و دارای دو مزیت مهم نسبت به چندی کننده ی یکنواخت می باشد. اولا برای سیگنال ورودی با توزیع غیر یکنواخت که اغلب در وضعیت های عملی اتفاق می افتد، نسبت سیگنال به اغتشاش، چندی کردن بیشتری نسبت به چندی کننده یکنواخت می دهد. ثانیا مقدار موثر (rms ) اغتشاش چندی کننده در یک چندی کننده غیر یکنواخت اساسا متناسب با اندازه لحظه ای نمونه برداری شده X بوده و در نتیجه اثراغتشاش چندی کننده پوشانیده می شود.
مثالی از چندی کردن غیر یکنواخت در شکل پایین نشان داده شده است. یک چندی کننده غیر یکنواخت برای متغیر گوسی، و و
ورودی چندی کننده یک متغییرتصادفی گوسی بوده وخروجی آن مطابق رابطه زیر حساب می شود: اگراندازه گام متغییر می باشد. نقاط انتهایی چندی کننده و سطوح خارجی طوری انتخاب می شوند که نسبت سیگنال به اغتشاش چندی کردن حداکثر گردد.
در عمل، یک چندی کننده غیر یکنواخت از یک فشرده کننده نمونه ها(1) و به دنبال آن، یک چندی کننده یکنواخت ساخته می شود. فشرده کننده با استفاده از یک تبدیل غیر خطی g متغییر ورودی X را به یک متغییر دیگر Yکه دارای توزیع یکنواخت است تبدیل می کند. حال Y به طور یکنواخت چندی شده و ارسال می گردد. در گیرنده یک گسترنده (2) با تبدیلاندازه های چندی شده Xرا بازیابی می کند.تلفیق فشرده کننده وگسترنده را کامپندینگ ( Companding ) گویند.کامپندری که بیشتر به کار می رود از تابع فشردن استفاده می کند،در این صورت تعداد سطوح در نزدیکی صفر زیاد بوده و فاصله سطوح در حوالی مقدار پیک X زیادتر می شود.دو نوع رایج فشردن لگاریتمی که به انواع موسومند به صورت زیر تعریف می شوند: 1= Sample compressor 2= Expander
ومقادیر عملی در حدود 100 می باشند،این دو نوع فشردن لگاریتمی توان متوسط اغتشاش چندی کردنی را که تا حدودی زیادی مستقل از آمارگان( Statistics ) سیگنال می باشد،می دهند.طراحی یک چندی کننده غیر یک یکنواخت را می توان به صورت زیر دنبال نمود:متغییر تصادفی پیوستهX تابع چگالی احتمال مفروض است.می خواهیم متغیر تصادفی X را بر اساس معادله زیر با یک متغیر تصادفی گسسته تقریب بزنیم. اگر
یک فشرده کننده برای تبدیل یک چندی کننده غیر یکنواخت به یک چندی کننده یکنواخت
سطوح وفواصل چندی کردن باید طوری انتخاب شوند که تعریف شده در معادله حداکثر گردد. تعداد سطوح بزرگ است و بنابراین ، و نسبت وقتی حداکثر می شود که حداقل گردد.حداقل کردن به صورت زیر انجام می پذیرد.با این رابطه شروع می کنیم:با توجه به اینکه می خواهیم حداقل را برای یک ثابت به دست آوردیم،با مشتق گیری از نسبت به ها و ها و مساوی صفر قرار دادن این مشتق ها شرایط لازم برای این کار را حساب می کنیم.
با استفاده از معادله داریم:یامعادله فوق نشان می دهد که میانگین آماری jامین فاصله چندی کننده می باشد. دستگاه معادلات همزمان فوق را برای یک اختیاری وبه فرم بسته نمی توان حل کرد. برای یک تابع مشخص یک روش حل معادلات بدین صورت است که با انتخاب مقادیر متوالی ها و ها را با به کار بردن معادلات قبل حساب نمود.اگر درست انتخاب شود، دراین صورت درپایان محاسبات، میانگین فاصله خواهد بود . اگر میانگین امین فاصله نباشد، در این صورت مقدار دیگری برای در نظر
گرفته و روش محاسبه را تکرار می کنیم تا مقادیر مناسب و به دست آیند. خواننده می تواند برای محاسبه فواصل چندی کردن و میانگین های مربوطه یک برنامه کامپیوتری بنویسد.نقاط انتهایی فواصل چندی کننده و سطوح خـروجـی برای یک متغییر تصادفی نرمال توسط J.max محـاسـبه شده اسـت .[1] برای بدسـت آوردن وابـسـتـگی تـابعی به تعداد سطوح تلاش هایی صورت پذیرفته است. برای یک متغییرتصادفی نرمال باواریانس 1،Max نشان داده است[1] که توسط رابطه زیربا بستگی دارد: وقتیاگر واریانس متغییر تصادفی برابر با باشد، در این صورت رابطه بالا برابر خواهد بود با:
حال، اگر فرض کنیم X دارای میانگین صفر است، در این صورت:و بنابراین: معادله بالا را برای بدست آوردن تعداد سطوح مورد نیاز برای یک نسبت سیگنال به اغتشاش داده شده می تواند به کار برد.
