1 / 36

Pertemuan 3

Pertemuan 3. Determinan. TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS. Setelah menyelesaikan pertemuan ini mahasiswa diharapkan : Dapat menghitung determinan Dapat menyelesaikan Sistem Persamaan Linier dengan menggunakan determinan. Fungsi Determinan contoh:

josiah-wood
Télécharger la présentation

Pertemuan 3

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Pertemuan 3 Determinan bilqis

  2. TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Setelah menyelesaikan pertemuan ini mahasiswa diharapkan : • Dapat menghitung determinan • Dapat menyelesaikan Sistem Persamaan Linier dengan menggunakan determinan bilqis

  3. Fungsi Determinan contoh:  A = 3 1 Det(A) = 3(-2)– 1.4 = -10 4 -2 B = 1 2 3 1 2 3 -4 5 6 -4 5 6 7 -8 9 7 -8 9 Det(B) = (45+84+96)– (105+(-48)+(-72)) = 240 • Untuk matrik yang lebih besara dari 3 x 3 tidak menggunakan rumus di atas, tapi harus menggunakna rumus lain. bilqis

  4. Determinan  MatLab bilqis

  5. Det matrix 4 x 4 • Cari secara manual, atau dengan cara anda sendiri bilqis

  6. Menghitung determinan dengan OBE Cara : è Ubah menjadi : - gauss (eselon baris) - matrik segitiga atas atau segitiga bawah OBE è determinan = perkalian diagonal utama bilqis

  7. Teorema 2.2.2.: Bila A(nxn) matriks segitiga atas, matriks segitiga bawah, atau matriks diagonal, maka det(A) adalahhasil kali dari elemen-elemen diagonal utama. Contoh: A = 2 7 -3 det(A) = 2(-3) 6 = -36 0 -3 7 0 0 6 “Bukti”: 2 7 -3 2 7 0 -3 7 0 -3 00 6 0 0 bilqis

  8. Secara umum: untuk A(3 x 3) a11a12a13 a11a12a13 A = 0a22a23 0a22a23 0 0a33 0 0a33 diagonal utama + a11a22a33  0– a11a23a32 + a12a23a31 – a12a21a33 + a13a21a32 – a13a22a31 bilqis

  9. Perkalian OBE akan mempengaruhi nilai determinan • => jika A' adalah matrik yang dihasilkan dari • Perkalian sebuah baris pada matrik A dengan k <> 0 , • maka det(A') = k . det (A) • Menukar 2 baris pada matrik A, • maka det (A')= - det (A) • Perkalian sebuah baris pada matrik A dengan k <> 0 • kemudian tambahkan pada baris yang lain, • maka det (A')= det (A) OBE  1 dan 2  determinan berubah  3  determinan tidak berubah paling sering digunakan bilqis

  10. Contoh: 1 2 3 A = 0 1 4 Det (A) = -2 1 2 1 è det (A1) = 4 det (A) det (A2) = - det (A) det (A3) = det (A) 4 8 12 A1 = 0 1 4 Det (A1) = -8 1 2 1 0 1 4 A2 = 1 2 3 Det (A2) = 2 1 2 1 1 2 3 A3 = -2 -3 -2 Det (A3) = -2 1 2 1 bilqis

  11. Hitung det A dimana A = dengan menggunakan: 1. eselon gauss(baris) 2. menggunakan matriks segitiga atas bilqis

  12. Eselon Baris (gauss) bilqis

  13. bilqis

  14. Sifat-sifat fungsi determinan bilqis

  15. bilqis

  16. bilqis

  17. bilqis

  18. Teorema Jika A dan B matrik kuadrat yang ukurannya sama, Maka  det (AB) = det (A) . det (b) A = B = det (A) = 1 det (B) = -23 AB = det (A) det (B) = -23 det (AB) = -23 det (B) = -23 Contoh : bilqis

  19. Det A-1 =  Teorema Sebuah matrik (A) n x n dapat dibalik jika det (A) <> 0 A = A-1 Determinan = A-1 = Contoh : Determinan A = 2 – 12 = -10 bilqis

