Pitágoras

1. Pitágoras 1· Teorema de Pitágoras. 2· Irracionalidad del nº 3· Las pirámides. 4· Pentagrama. 5· Conclusión.

2. Antes de comenzar, me gustaría dejar claras algunas cosas; • Un triángulo rectángulo es un triángulo que tiene un ángulo recto, es decir de 90º. • En un triángulo rectángulo, el lado más grande recibe el nombre de hipotenusa y los otros dos lados se llaman catetos.

3. ·Una teselación del plano es una forma de colocar figuras en una superficie plana de tal forma que dichas figuras no se superpongan y además no queden huecos sin cubrir.  ·Si marcamos ahora los centros de los cuadrados mayores y los unimos, tendremos un conjunto nuevo de cuadrados de un tamaño algo mayor que los otros, de tal forma que estos cuadrados constituyen otra teselación del plano.  A) Demostración mediante teselaciones del plano. ·Tenemos que el área del cuadrado inclinado es la suma de las áreas de los dos cuadrados más pequeños (los de la teselación inicial). La razón es muy sencilla: El nuevo cuadrado (el inclinado) queda dividido en 5 piezas por las líneas interiores. Si las separamos podemos formar el cuadrado pequeño de la teselación inicial con dos de ellas y el grande con las otras tres.

4. Para cualquier punto de partida de los cuadrados inclinados las piezas en que el cuadrado mayor queda subdividido por las líneas interiores pueden ser desplazadas sin rotación hasta que encajen para formar los dos cuadrados más pequeños, como puede verse en la figura de la derecha. Volviendo a nuestro caso (Figura 3), hemos dicho que el área del cuadrado inclinado es igual a la suma de las áreas de los cuadrados iniciales. Llamemos aal lado del cuadrado menor inicial, b al lado del cuadrado mayor inicial y c al lado del cuadrado inclinado. Entonces sus áreas son, respectivamente, , y .Y en consecuencia tenemos que + .

5. 1. Si tenemos un triángulo rectángulo podemos construir un cuadrado que tenga de lado justo lo que mide el cateto b, más lo que mide el cateto c, es decir b+cEl área de este cuadrado será (b+c)2. • 2. Si ahora trazamos las hipotenusas de los triángulos rectángulos que salen tendremos la figura. El área del cuadrado, que es la misma de antes, se puede poner ahora como la suma de las áreas de los cuatro triángulos rectángulos azules (base por altura partido por 2): • más el área del cuadrado amarillo • Es decir, el área del cuadrado grande también es el área del cuadrado pequeño más 4 veces el área del triángulo: B) DEMOSTRACIÓN

6. 3. Podemos igualar las dos formas de calcular el área del cuadrado grande y tenemos: • 4. Si ahora desarrollamos el binomio , nos queda: • 5. Que después de simplificar resulta lo que estábamos buscando:

7. Irracionalidad del nº En la siguiente diapositiva, daré una breve explicación de porque el nº no es racional. Intentaré explicarme lo mejor que pueda. La raíz cuadrada es un número irracional ya que tiene infinitas cifras periódicas no decimales, tiene infinitas cifras que no son todas iguales.

8. Vamos a ponernos en la situación de que es RACIONAL. En este caso la fracción de sería irreducible. Elevamos los dos miembros al cuadrado = ( ) Ahora lo que hacemos es simplificarlos: de ( ) SERÍA Entonces se nos quedaría así: Despejamos pasando multiplicando al primer miembro (2) y se nos queda que . Por tanto como es el doble de , es PAR, y si un número al cuadrado es PAR, ese número será también PAR. Si a es PAR será igual al doble de otro numero es decir a = 2·n y si elevamos los dos miembros al cuadrado nos queda que: = QUE SIMPLIFICANDO NOS QUEDA  = Vamos a sustituir al valor por = (vamos a simplificar ésta igualdad dividiendo ambos números). Y en el primer miembro nos queda y en el segundo = • 9. Por lo tanto, hemos demostrado que también es PAR puesto que es igual al doble de y (como dijimos antes si la raíz cuadrada de un nº es PAR ese nº también es PAR). • Entonces tenemos que a es PAR y b es PAR, esto contradice a que la fracción era irreducible.

10. Pirámides Para poder conseguir esquinas perfectamente anguladas en las casas o en la pirámides, los constructores egipcios utilizaban una cuerda con nudos. Si cogían un triángulo y marcaban sus lados con 3, 4 o 5 nudos, les garantizaba un ángulo perfecto de 90º. Eso es porque el nudo más el nudo es igual al nudo . Lo que nos da un triángulo pitagórico perfecto. En un documento de 4 mil años de antigüedad llamado el Papiro de Moscú, encontraron una fórmula para el volumen de una pirámide con el pico seccionado que tenemos del antiguo Egipto. Los cálculos de volumen de una pirámide rota es uno de los cálculos más avanzados según nuestro concepto de matemáticas. Los arquitectos y los ingenieros hubiesen querido tener ésta fórmula para poder calcular la cantidad de materiales necesarios para reconstruirla. Para comprender como derivaron la fórmula, empezaremos con una pirámide cuyo punto más alto esté en una de sus esquinas. Tres pirámides iguales se pueden unir y formar un cuadrado. Por lo tanto el volumen de ésta pirámide será 1/3 del volumen del cuadrado. Y eso es la altura por el largo de la base por el ancho de la base dividido por tres. Podemos cortar la pirámide en secciones, después se podrían deslizar las secciones para hacer la pirámide más simétrica. Sin embargo, el volumen de la pirámide no ha cambiado, a pesar del, reordenamiento de las secciones, así que la misma fórmula funciona.

11. La pirámide no tiene nada que ver, pero es un ejemplo de una pirámide cortada en secciones.

12. Pentagrama Los pitagóricos usaron este símbolo como un signo secreto para reconocerse unos a otros. Representa el número cinco, la vida, el poder y la invulnerabilidad. El pentagrama se construye a base de inscribir a un círculo un pentágono regular y trazar las diagonales, las cuales de forma sorprendente se cortan determinando segmentos que están en proporción áurea siendo el segmento mayor igual al lado del pentágono.

13. Conclusión Para los pitagóricos todo era medida y número, la música y la naturaleza misma podían explicarse a través de los números, pero, su legado ciertamente no corresponde a sus descubrimientos en sí, sino a su filosofía, su manera de pensar, cuya influencia sigue aún viva en el espíritu científico, Galileo Galilei (1564-1642) lo confirmo al afirmar que "El gran libro de la naturaleza esta escrito en símbolos matemáticos". Prácticamente el teorema de Pitágoras está presente con nosotros en el día a día, es decir, en la vida cotidiana. Cómo por ejemplo; · En algunos lugares dónde nieva mucho, los inclinación de los tejados de las construcciones deben permitir que la nieve se deslice, de lo contrario, la nieve acumulada podría hundir los techos. · En el caso de que tengamos que sujetar una antena con cables de acero. La propiedad pitagórica permite calcular la cantidad de cables necesarios para sujetar la antena. · Hasta averiguar si un remo de 3m cabría en un ascensor de 1,50m de ancho x 1,50m de profundidad y 2,30m de altura.