Operace s vektory 1

1. Název projektu: Moderní škola Operace s vektory 1 Mgr. Martin Krajíc 15.2.2014 matematika 3.ročník analytická geometrie Gymnázium Ivana Olbrachta Semily, Nad Špejcharem 574, příspěvková organizace Nad Špejcharem 574, 513 01 Semily, Česká republika Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0047

2. Operace s vektory Nulový vektor: • je určen nulovou orientovanou úsečkou • označujeme o nebo o • souřadnice v rovině o = (0, 0) v prostoru o = (0, 0, 0) • velikost |o| = 0 (j) Jednotkový vektor: • vektor, jehož velikost je rovna číslu jedna např: u = (1, 0), v = ( , )

3. Operace s vektory Opačný vektor: • opačným vektorem k vektoru u = AB nazýváme vektor u = BA • opačný vektor označujeme –u • daný vektor a vektor k němu opačný mají opačná znaménka u odpovídajících si souřadnic Př: Napište souřadnice vektoru u = AB a vektoru k němu opačného, jestliže A[1, -1, 2], B[3, 1, 1]. u = AB = B – A = (2, 2, -1) -u = BA = A – B = (-2, -2, 1)

4. Operace s vektory – sčítání Součet vektorů: • pro vektory u = AB, v = BC platí: u + v = w = AC • jestliže u = (u1, u2), v = (v1, v2): u + v = (u1 + v1, u2 + v2) • jestliže u = (u1, u2, u3), v = (v1, v2, v3): u + v = (u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3) • graficky: w = u + v C v A u B

5. Operace s vektory – odčítání Rozdíl vektorů: • pro vektory u = AC, v = AB platí: u – v = w = BC • jestliže u = (u1, u2), v = (v1, v2): u – v = (u1 – v1, u2 – v2) • jestliže u = (u1, u2, u3), v = (v1, v2, v3): u – v = (u1 – v1, u2 – v2, u3 – v3) • graficky: (w = u – v, neboť po úpravě u = v + w) u C w = u – v A v B

6. Operace s vektory – násobení vektoru číslem Násobení vektoru číslem: • násobkem nulového vektoru číslem je nulový vektor • násobkem nenulového vektoru u = AB reálným číslem k je vektor AC, pro který platí: • |AC| = |k|.|AB| • pro k ≥ 0 leží bod C na polopřímce AB pro k ˂ 0 leží bod C na opačné polopřímce k polopřímce AB • označujeme AC = ku • v rovině pro vektor u = (u1, u2) platí ku = (ku1, ku2) • v prostoru pro vektor u = (u1, u2, u3)platí ku = (ku1, ku2, ku3)

7. Operace s vektory – lineární kombinace Lineární kombinace: • lineární kombinací jednoho vektoru u je vektor z = ku, kde k je reálné číslo např: z = (-4, 6, 2), u = (2, -3, -1) z = -2.u • lineární kombinací dvou vektorů u,v je vektor z = ku + lv, kde k,l jsou reálná čísla např: z = (-2, 5, 23), u = (2, -3, -1), v = (1, -1, 5) z = -3.u + 4v • lineární kombinací tří vektorů u,v,w je vektor z = ku + lv+ mw, kde k,l,m jsou reálná čísla např: z = (9, -9, -13), u = (2, -3, -1), v = (1, -1, 5), w = (-2, 1, 8) z = 2.u + v – 2w • analogicky utvoříme lineární kombinaci pro čtyři a více vektorů

8. Operace s vektory – příklady Př: Dány vektory u = (-4, 6, 2), v = (2, -3, -1). • Vypočtěte součet u + v: u + v = (-4 + 2, 6 + (– 3), 2 + (– 1)) = (-2, 3, 1) • Vypočtěte rozdíl u – v: u – v = (-4 – 2, 6 – (– 3), 2 – (– 1)) = (-6, 9, 3) • Vypočtěte násobek -7u: -7u = (-7.(-4), -7.6, -7.2) = (28, -42, -14) • Vypočtěte -2u + 3v: -2u + 3v = (-2.(-4) + 3.2, -2.6 + 3.(-3), -2.2 + 3.(-1)) = = (14, -21, -7)

9. Operace s vektory – příklady Př: Zjistěte, zda je vektor w = (5, 2, 5) lineární kombinací vektorů u = (2, 2, 3) a v = (-1, 2, 1). • hledáme čísla a,b taková, aby platilo w = au + bv • musí platit: (5, 2, 5) = a(2, 2, 3) + b(-1, 2, 1) (5, 2, 5) = (2a, 2a, 3a) + (-1b, 2b, 1b) (5, 2, 5) = (2a -1b, 2a + 2b, 3a + 1b) • musí se rovnat odpovídající souřadnice: 1) 5 = 2a -1b2) 2 = 2a + 2b3) 5 = 3a + 1b • z prvních dvou rovnic dostaneme: a = 2, b = -1 • zkoušku provedeme dosazením do třetí rovnice • vektor w je lineární kombinací vektorů u,v a platí w = 2u – 1v

10. Operace s vektory – příklady Př: Zjistěte, zda je vektor w = (3, -1, 1) lineární kombinací vektorů u = (3, 1, 0) a v = (2, 2, -1). • hledáme čísla a,b taková, aby platilo w = au + bv • musí platit: (3, -1, 1) = a(3, 1, 0) + b (2, 2, -1) (3, -1, 1) = (3a, 1a, 0a) + (2b, 2b, -1b) (3, -1, 1) = (3a + 2b, 1a + 2b, 0a -1b) • musí se rovnat odpovídající souřadnice: 1) 3 = 3a + 2b 2) -1 = 1a + 2b 3) 1 = 0a -1b • z třetí rovnice dostaneme b = -1, dosazením do druhé a = 1 • zkoušku provedeme dosazením do první rovnice: 3 ≠ 3.1 + 2.(-1) • vektor w není lineární kombinací vektorů u,v

11. Operace s vektory – samostatná práce • Př: Řešte příklady a na závěr doplňte citát (využijte písmen u správných řešení): Jan Masaryk: „Pamatuj si, že dokud budeme generálům platit víc než učitelům, nebude na světě …….“ 1) Dány u = (3, 2, -5), v = (-4, 3, -1). Vypočti w = 2u + 3v. a) M= w = (-6, 13, -13) b) N = w = (-6, 11, 13) 2) Zjistěte, zda je vektor w = (-2, 4, -6) lineární kombinací vektorů u = (1, 3, -2) a v = (2, 1, 1). a) I = ne b) Í = ano: w = 2u – 2v 3) Zjistěte, zda je vektor w = (1, 1, 2) lineární kombinací vektorů u = (-1, 0, 1) a v = (2, 2, 3). a)R = ne b) C = ano: w = 3u – 5v

12. Operace s vektory – správné řešení Jan Masaryk: „Pamatuj si, že dokud budeme generálům platit víc než učitelům, nebude na světě …….….“ MÍR

13. Operace s vektory – použitá literatura Použitá literatura: KOČANDRLE, Milan a Leo BOČEK. Matematika pro gymnázia: Analytická geometrie. Praha: Prometheus, 2009 SVOBODA, Martin. Http://citaty.net [online]. [cit. 2014-02-15].