1. Vektory

1. 1. Vektory Skalár je fyzikálna veličina, ktorá je charakterizovaná iba veľkosťou, je to číslo. Prí- kladom skalárov sú teplota, hmotnosť, hustota, energia, atď. Vektor je fyzikálna veličina, ktorá má veľkosť aj smer. Vektormi sú napr. rýchlosť, moment hybnosti, intenzita elektrického poľa, uhlové zrýchlenie, atď. Geometricky vektor znázorňujeme rovnou čiarou so šípkou na jej jednom konci. Dĺžka čiary udá- va veľkosť vektora, jej smer udáva smer vektora v priestore a šípka udáva jeho orien- táciu. Napríklad teleso sa môže pohybovaťv rovine xy v smere zvierajúcom uhol 30º s kladným smerom osi x v kladnom smere osi x s rýchlosťou veľkosti 3 ms-1. Vektor rýchlosti tohto telesa bude potom ležať v rovine xy, bude zvierať uhol 30º s kladným smerom osi x, bude orientovaný v kladnom smere osi x a bude mať veľkosť 3 jednotky, pričom jedna jednotka bude odpovedať 1 ms-1. Ak vektor premiestnime bez zmeny jeho veľkos- ti, smeru a orientácie, je to stále ten istý vektor.

2. Skladanie vektorov geometricky Skladanie vektorov znamená ich sčitovanie a odčitovanie. Toto skladanie môžeme urobiť aj pomocou pravítka a ceruzky, t.j. geometricky. Vektory a geometricky sčítame tak, že jeden z vektorov, napr. , premies- tnime bez zmeny jeho smeru do takej polohy, aby jeho koniec bol v začiatku vektora . Súčet oboch vektorov je potom vektor , ktorý má začiatok v začiatku vekto- ra a koniec v konci vektora . Úplne rovnaký výsledok dostaneme, ak vektor premiestnime bez zmeny smeru tak, aby jeho začiatok bol v konci vektora . Vektor má potom začiatok v začiatku vektora a koniec v konci vektora . Ako sa môžeme presvedčiť, v oboch prípadoch je vektor ten istý, t.j. má rovnakú veľkosť aj rovnaký smer a orientáciu. Je teda jedno, v akom poradí vektory sčítava- me, t.j. platí

3. K rovnakým výsledkom by sme prišli, keby sme podobne ako vektor premiest- ňovali vektor . Hľadajme teraz vektor , kde vektory , sú tie isté ako na predošlom slide. Budeme postupovať tak, že vektor napíšeme ako súčet vektora a vek- ra , t.j. Aby sme tento súčet zrealizovali, zostrojíme najskôr vektor , čo je vektor, ktorý má rovnakú veľkosť a smer, ale opačnú orientáciu ako vektor . Potom vektory a sčítame podľa tých istých pravidiel, ako sme uviedli na predošlom slide. Ako je vidieť z obrázkov, na rozdiel od sčítania vekto- rov nie je jedno, v akom po- radí vektory odčítavame, t.j. lebo vektor nie je ten istý vektor, ako vektor . Oba tie- to vektory majú síce rovnakú veľkosť a smer, ale majú opačnú orientáciu, takže to nie sú tie isté vektory.

4. Ako je vidieť z obrázkov, pri sčítavaní a odčítavaní dvoch vektorov nie je veľkosť (dĺžka) výsledného vektora jednoducho súčtom alebo rozdielom veľkostí oboch sčí- tavaných alebo odčítavaných vektorov s výnimkou prípadu, keď oba vektory sú rov- nobežné, t.j. keď majú rovnaký smer. Je to preto, lebo platí trojuholníková nerovnosť, ktorá hovorí, že súčet ľubovoľných dvoch strán trojuholníka je vždy väčší ako strana tretia. Ak teda označíme veľkosť ľubovoľného vektora , , platí Dĺžka s vektora , ktorý je výsledkom súčtu alebo rozdielu dvoch vektorov, závisí nielen od veľkostí týchto vektorov, ale aj od ich smeru a orientácie. To si môžeme ukázať na príklade dvoch rovnobežných vektorov: Zdôraznime, že veľkosť vektora je vždy nezáporné číslo, preto v prvom prípade dostaneme dĺžku s ako rozdiel b–a a nie a–b, keďže .

