Árvore Rubro-Negra

1. Árvore Rubro-Negra Organização e Recuperação da Informação Grupo: Osmir – Valmor – Victor

2. Tópicos Abordados • Introdução • Propriedades principais • Conceitos • Definição básica da estrutura • Inserção • Remoção • Comparação entre tipos de árvores

3. Introdução • Inventada em 1972, 10 anos depois da AVL por Rudolf Bayer, sob o nome B-árvores binárias simétricas • Adquirindo em 1978 seu atual nome, por Leo J. Guibas and Robert Sedgewick • Árvore rubro-negra (do inglês Red-Black trees)

4. Árvore Rubro-Negra • A árvore rubro-negra tem esse nome devido a “coloração” de seus nós • Uma árvore rubro negra (ARN) é uma árvore binária de busca com um campo adicional que armazena se o nó é rubro ou negro • O fato de um nó ser rubro ou negro é usado como fator de balanceamento da ARN

5. Propriedades • 1 - Cada nó tem uma cor que é rubro ou negro. Por convenção, uma árvore não vazia (ou subárvore) tem a cor de sua raiz e uma árvore vazia é negra • 2 - A raiz é negra • 3 - Qualquer caminho da raiz até uma subárvore vazia tem um número igual de nós negros • 4 - As subárvores de um nó rubro são sempre negras -> Propriedade óbvia resultando da quarta condição é que num caminho da raiz até uma subárvore vazia não pode haver dois nós rubros consecutivos

6. 47 68 32 88 60 40 5 90 75 61 54 15 50 Conceitos • (Altura negra) A altura negra de uma árvore rubro-negra A, denotada an(A) é o número de nós negros que se encontram nos caminhos da raiz até uma folha. • Observe que, pela terceira condição da definição de árvore rubro-negra, esse número é bem definido. No caso da árvore acima, a altura negra é 3

7. Conceitos • A altura de qualquer árvore rubro-negra é logarítmica no número de chaves armazenadas • A busca nas árvores rubro-negra tem complexidade logarítmica. • Uma ARN impede que uma subárvore fique com o dobro da altura da outra subárvore de um nó.

8. Definição do nó • Estrutura interna de um nó Cor(Rubro ou Negra) Chave Ptr Esquerda Ptr Direita

9. Definição dos tipos class ARN { Private: typedef enum {RUBRO, NEGRO} cor; typedef struct no *ptr; struct no { t chave; ptr esq; ptr dir; cor tipo; }; ptr raiz; Public: // métodos... }

10. Inserção • Todo nó a ser inserido por convenção é rubro (pois se fosse negro não seguiria a propriedade 3) • Se após a inserção for quebrada qualquer propriedade da ARN devem ser feitas rotações e/ou inversão de cores dos nós para que sejam satisfeitas todas as propriedades • As regras de inserção levam em consideração a cor do “tio” (o outro filho do pai do nó que recebeu o novo nó) do nó inserido

11. w “tio” v t q ω Ω Φ φ π Casos • Se t for rubro: o pai de t torna-se rubro e, os filhos de w tornam-se negros. Caso w seja a raiz, basta trocar sua cor para negro

12. raiz w w w v v v t t t q q q ω ω ω Ω Ω Ω Φ Φ Φ π π π φ φ φ • Se t for rubro: o pai de t torna-se rubro e, os filhos de w tornam-se negros. Caso w seja a raiz, basta trocar sua cor para negro

13. w v t q ω Ω Φ φ π Casos • Se t for negro: neste caso faz-se uma operação de rotação e, se necessário, uma inversão de cores. Há 4 subcasos a considerar:

14. ( Depois ) ( Antes ) v w v Ω w q q ω ω φ Ω π φ π 1º Subcaso • Se q é filho esquerdo de v e v é filho esquerdo de w é realizada uma rotação simples a direita e as cores de v e w são invertidas.

15. ( Depois ) ( Antes ) q w v w v Ω q ω π ω Ω φ φ π 2º Subcaso • Se q é filho direito de v e v é filho esquerdo de w é realizada uma rotação dupla a direita e as cores de q e w são invertidas.

