1 / 67

Multimedijske komunikacije

Multimedijske komunikacije. Fourierova, DCT i DWT transformacija. Fourierovi redovi. Periodičnu funkciju x(t) s periodom T možemo aproksimirati trigonometrijskom sumom. gdje je. Ako za a k i b k izaberemo Fourierove koeficijente.

jeri
Télécharger la présentation

Multimedijske komunikacije

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Multimedijske komunikacije Fourierova, DCT i DWT transformacija

  2. Fourierovi redovi • Periodičnu funkciju x(t) s periodom T možemo aproksimirati trigonometrijskom sumom • gdje je

  3. Ako za ak i bk izaberemo Fourierove koeficijente • aproksimacija sn(t) će u smislu srednjeg kvadratnog odstupanja biti najbliža x(t) • Za svaku po odsječcima neprekinutu funkciju Fourierov red konvergira prema x(t) za n

  4. Fourierov red možemo napisati i kao • Za Fourierov red vrijedi Parsevalova jednadžba

  5. U kompleksnom području Fourierov red glasi

  6. Fourierova transformacija Definicija: Vrijedi Parsevalova jednakost energije signala u vremenskoj i frekvencijskoj domeni

  7. Uz: Slijedi: • To znači da su Fourierovi koeficijenti cn uzorci X(f) na frekvencijama nf0 pomnoženi s f0 (odnosno 1/T) – razmak između frekvencijskih komponenata je f0

  8. Zašto govorimo o Fourierovoj transformaciji? • Koeficijenti dobijeni Fourierovom transformacijom predstavljaju frekvencijski sadržaj signala – možemo raditi spektralnu analizu signala • Moramo razmotriti što je s F. transformacijom neperiodičnog signala i k tome još diskretnog (s kakvim se susrećemo u multimediji)

  9. Vremenski diskretni signal • Razmatrat ćemo sinusoidu • i njenu diskretnu verziju • gdje je 1/Ts frekvencija uzorkovanja, a =Ts=2fTs predstavlja digitalnu frekvenciju diskretne sinusoide

  10. tako da x(nTs) možemo pisati kao sekvencu • digitalna frekvencija =Ts=2fTs određuje koliko uzoraka sinusoide ćemo uzeti kada je frekvencija uzorkovanja fs=1/Ts • npr. ako je  = /2 uzet ćemo 4 uzorka sinsoide po periodi • ako je  =  uzet ćemo 2 uzorka sinsoide po periodi (ali će svi biti jednaki) • ako je  >  imat ćemo 1 ili manje uzoraka po periodi i više ne možemo razlikovati različite sinusoide – pojavljuje se aliasing

  11. Slijedi da digitalna frekvencija ne može biti jednaka ili veća od  Odnosno:

  12. fs=1000 Hz

  13. Problem aliasinga rješavamo ili analognim filtriranjem signala (gušenjem frekvencija iznad fs/2) ili “oversamplingom” fs/2

  14. Fourierova transformacija diskretnog signala • Diskretni signal možemo iskazati kao umnožak kontinuirane funkcije x(t) i impulsnog niza T

  15. Dobijena diskretna funkcija xS(t) može se napisati u obliku • Niz T je periodičan s periodom T=1/fs pa ga možemo iskazati preko Fourierova reda

  16. f Sad možemo naći Fourierovu tansformaciju diskretnog niza xS(t)

  17. Zamjenom redoslijeda sumacije i integracije • integral je spektar signala x(t) pomaknut za kfs (k je cijeli broj od - do  pa se osnovni spektar ponavlja)

  18. kontinuirani signal t kontinuirani spektar f

  19. diskretni signal kontinuirani spektar

  20. Može se pokazati da se spektar diskretnog signala može računati direktno iz diskrtne sekvence xS(t) • Zamijenimo mjesta sumacije i integracije

