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19.2.1 矩形的判定

19.2.1 矩形的判定. 附中初二数学组. A. ∵∠ACB=90°AD = BD ∴CD = AB. D. C. B. 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做 矩形. 复习与回顾. 推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 【 思考与探究 】. 如何判定一个四边形是不是矩形呢？. 1 、根据定义：. 首先看这个四边形是不是平行四边形，再看它两边的夹角是不是直角. 注意： 这种用 “ 定义 ” 判定是最重要和最基本的判定方法（这体现了定义作用的双重性 --- 性质和判定）. 已知：在 中， AC = BD.

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19.2.1 矩形的判定

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Presentation Transcript

  1. 19.2.1矩形的判定 附中初二数学组

  2. A ∵∠ACB=90°AD = BD ∴CD = AB D C B 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 复习与回顾 推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

  3. 【思考与探究】 如何判定一个四边形是不是矩形呢？ 1、根据定义： 首先看这个四边形是不是平行四边形，再看它两边的夹角是不是直角 注意：这种用“定义”判定是最重要和最基本的判定方法（这体现了定义作用的双重性---性质和判定）

  4. 已知：在 中，AC = BD 求证： 是矩形 D A 证明：∵AB = DC，BC = CB，AC = DB ∴ △ABC≌△DCB ∴∠ABC = ∠DCB ∵AB∥CD ∴∠ABC + ∠DCB = 180° ∴ ∠ABC = 90° ∴ ABCD是矩形 B C ABCD ABCD 判定定理1 对角线相等的平行四边形是矩形 思考：对角线相等的四边形是不是矩形？

  5. 已知：在四边形ABCD中， ∠A= ∠B= ∠C=90° D A 求证：四边形ABCD是矩形 B C 判定定理2 有三个角是直角的四边形是矩形 证明：∵ ∠A= ∠B= ∠C=90° ∴ ∠A + ∠B = 180° ∠B + ∠C = 180° ∴AD∥BC， AB∥DC ∴四边形ABCD是平行四边形 ∵ ∠A=90° ∴四边形ABCD是矩形 思考:两个角是直角的四边形是矩形吗？

  6. D D A A B B C C ABCD ABCD是矩形 AC = BD 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 判定定理1 对角线相等的平行四边形是矩形 矩形的判定 判定定理2 有三个角是直角的四边形是矩形 四边形ABCD是矩形 ∠A= ∠B= ∠C=90°

  7. 小结：根据平行四边形、矩形的性质与判定填空小结：根据平行四边形、矩形的性质与判定填空 对边平行且相等 对边平行且相等 对角相等 四个角都是直角 互相平分 相等且互相平分 两组对边分别平行的四边形 有一个角是直角的平行四边形 两组对边分别相等的四边形 一组对边平行且相等的四边形 有三个角是直角的四边形 两组对角分别相等的四边形 对角线相等的平行四边形 对角线互相平分的四边形

  8. 求证：CD= AB 1 1 2 2 ∴CD= AB。 定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 已知：在RtΔABC中，∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线。 证明：延长CD到E，使DE=CD，连接AE，BE。 E A D ∵CD是斜边AB上的中线， ∴AD=DB。 又∵CD=DE， ∴四边形AEBC是平行四边形（）。 B C ∵ ∠ACB=Rt∠ ∴四边形AEBC是矩形（）。 ∴CE=AB（），

  9. 解：∵ABCD是平行四边形 ∴AC = 2OA，BD = 2OB ∵OA = OB ∴AC =BD ∴ ABCD是矩形 在Rt△ABC中， ∵AB = 4cm，AC=2AO=8cm ∴BC= O D A B C ∴ =AB·BC = 4×4 =16 S 2 cm ABCD 例1 已知平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于O，△AOB是等边三角形，AB = 4cm， 求这个平行四边形的面积.

  10. M A D B C ∴ ABCD是矩形 例2：已知M为 ABCD的AD边的中点，且MB＝MC。求证： ABCD是矩形。 证明： ∵ABCD是平行四边形 ∴ ∠A＋ ∠D＝1800 AB＝DC ∵M是AD的中点 ∴AM＝DM ∴∠A＝ 900 ∵ MB＝MC ∴△BAM≌ △CDM ∴∠A＝ ∠D

  11. 练习： 判断题 × （ ） 1. 对角线相等且一组对边也相等的四边形是矩形． 2. 两条对角线交点到四个顶点距离相等的四边形为矩形． 3. 有一组对边相等，一组对角是直角的四边形是矩形． 4. 有三个角都相等的四边形是矩形． √ （ ） √ （ ） × （ ） 选择题 5. 具备条件____的四边形是矩形． [ ] D A．两条对角线相等 B．对角线互相垂直 C．一组对角是直角D．有三个角是直角 6. 能够判断一个四边形是矩形的条件是 [ ] C A．对角线相等 B．对角线垂直 C．对角线互相平分且相等D．对角线垂直且相等

  12. 例3如果平行四边形四个内角的平分线能够围成一个四边形，那么这个四边形是矩形．例3如果平行四边形四个内角的平分线能够围成一个四边形，那么这个四边形是矩形． 已知：如图，    ABCD的四个内角的平分线分别相交于E、F、G、H， 求证：四边形 EFGH为矩形． 证明：∵AB∥CD 　　∴∠ABC＋∠BCD=180° 　　∵BG平分∠ABC，CG平分∠BCD ∴∠BGC=90° 同理可证∠AFB=∠AED=90° ∴四边形EFGH是矩形．(有三个角是直角的四边形是矩形)

  13. 例4 已知：如图．矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO的中点，求证四边形EFGH是矩形．

  14. 练习： 1、如左图，BD,BE分别是∠ABC与它的邻补角∠ABP的平分线，AE⊥BE,AD⊥BD,E,D为垂足，求证：四边形AEBD是矩形。 2、如右图,在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线CE于点E，交∠BCA的外角平分线CF于点F,（1）求证：OE=OF （2）当点O运动到何处时，四边形AECF为矩形？并证明你的结论。 A A N M D E O F E B C C D P B

  15. 3、已知矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O，OF⊥AD于F，OF=3cm,AE⊥BD于E，且BE:ED=1:3，求AC的长。3、已知矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O，OF⊥AD于F，OF=3cm,AE⊥BD于E，且BE:ED=1:3，求AC的长。 4、如右图，延长矩形ABCD的边CB至点E,使CE=CA，F是AE的中点，求证BF⊥FD。 A F A D D F O E C B E B C

  16. ABCD 是矩形 ∠A= ∠B= ∠C=90° ABCD ABCD AC = BD 课堂总结，发展潜能 判定一个四边形是矩形的方法与思路是： 四边形ABCD 是矩形 ∠A=90°

  17. 布置作业 《点金教练》P77~P79

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