Giới thiệu Mã Nhị Phân Gray

1. Giới thiệu Mã Nhị Phân Gray Phạm Trọng Khiêm. Nguyễn Minh Đăng.

2. Mã Nhị Phân Gray: I.Định nghĩa: Mã nhị phân Gray thứ n 1 là một danh sách của tất cả các phần tử (an-1,…,a1,a0)  {0.1}n, sao cho mỗi lần ta di chuyển theo thứ tự danh sách thì chỉ có một thành tố nhị phân được thay đổi. Ví dụ: Với n=1, danh sách có 2 phần tử {(0),(1)}. Với n=2, danh sách có 4 phần tử {(0,0),(0,1),(1,1),(1,0)} Với n=3, danh sách có 8 phần tử {(0,0,0),(0,0,1),(0,1,1),(0,1,0),(1,1,0),(1,1,1),(1,0,1),(1,0,0)}

3. Mã Nhị Phân Gray: II. Công thức xác định mã Gray: 0= 0 ; n+1= 0n  1nR , n  0; với: 0n được xây dựng bằng cách thêm 0 vào mỗi phần tử của danh sách n. nR là danh sách ngược của danh sách n. 1nR được xây dựng bằng cách thêm 1 vào mỗi phần tử của danh sách nR. 1.Ví dụ: 2 = 01  11R ={(00),(01);(11),(10)} 3 = 02  12R = {(000),(001),(011),(010); (110),(111),(101),(100)}

4. Mã Nhị Phân Gray: 2. Ghi chú 1: Với mỗi n1 ta có: nR = n  2n-1 ; 1nR = 0n  ( 2n + 2n-1); Với: 2n-1 = (10…0)2 ; 2n + 2n-1 = (110…0)2 ; Ví dụ: với n = 3, để có (111)2, ta cộng nhị phân (011)2  (100)2 = (111)2

5. Mã Nhị Phân Gray: 3. Ghi chú 2: Xét 1 tập hợp M có n phần tử, ví dụ: M = {1,2,…,n} và tập hợp P(M) của tất cả các tập con của M. Gọi vector đặc trưng của T  P(M) là XT. Ta đặt XT = (an-1,…,a1,a0)  {0,1}n , sao cho: ai=1 n-i  T; ai = 0 n-i  T Ví dụ: Cho M = {1,2,3}; n = 3 P(M) = {( ),(1),(2),(3),(1,2),(1,3),(2,3),(1,2,3)} Xét T = {(1,3)}. Suy ra : XT = ( 101)

6. Mã Nhị Phân Gray: 4. Định nghĩa khoảng cách Hamming d(T,S): Xét T, S  P(M), ta định nghĩa khoảng cách Hamming d(T,S) = |T  S| , T  S = (T\S)  (S\T). Vậy mã nhị phân Gray chính là 1 danh sách của P(M) sao cho 2 tập hợp liên tiếp của danh sách này có khoảng cách Hamming bằng 1; nghĩa là mỗi tập hợp con của M được xây dựng bằng cách thêm hay bỏ 1 điểm vào tập hợp đứng trước. Ví dụ: T = {(1) } , S = { (1,3) } , R = { (2,3) } Ta có: T và S là 2 tập hợp liên tiếp T và R là 2 tập hợp không liên tiếp.

7. Mã Nhị Phân Gray: Ta xét: T  S = (T\S)  (S\T) =   (3) = (3) = (001) Ta tính khoảng cách Hamming : d(T,S) = |T  S | = | (001) | = 1 Vậy tập hợp (T,S) là một mã nhị phân Gray. Ta xét: T  R = (T\R)  (R\T) = (1) (2,3) = (1,2,3) = (111) Ta tính khoảng cách Hamming : d(T,R) = |T  R | = | (111) | =  1 Vậy (T,R) không phải là một mã nhị phân Gray.

8. Mã Nhị Phân Gray: III.Các định lý: 1. Định lý 1: Ta đặt: n = {gn(0),gn(1),…,gn(2n-1)} với n  1, 0  r < 2n, k = 2n + r, ta có : gn+1(r) = 0gn(r) ; gn+1(2n + r) = 1gn(2n-1-r); Ví dụ: với n = 1 ta có: 1 = {g 1(0),g1(1)} = {(0)2,(1)2}

9. Mã Nhị Phân Gray: Ví dụ (tt) với n = 2 ta có: 2 = {g 2(0),g2(1), g2(2), g2(3)} = {(0)2,(1)2 ,(3)2 ,(2)2}; g3(r) = 0g2(r), 0  r < 4; g3(4) = 1g2(3) = 4 + g2(3) = 6 = ( 110)2 g3(5) = 1g2(2) = 4 + g2(2) = 7 = ( 111)2 g3(6) = 1g2(1) = 4 + g2(1) = 5 = ( 101)2 g3(7) = 1g2(0) = 4 + g2(0) = 4 = ( 100)2

10. Mã Nhị Phân Gray: 1.1 Ghi Chú: Với ta có: Ví dụ: với n = 3, r = 2, ta có:

11. Mã Nhị Phân Gray: 2) Định lý 2: Giả sử : Ta có công thức cơ bản của mã nhị phân Gray là:

12. Mã Nhị Phân Gray: • Ví dụ: Với n = 3, r =5, ta có: và

13. Mã Nhị Phân Gray: • 2.1 Ghi chú 1: Vậy ta có:

14. Mã Nhị Phân Gray: • Ví dụ:

15. Mã Nhị Phân Gray: • Ghi chú 2:

16. Mã Nhị Phân Gray: Thì ta được:

17. Mã Nhị Phân Gray: • Ví dụ:

18. Mã Nhị Phân Gray: THE END