5. Zložky (komponenty) vektora Budeme uvažovať kartézsky, t.j. pravouhlý súradnicový systém. Najskôr sa zaoberaj- me dvojrozmerným prípadom. Zložky alebo komponenty vektora pozdĺž súrad- nicových osí sú jeho pravouhlé priemety do týchto osí. Pravouhlý priemet do osi dostaneme tak, že začiatkom a koncom vektora spustíme kolmice na túto os. Vzdialenosť medzi týmito kolmicami je veľkosť zložky vektora pozdĺž uvažovanej osi. X–ová a y–ová zložka vektora na obrázku sú a . Sú to čísla, ktoré sú v tomto prípade kladné, pretože vektor je orientovaný v klad- nom smere osi x a aj v kladnom smere osi y. (Kladný smer nejakej osi je smer od po- čiatku súradnicovej sústavy k písmenku označujúcemu príslušnú os. Opačný smer je záporný smer tejto osi.) Iná situácia nastáva pre vektor . Keďže tento vektor je orientovaný v kladnom smere osi x, je jeho x–ová zložka kladné číslo. Avšak zároveň je orientovaný v zápornom smere osi y, preto jeho y–ová zložka je číslo záporné.

6. Z toho, čo sme práve povedali, vyplýva, že v dvojrozmernom kartézskom súradnico- vom systéme je každý vektor jednoznačne určený, ak poznáme veľkosti a znamienka jeho zložiek, t.j. stručne jeho zložky. Ak poznáme zložky vektora , vieme určiť z Pytagorovej vety jeho veľkosť a z toho istého pravouhlého trojuholníka aj uhol , ktorý tento vektor zviera s kladným smerom osi x. Príslušné vzorce sú Ak naopak by sme mali daný uhol a veľkosť , vieme z týchto údajov určiť jeho zložky podľa vzorcov V dvojrozmernom kartézskom súradnicovom systéme je teda vektor jednoznačne ur- čený buď svojou x–ovou a y–ovou zložkou, alebo svojou veľkosťou a uhlom, ktorý charakterizuje jeho smer a orientáciu. Tento uhol meriame tak, že postupujeme v smere proti chodu hodinových ručičiek od polpriamky reprezentujúcej kladný smer osi x k tomuto vektoru. Ešte uveďme príslušné vzorce pre vektor Poznamenajme, že uhol, ktorý udáva smer a orientáciu tohto vektora, určený podľa práve uvedených pravidiel je 360°- φ2.

7. Keď uvažujeme vektor v trojrozmernom priestore a opäť v pravouhlom súradnicovom systéme, je tento vektor jednoz- načne určený buď svojími zlož- kami pozdĺž súradnicových osí , alebo svojou veľ- kosťou a dvoma uhlami – uhlom , ktorý udáva smer a orientáciu vektora vzhľadom na os z, a uhlom , ktorý udáva smer a orientáciu vzhľadom na osi x, y, na čo slúži jeho priemet do roviny xy. Ak teda máme dané zložky , vypočítame a , a pomocou vzorcov platiacich pre pravouhlé trojuholníky Uhol určíme podľa tých istých pravidiel, ako v dvojrozmernom prípade uvede- ných na predchádzajúcom slide použitých pre vektor . Môže teda nadobúdať hodnoty z intervalu 0 - 360°. Uhol nadobúda však hodnoty z intervalu 0 - 180º a meriame ho tak, že postupujeme v rovine určenej vektorom a osou z od pol- priamky reprezentujúcej kladný smer tejto osi k vektoru .

8. Podobne, ako v dvojrozmernom prípade, i tu môžeme vypočítať zložky zo známych , a a využijúc opäť pravouhlé trojuholníky. Zložku vypo- tame najjednoduchšie Zložky a vypočítame pomocou priemetu . Keďže platí príslušné vzťahy sú Jednotkové vektory Jednotkový vektor je vektor, ktorý má veľkosť 1 a má určitý smer a orientáciu. Slúži teda na špecifikáciu smeru a orientácie vektorov. Nemá nijaký rozmer (jednotku). S každou súradnicovou sústavou sú spojené jednotkové vektory, ktoré udávajú smer narastania súradníc. V kartézskej súradnicovej sústave označujeme tieto vektory Vektor je orientovaný v kladnom smere osi x, vektorv kladnom smere osi y a vektor je orientovaný v kladnom smere osi z.