چندی کردن تفاضلیدر بـخـش هـای قبل دیدیم که یک فرآیند تصادفی پیوسته را می توان به طور کامل توسط دنبـاله ای از نـمونـههایش نمایش داد و دیدیم که نمونه های را می توان با مجموعه ای از سطوح چندی شده تقریب زد. در روش های چندی کردنی که تاکنون بررسی کردیم هر نمونه مستقل از اندازه نمونه های قبلی چندی می شد.در بسیاری از وضعیت های عملی، به دلیل ماهیت آماری سیگنال وهمچنین به دلیل نمونه برداری با میزان بالا، دنباله مرکب از نمونه هایی خواهد بود که با یکدیگر همبسته هستند.شمای چندی کردن تفاضلی همبستگی نمونه به نمونه سیگنال را درپردازش چندی کردن درنظرمی گیرد. برای تعداد سطوح بر نمونه داده شده، شمای چندی کردن تفاضلی توان اغتشاش کمتری را نسبت به شماهای چندی کردن مستقیم می دهد.قبل از بررسی شماهای چندی کردن تفاضلی مثالی رابیان می کنیم که مزیت اصلی شماهای چندی کردن تفاضلی را نشان می دهد.
مثال:سیگنال پیام X(t) در یک سیستم مخابراتی، یک فرآیند تصادفی گوسی ایستان با میانگین صفر بوده و به میزان 10000نمونه بر ثانیه نمونه برداری می شود.تابع خود همبستگی نرمالیزه شده برای برابر با0/8 می باشد، دو شمای چندی کردنزیر در نظر گرفته می شوند. الف)چندی کننده غیریکنواخت با ، که به طورمستقل بروی هریک ازنمونه هاعمل می کند.ب)چندی کننده غیر یکنواخت با که بر روی تفاضل متوالی دونمونه یعنیعمل می کند.با فرض اینکه مقدار خطای چندی کردن به مفهوم میانگین مربع ها وبرای یک متغییر تصادفی نرمال باواریانس برابر با باشد، خطای چندی کردن به مفهوم میانگین مربع ها را برای دو شما چندی کردن بالا حساب کنید:
حل:الف)برای چندی کننده که بر روی نمونه ها به طور مستقل عمل می کند،خطای میانگین مربع ها برابر است با:ب)در شمای چندی کردن تفاضلی،متغییری که چندی می شود برابر است با: وواریانسY برابر است با:
بنابراین،خطای میانگین مربع ها برای شمای چندی کردن تفاضلی برابر خواهد بود با: که به طور قابل ملاحظه ای از خطای حاصل در شمای چندی کردن مستقیم کمتر است.
مثال قبل نشان می دهد که مادامی که همبستگی نمونه ها بالا باشد، شمای چندی کردن تفاضلی خطای میانگین مربعهای کمتری را نسبت به شماهی چندی کردن مستقیم تولید می کند. این کاهش در خطا مادامی که همبستگی نمونه به نمونه غیر صفر باشد امکان پذیر است.این کاهش در خطا وقتی حداکثر است که چندی کننده تفاضلی روی تفاضل بین و تخمین به مفهوم میانگین مربع های عمل می کند.
کوانتیزه کردننکاتی در مورد • با افزایش تعداد بیت دقت بالاتری خواهیم داشت. • 8 بیت : 256 مقدار ممکن • 16 بیت : 65536 مقدار ممکن • مشکل کوانتیزه کردن • با 8 بیت بسیاری از سطوح برای دامنه سیگنال قابل بیان نخواهد بود. • تولید نویز
نسبت سیگنال به نویز • نسبت بزرگی سیگنال واقعی به سیگنال نویز (SNR) نامیدهمی شود – یک واحد اندازه گیری کیفیت سیگنال است. • SNR معمولا در واحد دسی بل(dB) اندازه گیری می شود. • علاوه برهر نویزی که ممکن است در سیگنال آنالوگ اصلی وجود داشته باشد ، یک خطای اضافه وجود دارد که نتیجه ای از کوانتایز شدن است .
نسبت نویز کوانتایز شده به سیگنال (SQNR) (c)برای یک کوانتایز صحیح N بیت هر نمونه ، SQNR می تواند به سادگی بیان شود : توجه : • اگر ولتاژ سیگنال در بازه [-Vmax,+Vmax] باشد آنگاه Vmax را به 2N−1 − 1 (≃ 2N−1) و –Vmax را به −2N−1 نسبت می دهیم • فرمول فوق، نسبت پیک سیگنال به نویز است (PSQNP: پیک سیگنال و پیک نویز )
منابع :سیستمهای مخابراتی ( کارلسون، کریلی، راتلج ترجمه : محمود دیانی )مخابرات آنالوگ و دیجیتال ( سان شاموگام ترجمه : دکتر محمد رضا عارف )مقدمه ای بر مخابرات دیجیتال و کاربردهای آن
