MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA

1. MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA Juan C. Fernandez 3 - Señales FIUBA 2012

2. Señales y sistemas lineales MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 3 Señal: Cualquier función del tiempof(t)que lleva información. Sistema: Equipo que convierte unaseñal de entradaf(t)en unaseñal de salidag(t). Las señales de entrada y salida pueden ser múltiples, en cuyo caso se repre-sentan por un vector de funciones: Sistema lineal: Es aquél en que vale la superposición de efectos: FIUBA 2012

3. Señales y sistemas lineales MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 3 Autovalores y autofunciones: Sea una función estímulo que depende del tiempo y de un cierto parámetro : f(t). Decimos que esta función estímulo es una autofunción de un cierto operador lineal £ si: donde H() es un valor complejo dependiente de  pero independiente de t, llamado autovalor asociado con la autofunción. Como el autovalor es en general una constante compleja, se puede escribir en forma polar: donde A() es la amplitud y () es la fase del complejo H(). Entonces:  y se observa que la aplicación de un operador lineal a una autofunción tiene como resultado una versión escalada y eventualmente desfasada de esta misma autofunción. FIUBA 2012

4. Señales y sistemas lineales MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 3 Representación de señales por superposición: En sistemas lineales podemos expresar el estímulo como una suma o superpo-sición de funciones: Entonces, por la linealidad del operador £, la respuesta será: Y se ve que: La linealidad permite representar una función estímulo mediante una suma o superposición lineal de otras funciones elementales, calcular la respues-ta para cada estímulo elemental y luego sumar los resultados para obte-ner la respuesta del sistema al estímulo original. FIUBA 2012

5. Señales y sistemas lineales MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 3 Representación de funciones del tiempo mediante conjuntos completos de funciones ortogonales: Retomamos la representación de una función del tiempo como una superposi-ción de funciones: Suponemos que esta representación es válida dentro de un dado intervalo T. En general, todas las cantidades del desarrollo serán cantidades complejas. Definimos el llamado producto internode dos funciones: donde el asterisco indica el complejo conjugado de la función. Un caso particular es la normade una función Decimos que dos funciones hn(t) y hm(t) son ortogonales en T si: Si además la norma vale 1, se dice que las funciones son ortonormales. FIUBA 2012

6. Señales y sistemas lineales MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 3 Representación de funciones del tiempo mediante conjuntos completos de funciones ortogonales (cont.): Si la representación de la función del tiempo es una superposición de funcio-nes ortogonales: podemos diseñar un método de cálculo de los “coeficientes” k. Multiplicamos el desarrollo por e integramos sobre el intervalo de definición T: de donde: Definimos el error cuadrático medio de la representación enT: Si el conjunto de funciones {hn(t)} es completo, entonces el error cuadrático medio tiende a cero para todo punto dentro de Tparacualquierfunción f(t) a representar. FIUBA 2012

7. Señales y sistemas lineales MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 3 Delta de Dirac y Representación Delta: La Delta de Dirac en el tiempo se define como: dondeT es un intervalo de tiempo. Entonces podemos escribir (t T): Esta ecuación representa la función como una superposición de sus valores muestreados en los sucesivos puntos del recinto de integración. Aunque esta representación - la representación delta - parece trivial, vemos a continuación que su aplicación a sistemas lineales nos da un poderoso meca-nismo de estudio. FIUBA 2012

8. Señales y sistemas lineales MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 3 Delta de Dirac y Representación Delta (cont.): Sea un sistema lineal: Entonces, usando la representación Delta para f(t): Obsérvese que el operador £ actúa sobre el tiempo no primado. Definimos la respuesta impulsiva del sistema como: y entonces podemos escribir: Las integrales de las representaciones delta, llamadasintegrales de super-posición, definen completamente la respuesta del sistema en base a su res-puesta impulsiva en todos los puntos del intervalo de representación. La respuesta impulsiva de un sistema se conoce en la literatura física como la función de Green del problema. FIUBA 2012

9. Señales y sistemas lineales MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 3 Sistemas lineales invariantes: Decimos que un sistema lineal es invariante en el tiempo, si su respuesta al impulso en un instante tpara un impulso excitador aplicado en el instante sólo depende del intervalo [t - ]. Esto significa que distintos intervalos de tiempo llevan al mismo comporta-miento siempre que los intervalos entre estímulo y respuesta sean de igual magnitud. El sistema no cambia (es invariante) a medida que pasa el tiempo. Para sistemas lineales invariantes podemos entonces escribir: Y las integrales de superposición quedan: que son productos convolución entre el estímulo y la respuesta impulsiva. Como veremos en las siguientes secciones, utilizando la transformación de Fourier el producto convolución de dos funciones del tiempo se convierte al producto directo de las respectivas transformadas. FIUBA 2012