  20. Cij = (-1)i+j Mij Minor Det setelah baris ke - i & kolom ke - j dihapus A = Ekspansi kofaktor ; Aturan Cramer Kofaktor : bilqis

  21. C11 C12 C13 C21 C22 C23 C31 C32 C33 a23 a22 Kofaktor A = C11 = (-1)1+1 m11 + det Kofaktor A = a32 a33 + m13 + m11 - m12 - m21 - m23 + m22 + m31 - m32 + m33 bilqis

  22. -4 1 3 2 5 6 A = m11 = = 16  c11 = (-1)1+1m11 = + 16 m32 = = 26  c32 =(-1)3+2m32= - 26 1 4 8 5 6 4 8 3 -4 2 6 bilqis

  23. Catatan : det A = a11 c11 + a12 c12 + a13 c13 atau det A = a11 c11 + a21 c21 + a31 c31 Det A : • 2 x 2  biasa • 3 x 3  biasa • ≥ 4 x 4  >> Gauss >> Rubah jadi : segitiga atas atau bawah >> kofaktor bilqis

  24. Cofactor expansion • det(A) = a11C11+a12C12+a13C13, along 1st row = a11C11+a21C21+a31C31, along 1st column = a21C21+a22C22+a23C23, along 2nd row = a12C12+a22C22+a23C23, along 2nd column = a31C31+a32C32+a33C33, along 3rd row = a13C13+a23C23+a33C33, along 3rd column bilqis

  25. Contoh bilqis

  26. Contoh bilqis

  27. Adjoin A  transpose dari matrix kofaktor A Matrix Kofaktor A = c13 c11 c12 c21 c22 c23 c31 c32 c33 bilqis

  28. -1 3 2 1 6 3 Contoh : Matrix A = Kofaktor A = Adjoin A = 2 -4 0 -16 6 12 16 4 2 16 -10 12 12 12 4 6 2 -10 -16 16 16 bilqis

  29. Teorema 2.4.2.: Jika A matriks invertibel, maka A–1=adj(A) 1 det(A) bilqis

  30. 12 12 4 Invers Matrix  A-1 = (1/det A) . adj A A-1 = (1/64) = 6 -10 2 -16 16 16 4/64 12/64 12/64 -10/64 2/64 6/64 -16/64 16/64 16/64 bilqis

  31. Pemecahan Persamaan Linier : • Biasa • Gauss • Gauss Jordan • Matrix Invers  >> dirubah menjadi  matrix identitas >> Adjoint • Aturan Cramer OBE bilqis

  32. Teorema 2.4.3 - Aturan Cramer: Solusi untuk Sistem Persamaan LinierAx = b A matriks koefisien; bvektor (nx1); x vektor yang dicari det(Ai) xi = i = 1, 2, 3, …, n det(A) di mana Aiadalah matriks A dengan menggantikan kolom-i dengan (vektor) b bilqis

  33. ATURAN CRAMER :  A . X = B Aj  mengganti kolom ke j dengan matrix B det(A1)det(A2)det(An) x1=,x2=… ,xn= det(A)det(A)det(A) bilqis

  34. Contoh : x + y + 2z = 9 2x + 4y - 3z = 1 3x + 6y - 5z = 0 = A . X = B Det (A) = = -1 9 x 1 2 1 y -3 2 1 4 z 0 -5 3 6 2 1 1 2 4 -3 6 -5 3 bilqis

  35. 9 1 2 1 4 -3 Det (A1) = = -1  x= det(A1)/det(A) = -1/-1 = 1 Det (A2) = = -2  y= det(A2)/det(A) = -2/-1 = 2 Det (A3) = = -3  z= det(A3)/det(A) = -3/-1 = 3 0 6 -5 9 1 2 1 -3 2 3 0 -5 1 1 9 4 2 1 0 3 6 bilqis

  36. PR • 2.1  2, 3, 11, 14, 18, 20 • 2.2  4, 6, 9 • 2.3  1, 5, 7 bilqis

More Related