Il triangolo di Tartaglia

1. Il triangolo di Tartaglia è una disposizione geometrica a forma di triangolo dei coefficienti binomiali, ossia dei coefficienti dello sviluppo del binomio (a+b) elevato ad una qualsiasi potenza n.

2. Triangolo di Tartaglia 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 In ciascuna riga si può osservare che gli elementi di questa costruzione si ottengono come somma di due elementi adiacenti della riga precedente.

3. Sappiamo che: (a+b)º=1 (a+b)¹=a+b (a+b)²=a²+2ab+b² (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³ Ma non sappiamo come si risolve: (a+b) Per risolvere questo quesito possiamo aiutarci proprio con il Triangolo di Tartaglia.

4. 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 Se guardassimo bene: (a+b)º=1 (a+b)¹=1a+1b (a+b)²=1a²+2ab+1b² (a+b)³=1a³+3a²b+3ab²+1b³ I numeri evidenziati sono corrispondenti a quelli orizzontali del triangolo di Tartaglia!

5. Quindi, per logica: (a+b)=1a+4ab+6ab+4ab+1b Ma manca qualcosa…gli esponenti! Infatti, gli esponenti della parte letterale dei monomi devono avere tutti lo stesso grado, ossia l’esponente di (a+b) che in questo caso è 4. Inoltre questi devono essere crescenti nella lettera b e decrescenti nella lettera a. Quindi: (a+b)=a+4a³b+6a²b²+4ab³+b

6. Proprietà • Il triangolo ha molte altre numerose proprietà, alcune dipendenti dal metodo di costruzione, altre dalle proprietà dei coefficienti binomiali (le due cose sono legate tra loro). • Condizione al contorno • Tutti i numeri lungo il contorno sono uguali a uno. • Simmetria del triangolo • Il triangolo è simmetrico rispetto all'altezza. • Potenze di undici Le cifre che compongono le potenze di 11 si possono leggere immediatamente sul triangolo di Tartaglia.

7. Somma delle righe 1 = 1 1 + 1 = 2 1 + 2 + 1 = 4 1 + 3 + 3 + 1 = 8 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 La somma delle cifre di una riga equivale alla metà della somma delle cifre della riga successiva. • Differenza nelle righe Si può notare che: 1 - 1 = 0 1 - 2 + 1 = 0 1 - 3 + 3 - 1 = 0 1 - 4 + 6 - 4 + 1 = 0 La somma dei numeri in posto disparimeno la somma dei numeri al posto pari dà zero.

8. Somma delle diagonali Prendiamo una porzione del triangolo: 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 1010 5 1 1 6 15 20 15 6 1 Sommando i numeri su una diagonaleotteniamo il numero adiacente al prossimo sulla diagonale. • Multipli di numero fissato • Dato un numero n fissato, i numeri del triangolo che siano suoi multipli interi formano dei nuovi triangoli con il vertice in basso, oppure dei punti isolati, che sono ovviamente anch'essi dei triangoli di lato unitario. Tali triangoli non si intersecano, né sono adiacenti.

9. Cenni Storici La costruzione del triangolo di Tartaglia era nota a matematici cinesi nel XIV secolo e forse anche in epoca anteriore. In Italia prese il nome da Niccolò Tartaglia, che lo descrisse in un suo diffuso trattato nella prima metà del XVI secolo, ma in Francia e successivamente anche nel mondo anglosassone prende il nome da Blaise Pascal, che un secolo dopo, nel 1654, ne fece grande uso nei suoi studi sulla probabilità. In Germania invece è comunemente attribuito a Stiefel che ne scrisse nel 1544.

10. Questo lavoro è stato realizzato da: Martina Destito Martìn & Barbara Loperfido