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19.2.1 矩形的判定

19.2.1 矩形的判定. 附中初二数学组. A. ∵∠ACB=90°AD = BD ∴CD = AB. D. C. B. 定义:有一个角是直角的平行四边形叫做 矩形. 复习与回顾. 推论:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 【 思考与探究 】. 如何判定一个四边形是不是矩形呢?. 1 、根据定义:. 首先看这个四边形是不是平行四边形,再看它两边的夹角是不是直角. 注意: 这种用 “ 定义 ” 判定是最重要和最基本的判定方法(这体现了定义作用的双重性 --- 性质和判定). 已知:在 中, AC = BD.

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19.2.1 矩形的判定

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Presentation Transcript


  1. 19.2.1矩形的判定 附中初二数学组

  2. A ∵∠ACB=90°AD = BD ∴CD = AB D C B 定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 复习与回顾 推论:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

  3. 【思考与探究】 如何判定一个四边形是不是矩形呢? 1、根据定义: 首先看这个四边形是不是平行四边形,再看它两边的夹角是不是直角 注意:这种用“定义”判定是最重要和最基本的判定方法(这体现了定义作用的双重性---性质和判定)

  4. 已知:在 中,AC = BD 求证: 是矩形 D A 证明:∵AB = DC,BC = CB,AC = DB ∴ △ABC≌△DCB ∴∠ABC = ∠DCB ∵AB∥CD ∴∠ABC + ∠DCB = 180° ∴ ∠ABC = 90° ∴ ABCD是矩形 B C ABCD ABCD 判定定理1 对角线相等的平行四边形是矩形 思考:对角线相等的四边形是不是矩形?

  5. 已知:在四边形ABCD中, ∠A= ∠B= ∠C=90° D A 求证:四边形ABCD是矩形 B C 判定定理2 有三个角是直角的四边形是矩形 证明:∵ ∠A= ∠B= ∠C=90° ∴ ∠A + ∠B = 180° ∠B + ∠C = 180° ∴AD∥BC, AB∥DC ∴四边形ABCD是平行四边形 ∵ ∠A=90° ∴四边形ABCD是矩形 思考:两个角是直角的四边形是矩形吗?

  6. D D A A B B C C ABCD ABCD是矩形 AC = BD 定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 判定定理1 对角线相等的平行四边形是矩形 矩形的判定 判定定理2 有三个角是直角的四边形是矩形 四边形ABCD是矩形 ∠A= ∠B= ∠C=90°

  7. 小结:根据平行四边形、矩形的性质与判定填空小结:根据平行四边形、矩形的性质与判定填空 对边平行且相等 对边平行且相等 对角相等 四个角都是直角 互相平分 相等且互相平分 两组对边分别平行的四边形 有一个角是直角的平行四边形 两组对边分别相等的四边形 一组对边平行且相等的四边形 有三个角是直角的四边形 两组对角分别相等的四边形 对角线相等的平行四边形 对角线互相平分的四边形

  8. 求证:CD= AB 1 1 2 2 ∴CD= AB。 定理:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 已知:在RtΔABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线。 证明:延长CD到E,使DE=CD,连接AE,BE。 E A D ∵CD是斜边AB上的中线, ∴AD=DB。 又∵CD=DE, ∴四边形AEBC是平行四边形()。 B C ∵ ∠ACB=Rt∠ ∴四边形AEBC是矩形()。 ∴CE=AB(),

  9. 解:∵ABCD是平行四边形 ∴AC = 2OA,BD = 2OB ∵OA = OB ∴AC =BD ∴ ABCD是矩形 在Rt△ABC中, ∵AB = 4cm,AC=2AO=8cm ∴BC= O D A B C ∴ =AB·BC = 4×4 =16 S 2 cm ABCD 例1 已知平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于O,△AOB是等边三角形,AB = 4cm, 求这个平行四边形的面积.

  10. M A D B C ∴ ABCD是矩形 例2:已知M为 ABCD的AD边的中点,且MB=MC。求证: ABCD是矩形。 证明: ∵ABCD是平行四边形 ∴ ∠A+ ∠D=1800 AB=DC ∵M是AD的中点 ∴AM=DM ∴∠A= 900 ∵ MB=MC ∴△BAM≌ △CDM ∴∠A= ∠D

  11. 练习: 判断题 × ( ) 1. 对角线相等且一组对边也相等的四边形是矩形. 2. 两条对角线交点到四个顶点距离相等的四边形为矩形. 3. 有一组对边相等,一组对角是直角的四边形是矩形. 4. 有三个角都相等的四边形是矩形. √ ( ) √ ( ) × ( ) 选择题 5. 具备条件____的四边形是矩形. [ ] D A.两条对角线相等 B.对角线互相垂直 C.一组对角是直角D.有三个角是直角 6. 能够判断一个四边形是矩形的条件是 [ ] C A.对角线相等 B.对角线垂直 C.对角线互相平分且相等D.对角线垂直且相等

  12. 例3如果平行四边形四个内角的平分线能够围成一个四边形,那么这个四边形是矩形.例3如果平行四边形四个内角的平分线能够围成一个四边形,那么这个四边形是矩形. 已知:如图,    ABCD的四个内角的平分线分别相交于E、F、G、H, 求证:四边形 EFGH为矩形. 证明:∵AB∥CD   ∴∠ABC+∠BCD=180°   ∵BG平分∠ABC,CG平分∠BCD ∴∠BGC=90° 同理可证∠AFB=∠AED=90° ∴四边形EFGH是矩形.(有三个角是直角的四边形是矩形)

  13. 例4 已知:如图.矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,且E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO的中点,求证四边形EFGH是矩形.

  14. 练习: 1、如左图,BD,BE分别是∠ABC与它的邻补角∠ABP的平分线,AE⊥BE,AD⊥BD,E,D为垂足,求证:四边形AEBD是矩形。 2、如右图,在△ABC中,点O是AC边上的一个动点,过点O作直线MN∥BC,设MN交∠BCA的平分线CE于点E,交∠BCA的外角平分线CF于点F,(1)求证:OE=OF (2)当点O运动到何处时,四边形AECF为矩形?并证明你的结论。 A A N M D E O F E B C C D P B

  15. 3、已知矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,OF⊥AD于F,OF=3cm,AE⊥BD于E,且BE:ED=1:3,求AC的长。3、已知矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,OF⊥AD于F,OF=3cm,AE⊥BD于E,且BE:ED=1:3,求AC的长。 4、如右图,延长矩形ABCD的边CB至点E,使CE=CA,F是AE的中点,求证BF⊥FD。 A F A D D F O E C B E B C

  16. ABCD 是矩形 ∠A= ∠B= ∠C=90° ABCD ABCD AC = BD 课堂总结,发展潜能 判定一个四边形是矩形的方法与思路是: 四边形ABCD 是矩形 ∠A=90°

  17. 布置作业 《点金教练》P77~P79

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