9. Opäť pre lepšiu názornosť uvažujme len 2-rozmerný prípad – rovinu xy a v nej ležia- ci vektor . Zložky vektora sú a . Tieto zložky nazývame aj skalárne zložky vektora a pomocou nich sa vektor obyčajne zapisuje v tvare Čísla a úplne určujú vektor , t.j. ich veľkosti a znamienka jednoznačne určujú veľkosť, smer a orientáciu vektora . Vektor však môžeme zapísať aj iným spôsobom použijúc jednotkové vektory, v tomto prípade a : Ako ilustruje aj obrázok, tento zápis hovorí, že vektor je súčtom dvoch vekto- rov – vektora , ktorý má veľkosť a smer totožný so smerom jednotko-

10. vého vektora , a teda osi x, a vektora , ktorého veľkosť je a smer je totožný so smerom jednotkového vektora , a teda so smerom osi y. Len podotkni- me, že v tomto príklade je kladné, lebo vektor je orientovaný v kladnom smere osi x, a je záporné číslo, lebo je orientovaný v zápornom smere osi y. Vektory a nazývame vektorové zložky vektora . Je zrejmé, že v troj- rozmernom priestore by mal vektor tri vektorové zložky, na základe ktorých ho možno zapísať v tvare V kartézskej súradnicovej sústave teda ľubovoľný vektor možno získať ako vektorový súčet troch vektorov – vektora , ktorý je rovnobežný s osou x, vektora , ktorý je rovnobežný s osou y, a vektora , ktorý má smer osi z. Z toho, čo sme tu povedali o jednotkových vektoroch, vyplýva, že ľubovoľný vektor môžeme napísať v tvare kde číslo je veľkosť vektora a vektor je jednotkový vektor, ktorý má rovnaký smer a je rovnako orientovaný, ako vektor . Jednotkový vektor teda ne- musí mať len smer súradnicových osí. Môže to byť vektor ľubovoľnej orientácie v priestore, len jeho veľkosť musí byť rovná jednej.

11. Sčítavanie vektorov pomocou komponent Sčítanie vektorov znamená, že sčítame ich príslušné zložky: Toto je zrejmé hlavne z prvého obrázku, kde súčet vektorov a , vektor , je orientovaný v kladnom smere oboch osí. Na druhom obrázku sú vektory a orientované tak, že vektor je orientovaný v kladnom smere osi x a v zápornom smere osi y. Obe horeuvedené rovnice však rovnako platia, len v tomto prípade bude záporné číslo, pretože je záporné číslo, ktorého absolútna hodnota je väč- šia ako kladné číslo .

12. Pre odčítavanie dvoch vektorov platí Toto môžeme ukázať nasledovne: Zaveďme nový vektor , ktorého kompo- nenty, ako je zrejmé, sú Vektor teda môžeme napísať ako súčet vektorov a Teraz už môžeme použiť vzorce z predchádzajúceho slidu s výsledkom čo je, čo sme chceli ukázať.

13. Násobenie vektorov Násobenie vektora skalárom (číslom) Nech p je ľubovoľné reálne číslo. Potom výsledkom násobenia vektora týmto čís- lom je vektor , ktorého veľkosť (dĺžka) je -krát väčšia, ako je veľkosť vektora . Vektor bude mať taký istý smer ako vektor a jeho orientá- cia bude zhodná s orientáciouvektora , ak p je kladné číslo, a bude opačná, ak p je číslo záporné.

14. Skalárny súčin dvoch vektorov Vektory , jednoznačne určujú rovinu. Kratší z uhlov, ktoré zvierajú, je uhol . Skalárny súčin dvoch vektorov a zapisujeme symbolom a definujeme ho takto (1) Keďže a, b, sú čísla, je skalárny súčin dvoch vektorov tiež číslo, t.j. skalár. Pretože , je jedno, či pri výpočte skalárneho súčinu podľa vzorca (1) použijeme kratší alebo dlhší z uhlov zvieraných vektormi , . Z definície (1) je zrejmé, že pre skalárny súčin dvoch vektorov platí komutatívnosť, t.j. . Skalárny súčin dvoch vektorov môžeme vyjadriť pomocou ich ska- lárnych zložiek. Za tým účelom najskôr vyjadríme vektory a pomocou ich vektorových komponent a skalárne ich budeme násobiť, t.j. Teraz roznásobíme pravú stranu tejto rovnice tak, ako by sme roznásobovali dva algebraické výrazy s tým rozdielom, že medzi každou dvojicou násobiacich sa jed- notkových vektorov píšeme bodku, pretože ide o ich skalárne súčiny. Príslušné ska- lárne komponenty vektorov pritom vyjmeme pred tieto súčiny. Dostaneme teda