  21. Znači vrijedi: • Može se pokazati da vrijedi i inverzna Fourierova transformacija

  22. Fourieova transformacija diskretnog periodičnog signala • Realni diskretni signali su konačni, i želimo ih prikazati konačnim brojem frekvencijskih komponenti • Način da to postignemo je da od signala duljine N uzoraka umjetno napravimo periodični tako da ga ponavljamo • Diskretni signal x(n) ima PERIODIČAN SPEKTAR (zbog diskretnosti signala u vremenskoj domeni) koji se ponavlja svakih 2 (područje frekvencija se može iskazati kao (- , ) ili (0, 2) • Diskretni periodični signal x(n) ima PERIODIČAN I DISKRETAN SPEKTAR (diskretan zbog periodičnosti u vremenskoj domeni) – razmak između komponenti je 2/N

  23. Spektar diskretnog periodičnog signala može se iskazati preko Fourierovog reda • U slučaju diskretnog periodičnog signala govorimo o Diskretnoj Fourierovoj Transformaciji – DFT • DFT možemo računati brzim postupkom - FFT

  24. Sažetak

  25. y(k) Primjer 1. N=240; k=1:N; y(k)=5*sin(2*pi*10*(k-1)/N) U Matlabu fft funkcija računa sljedeće f(y) fy=abs(fft(y))*2/N;

  26. y(k)  0 Primjer 1. • y ima 240 uzoraka sinusoide • fft(y) ima 240 uzoraka spektra • kako bi amplitude spektra odgovarale amplitudi sinusoide potrebno je napraviti normiranje s 2/N • spektar pokazuje dvije frekvencije fft(y)(11)=0 - 600j fft(y)(231)=0 + 600j • N/2 uzorku spektra odgovara frekvencija , odnosno fs/2 f(y)

  27. 120 Hz -10 Hz 10 Hz -40 Hz -90 Hz  0 Primjer 1. • spektar je u području frekvencija od 0 do 2 - od fizikalnog značaja nam je područje od 0 do  • Iza N/2 uzorka pojavljuju se negativne frekvencije (ciklički se nastavljaju na fS/2 frekvenciju) • frekvencijska razlučivost je fS/N - Neka je fS=240 Hz, u ovom slučaju razlučivost je 1 Hz - ako želimo povećati frekvencijsku razlučivost moramo povećati period mjerenja signala, odnosno N 0

  28. Primjer 2. • Frekvencija sinusoide • f=10 Hz • Frekvencija uzorkovanja • fS= 40 Hz • Period promatranja • T0=0.1 s • Broj uzoraka • N= 4 • frekvencijska razlučivost • 1/T0= fS /N=10 Hz

  29. Primjer 3. • Frekvencija sinusoide • f=10 Hz • Frekvencija uzorkovanja • fS= 40 Hz • Period promatranja • T0=0.3 s • Broj uzoraka • N= 12 • frekvencijska razlučivost • 1/T0= fS /N= 3.333 Hz

  30. Primjer 4. • Frekvencija sinusoide • f=10 Hz • Frekvencija uzorkovanja • fS= 40 Hz • Period promatranja • T0=0.25 s • Broj uzoraka • N= 10 • frekvencijska razlučivost • 1/T0= fS /N= 4 Hz

  31. Primjer 5. • Frekvencija sinusoide • f=10 Hz • Frekvencija uzorkovanja • fS= 40 Hz • Period promatranja • T0=1.95 s • Broj uzoraka • N= 78 • frekvencijska razlučivost • 1/T0= fS /N= 0.51 Hz

  32. DFT – važne napomene • Kod realnih signala moramo znati fS • da spriječimo aliasing signal moramo prije uzorkovanja filtrirati tako da najveća frekvencija signala fmax< fS/2 • Kad napravimo fft u Matlabu dobijemo spektar s pozitivnim i negativnim fekvencijama • za N uzoraka signala dobijemo N uzoraka spektra • od 0 do N/2 uzorka spektra su frekvencije od 0 do fS/2 Hz • od N/2 +1 do N s uzorci spektra negativnih frekvencija • Amplitudu trebamo normirati (podijeliti) s 2/N (za funkciju fft u Matlabu) • Frekvencijska rezolucija je fS/N • Ako period uzorkovanja nije jednak cijelom broju perioda tada zbog frekvencijske rezolucije ne dobijemo amplitudu točne frekvencije i spektar je aproksimacija pravog spektra • Za inverznu fft trebamo i pozitivne i negativne uzorke spektra