10. f(t) t T Señales y sistemas lineales MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 3 Representación de Fourier: La representación de funciones del tiempo mediante un conjunto completo de funciones ortogonales más usada es la representación de Fourier, que usa funciones trigonométricas o exponenciales complejas como conjunto base. La representación de Fourier es diferente según la señal a representar sea o no periódica. Decimos que una función es periódica con periodoT cuando la función tiene la propiedad: f(t  kT) = f(t). La función se repite en todos sus detalles (va-lor, derivadas) al transcurrir un periodo. Obsérvese de esta definición que T es el inter-valo mínimo en que se cumple la propiedad. Otros parámetros básicos de la señal periódica: frecuencia fundamental:f0 = 1/T frecuencia angular fundamental: ω0 = 2π f0 = 2π/T FIUBA 2012

11. Señales y sistemas lineales MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 3 Representación de Fourier – Funciones periódicas (cont.): Potencia media de la señal: Energía de la señal: Como se ve, la potencia media de una señal periódica es finita, mientras que su energía es infinita. Las señales periódicas se llaman también señales de potencia. La representación de Fourier de una señal periódica es una serie de Fourier: donde f0 es la frecuencia fundamental de la señal y las sucesivas frecuencias fn = n f0 se conocen como frecuencias armónicas superiores. Las funciones exponenciales complejas del desarrollo asociadas a diferentes armónicas son ortogonales: FIUBA 2012

12. f f cn A A  t t   T T f Señales y sistemas lineales MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 3 Representación de Fourier – Funciones periódicas (cont.): Y es posible obtener los coeficientes del desarrollo con la técnica ya vista: Ejemplo: Tren de pulsos f = nf0 Ciclo de servicio:  = /T FIUBA 2012

13. f t 2T -T T -2T Señales y sistemas lineales MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 3 Representación de Fourier – Funciones periódicas (cont.): Ejemplo: Tren de deltas • y el espectro consiste en un nuevo tren de deltas. • Algunas propiedades y trucos • Corrimiento en el tiempo: Sea • Si realizamos un corrimiento en el tiempo en la función: t→ t – τ: • y entonces: FIUBA 2012

14. Señales y sistemas lineales MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 3 • Representación de Fourier – Funciones periódicas (cont.): • Algunas propiedades y trucos (cont.) • 2) Derivadas: Sea nuevamente: • si derivamos repetidamente: • . . . • Para funciones rectas a tramos una técnica consiste en derivar hasta llegar a deltas y luego aplicar esta relación para hallar la serie de Fourier de la función original. FIUBA 2012

15. Señales y sistemas lineales MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 3 Representación de Fourier – Funciones periódicas (cont.): Algunas propiedades y trucos (cont.) 3) Superposición: En ciertos casos podemos expresar una función periódica como la suma o superposición de dos o más funciones también periódicas del mismo periodo: Entonces, podemos escribir para los desarrollos de Fourier: FIUBA 2012

16. f´ A t  T -A f A t  T Señales y sistemas lineales MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 3 Representación de Fourier – Funciones periódicas (cont.): Algunas propiedades y trucos (cont.) Ejemplo Sea nuevamente el tren de pulsos: Derivando una vez, el tren de pulsos se convierte en la superposición de dos trenes de deltas positivas y negativas de amplitud A y periodo T. El tren nega- tivo está corrido en τ respecto del tren positivo. La representación de Fourier de la derivada es así: ■ Superposición: ■ y entonces: que es el mismo resultado obtenido previamente FIUBA 2012

17. f  A A/2 f´ f” t   r f t t T T r f f r Señales y sistemas lineales MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 3 Representación de Fourier – Pulsos reales (trapezoidales): Los pulsos reales tiene tiempos de subida y de caída: τr : tiempo de subida τf : tiempo de caida τ : ancho de pulso El objetivo de esta sección es analizar cómo estos parámetros modifi-can el espectro del tren de pulsos. Para hallar el espectro derivamos dos veces. Abajo se ven las gráficas de la primera y segunda derivadas. Esta última ya consiste en una suma de deltas: FIUBA 2012

18. f”  t T f r Señales y sistemas lineales MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 3 Representación de Fourier – Pulsos reales (trapezoidales) (cont.): Como se ve, hay 4 trenes de deltas, con lo que los coeficientes de la serie de Fourier son: Operando: FIUBA 2012

19. Señales y sistemas lineales MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 3 Representación de Fourier – Pulsos reales (trapezoidales) (cont.): Los coeficientes de la serie de Fourier del pulso original son: y entonces: En el caso particular en que r = f: En función del ciclo de servicio . Se observa que el espectro de la señal trapezoidal consiste en el producto de dos funciones sinc. Este resultado no se puede extrapolar al caso general (r = f) pero indica tendencias útiles. FIUBA 2012

20. Señales y sistemas lineales MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 3 Representación de Fourier – Pulsos reales (trapezoidales) (cont.): Los coeficientes de la serie de Fourier del pulso original (r = f) son: donde:  = /T (ciclo de servicio)  = r/T En este caso, el espectro tiene la gráfica: f = 10 MHz Lineal r = 5 nsdB  = 0.1  = 0.5  = 0.9 Las armónicas pares se anulan para  = 0.5 FIUBA 2012