15. Získané skalárne súčiny medzi jednotkovými vektormi jednoducho vypočítame pomo- cou definície (1). Napríklad Skalárne súčiny dvoch rovnakých jednotkových vektorov sú teda rovné 1 a skalárne súčiny dvoch rôznych jednotkových vektorov sú rovné nule, keďže ľubovoľné dva jednotkové vektory kartézskej súradnicovej sústavy sú na seba kolmé. Hľadaný výraz pre skalárny súčin dvoch vektorov vyjadrený pomocou ich skalárnych zložiek teda je Vektorový súčin dvoch vektorov Vektorový súčin vektorov , zapisujeme symbolom . Tento vektoro- vý súčin je vektor a je definovaný takto (2) V definícii (2) uhol je kratší z uhlov zvieraných vektormi a , je veľkosť vektora a je jednotkový vektor , ktorý

16. má rovnaký smer a orientáciu, ako vektor . Argument funkcie sínus v definícii (2) musí byť kratší z uhlov zvieraných vektormi a , pretože . Vektor , a teda aj vektor sú kolmé na rovinu ur- čenú vektormi a a sú orientované na tú stranu od tejto roviny, z ktorej sa rotácia vektora do smeru vektora pozdĺž uhla , t.j. pozdĺž menšieho z uhlov zvieraných oboma vektormi, javí proti chodu hodinových ručičiek. Na obrázkoch vidíme vektory , , ktoré ležia v rovine xy. Na prvom obrázku je zakreslený vektor , ktorý je vektorovým súčinom týchto dvoch vektorov, t.j. . Podľa toho, čo sme povedali, vektor je kolmý na rovinu xy, t.j. je rovnobežný s osou z a je orientovaný v kladnom smere tejto osi, lebo z tejto stra- ny sa rotácia do smeru pozdĺž uhla javí proti chodu hodinových ruči-

17. čiek. Druhý obrázok ilustruje, že na rozdiel od skalárneho súčinu vektorový súčin nie je komutatívny, t.j. . Uvažujme teda opäť tie isté vektory a le- žiace v rovine xy, tentoraz však chceme nájsť vektor . Z definície (2) vyplýva, že veľkosť vektora bude taká istá ako veľkosť vektora a bude teda rovná . Vektor bude tiež kolmý na rovinu xy. Jeho orientáciavšak bude opačná ako orientácia vektora , t.j. v zápornom smere osi z, pretože z tohto smeru sa rotácia vektora do smeru vektora javí proti chodu hodinových ručičiek. Je teda Ako každý vektor, aj vektor môžeme vyjadriť pomocou jeho vektorových zlo- žiek, t.j. Ak je vektor vektorovým súčinom dvoch vektorov, t.j. ak , potom môžeme skalárne zložky vektora vyjadriť prostredníctvom ska- lárnych zložiek vektorov a . Aby sme toto zrealizovali, rozpíšeme vektoro- vý súčin tak, že doňho dosadíme vyjadrenia vektorov a pomocou ich vektorových komponent. Dostaneme

18. Teraz podobne ako pri skalárnom súčine roznásobíme tento výraz, ako by sme roznásobili dva algebraické výrazy, s tým rozdielom, že súčiny jednotkových vektorov, ktoré pritom získame, budú vektorové súčiny, pričom skalárne komponenty vektorov a , ktoré každý takýto súčin násobia, vyjmeme pred tento súčin. Pripomeňme, že keďže pri vektorovom súčine neplatí komutatívnosť, musíme dodr- žiavať poradie pri vektorovom násobení vektorov. Takto získame vyjadrenie, z kto- rého uvedieme niekoľko prvých členov (3) Teraz musíme vypočítať jednotlivé vektorové súčiny a na to použijeme definíciu (2). Podľa tejto definície teda platí pretože vektor zviera sám so sebou nulový uhol. Bude teda aj Ostatné členy (je ich 6) vo výraze (3) však už nulové nebudú. Vypočítajme napr. pretože zo strany kladného smeru osi z vidíme rotáciu do pozdĺž menšieho z uhlov zvieraných vektormi a v smere proti chodu hodinových ručičiek

19. a jednotkový vektor, ktorý má smer kladného smeru osi z, je vektor . Ďalej ešte vypočítajme napr. pretože rotácia do smeru sa javí proti chodu hodinových ručičiek zo strany záporného smeru osi y a jednotkový vektor, ktorý má tento smer, je vektor . Po vypočítaní ostatných 4 nenulových členov v (3) a po združení členov, ktoré vystu- pujú pri rovnakých jednotkových vektoroch, by sme dostali hľadaný vzorec Posledný vzorec sa dá ľahko získať ako determinant rozvinutý podľa prvého riadku.