  33. Diskretna kosinusna transformacija - DCT • Kod DCT bazne funkcije transformacije su kosinusne (realne) funkcije • Inverzna DCT

  34. DCT se koristi u transformacijskom kodiranju mirnih i pokretnih slika u većini standarda (JPEG, MPEG-1, MPEG-2, MPEG-4) • prednost nad fft je u boljoj aproksimaciji linija s manje koeficijenata

  35. Dvodimenzionalna DCT • Slika je dvodimenzionalni signal pa se na nju primjenjuje 2D-DCT • 2D-DCT funkcije f(x,y) dat će dvodimenzionalni spektar s frekvencijama u i v

  36. Dvodimenzionalna blok DCT • S obzirom da se sadržaj slike mijenja po dijelovima, tako se i frekvencijski sadržaj mijenja po dijelovima • Kako bi se bolje prikazale lokalne značajke slika se dijeli na blokove (obično veličine 8x8 piksela) i na njima se radi DCT

  37. Dvodimenzionalna blok DCT • na svakom bloku • blok sadrži 64 vrijednosti amplituda p(x,y) • nakon DCT dobiju se 64 koeficijenta d(u,v)- predstavljaju amplitude dvodimenzionalnih prostornih frekvencija u i v

  38. Za u = v = 0 slijedi • Za u=1, v=0 slijedi 0.9808 0.8315 0.5556 0.1951 -0.1951 -0.5556 -0.8315 -0.9808

  39. Bazne funkcije DCT

  40. Bazne funkcije DCT

  41. Primjer kompresija 6:1, bez blokova kompresija 6:1, blokovi 8x8 original

  42. Wavelet transformacija • Waveleti su lokalizirane oscilirajuće funkcije definirane kao dilatacije i translacije osnovne wavelet funkcije ili “mother wavelet” (t) • Waveleti su bazne funkcije wavelet transformacije tako da funkciju f(t) možemo prikazati kao sumu waveleta s određenom amplitudom xj,k • Analiza funkcije f(t) • Sinteza funkcije f(t)

  43. Primjer wavalet funkcija (t) i (2t) (Daubeschies least asymmetric wavelet)

  44. Wavelet transformacija • Wavelet funkcije se formiraju na specifičan način iz skalirajuće funkcije (t) • Skalirajuća funkcija (t) • pomoću dilatacijske jednadžbe • i wavelet jednadžbe

  45. Daubechies wavelet najmanje asimetrije D4

  46. 9/7 biortogonalni wavelet

  47. Wavelet transformacija • h(k) i g(k) su koeficijenti koji određuju svojstva wavelet funkcija – oblik, glatkoću, ortogonalnost • Razvijene su metode za proračun ovih koeficijenata, a prema uvjetima koji se na njih postavljaju razlikujemo obitelji waveleta – npr. Daubeschievi waveleti najmanje simetrije, biortogonalni waveleti, Haarovi waveleti itd. • Za proračun wavelet transformacije važno je svojstvo waveleta da njihove amplitude (koeficijente wavelet transformacije) xj,k za danu funkciju f(t) možemo izračunati brzim rekurzivnim piramidalnim algoritmom. • Do ovog algoritma dolazi se primjenom dilatacijske i wavelet jednadžbe.

  48. Wavelet transformacija • Može se pokazati da piramidalni algoritam predstavlja u stvari niz konvolucija s koeficijentim h(k) i g(k) pa proračun wavelet koeficijenata xj,k se može smatrati digitalnim filtriranjem • Koeficijenti h(k) i g(k) pri tome imaju svojstvo impulsnog odziva wavelet filtara • h(k) predstavlja niskopropusni, a g(k) visokopropusni filtar

  49. Waveleti kao digitalni filtri • primjenom konvolucije računaju se koeficijenti cj-m i dj-m • koeficijenti cj-m predstavljaju aproksimaciju signala na razini m a koeficijenti dj-m predstavljaju detalje na toj razini (rezoluciji) • Funkciju f(x) možemo rastaviti na detalje na razinama od 0 do M i apoksimaciju na razini M – proračunavamo piramidalnimal goritmom razinu po razinu

  50. Waveleti kao digitalni filtri

More Related