21. Señales y sistemas lineales MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 3 Representación de Fourier – Pulsos reales (trapezoidales) (cont.): Los coeficientes de la serie de Fourier del pulso original (r = f) son: donde:  = /T (ciclo de servicio)  = r/T Las amplitudes de los coeficientes cn (n > 0) para  = 0.1 y  = 0.9 coin-ciden. En la gráfica se muestra la di-ferencia entre ambos juegos de coe-ficientes en función de n. Se ve que se anula para n entero. La diferencia entre ambos espectros es el valor promedio c0. FIUBA 2012

22. Señales y sistemas lineales MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 3 • Representación de Fourier – Pulsos reales (trapezoidales) (cont.): • El espectro de Fourier del pulso original (r = f) es: • y en dB: • en función de la frecuencia f = nf0. • Al graficar en función de f, cada término se comporta asintóticamente como: • Para f0, predomina el primer término (const.). Este término tiene una única asíntota, de pendiente 0 db/decada. • El segundo término sinc(πf) tiende a 1 para f0, y a 1/πf para f>>0. Tiene entonces dos asíntotas: una de pendiente 0 db/decadaparaf0, y otra de pendiente-20 db/decadaparaf>>0.Las asíntotas se cortan enf1= 1/π. • El tercer término es similar al segundo, pero el punto de corte de asíntotas se da enf2= 1/πr (>f1). FIUBA 2012

23. -20 db/dec 0 db/dec -40 db/dec f1 f2 Señales y sistemas lineales MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 3 Representación de Fourier – Pulsos reales (trapezoidales) (cont.): Finalmente, el comportamiento asintótico del espectro de Fourier en dB del pulso: se muestra en la gráfica. Se pueden señalar dos características fundamentales: 1) El contenido de alta frecuen- cia del tren depende de r. 2) La frecuencia en que la ampli- tud del espectro comienza a disminuir (f1) depende de , e indirectamente de . FIUBA 2012

24. Señales y sistemas lineales MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 3 Representación de Fourier – Pulsos reales (trapezoidales) (cont.): En las gráficas se muestra el espectro de Fourier de un tren de pulsos de f0 = 10 MHz,  = 0.5 y r = 20 ns (negro), 5 ns (azul). Se ve claramente cómo en este último caso aumenta el contenido espectral de alta frecuencia. FIUBA 2012

25. Señales y sistemas lineales MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 3 Representación de Fourier – Pulsos reales (trapezoidales) (cont.): El hecho que el espectro de Fourier de un tren de pulsos trapezoidales cae a -40 db/decada por encima de f2 = 1/πr indica que podemos tomar esta frecuencia (o un múltiplo de 2 ó 3 por seguridad) para truncar la serie infinita de Fourier. Si r  f una visión conservadora para la estimación del contenido es-pectral es tomar el valor menor y adjudicarlo a r en los cálculos pre-vios. Otros sugieren usar el promedio. Obviamente lo mejor es medir. No hay influencia del ciclo de servicio en el espectro, salvo que al cam-biar  se cambie , que determina el primer punto de corte asintótico del espectro. Sin embargo, a igualdad de otros factores, un aumento del ciclo de ser-vicio aumentará la potencia media de la onda. FIUBA 2012

26. Señales y sistemas lineales MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 3 Representación de Fourier – Señales no periódicas: Cuando la señal no es periódica, la representación de Fourier se convierte en la transformada de Fourier: Esta operación permite pasar del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia. La operación inversa se conoce como antitransformada de Fourier: Existe entonces un mecanismo de transformación biunívoco entre ambos dominios: del tiempo y de la frecuencia: FIUBA 2012

27. Señales y sistemas lineales MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 3 Representación de Fourier – Señales no periódicas: Propiedades de la transformada de Fourier: Linealidad. donde  y  son constantes cualesquiera. Similaridad. donde  es una constante cualquiera. Un “estiramiento” en la escala del tiempo implica una “compresión” en la escala de frecuencias y vicever-sa, además de un cambio global en la amplitud del espectro. Corrimiento. donde  es un real. Un corrimiento en el dominio del tiempo implica un cambio de fase en el dominio de la frecuencia. FIUBA 2012

28. Señales y sistemas lineales MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 3 Representación de Fourier – Señales no periódicas: Propiedades de la transformada de Fourier (cont.): Teorema de Rayleigh-Parseval esta integral se interpreta como el contenido energético de la señal. Convolución es decir que la transformada de la convolución en el dominio del tiempo es igual al producto de las transformadas individuales. FIUBA 2012

29. Función transferencia Señales y sistemas lineales MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 3 Representación de Fourier – Señales no periódicas: Propiedades de la transformada de Fourier (cont.): Convolución Este resultado es muy importante cuando se aplica a la respuesta impul-siva de sistemas lineales invariantes. Recordamos: Entonces, si: tenemos: FIUBA 2012