16. 3º e 4º Subcasos • Os outros dois subcasos são simétricos aos dois subcasos anteriores

17. Inserção • A complexidade da inserção, que é a da inserção em árvore binária de busca, é logarítmica • O pior caso da fase de balanceamento é se tiver que aplicar a inversão de cores até a raiz • Como o tamanho do caminho da raiz até qualquer folha é logarítmico, o número de operações também é logarítmico • Em conclusão, a complexidade da inserção em árvores rubro-negras é logarítmica

18. Inserção Boolean Inserir (const int chave, ptr & filho, ptr & pai, ptr &avo) { if (filho == NULL) { filho = criar(chave); return true; } else if (chave != filho->chave) { boolean e; if (chave < filho->chave) e = Inserir(chave, filho->esq, filho, pai); else e = Inserir(chave, filho->dir, filho, pai); if (eh_rubro(filho)) if (e) if (chave < filho->chave) { Remanejar(filho->esq, filho, pai) ; return false; } else { Remanejar(filho->dir, filho, pai); return false; } else return true; else return false; } else return eh_rubro(filho); }

19. Animação de uma Árvore Rubro-Negra • Applet (ARN) - Inserção

20. Remoção • A remoção em árvores rubro-negras pode ser realizada também com um número logarítmico de operações • O procedimento de remoção é composto de uma etapa de remoção em árvore binária de busca seguido de uma etapa de balanceamento, caso as propriedades rubro-negras teriam sido destruídas durante a operação

21. Remoção • Se o nó removido for rubro, a árvore continua rubro-negra, pois todas as condições da definição ficam válidas: • 1. Os nós resultantes tem cor rubro ou negro • 2. A raiz, que era negra, não foi removida • 3. Nenhum nó negro foi removido, portanto todos os caminhos da raiz até uma folha tem um número igual de nós negros • 4. Os filhos de todos os nós rubros não removidos não foram alterados e portanto ficam negros

22. Remoção • Se o nó removido for negro, o número de nós de pelo menos um caminho foi decrementado e consequentemente a terceira condição ficou inválida. Quando isto acontece, dois tipos de solução são possíveis: • remoção preguiçosa- A remoção preguiçosa consiste em marcar o nó como removido, mas sem tira-lo da árvore. Nenhum remanejamento é necessário. Em compensação, os algoritmos de inserção e busca devem ser modificados para levar em conta que alguns nós da árvore devem ser considerados como ausentes. A adoção desta solução é possível quando as árvores rubro-negras são usadas no contexto de uma aplicação com poucas operações de remoção • remoção efetiva - Através de um número logarítmico de operações, a remoção efetiva restabelece as propriedades para que a árvore seja rubro-negra. Essas operações são detalhadas em seguida

23. ( Depois ) ( Antes ) v v x y Ω Ω q q ω ω φ φ x Remoção Efetiva • Caso o nó y a ser removido for rubro, as propriedades da ARN não são afetadas.

24. ( Depois ) ( Antes ) v v x y Ω q ω Ω q ω φ φ x Remoção Efetiva • Quando o nó a remover y é negro, todos os caminhos da raiz até uma folha passando por esse nó tem um nó negro a menos. Seja x o nó que passar a ocupar a posição de y na árvore. O problema da remoção efetiva é resolvido atribuindo negro a cor de x. Assim permanece igual a altura negra de todos os caminhos contendo x, antes e depois da inserção.

25. Remoção Efetiva • Porém, sex já era negro, ele agora passa a ser duas vezes negro, o que torna inválida a definição da ARN, e é preciso remanejar a árvore para eliminar essa situação. • No caso de x ser a raiz, então basta torná-lo simplesmente negro: a altura negra de todos os caminhos da árvore e decrementada, e a terceira condição permanece verdadeira. • x não sendo a raiz, seja v seu pai, e w seu irmão. A seguir é considerado o caso de x ser o filho, o outro caso simétrico é omitido.

26. ( Antes ) ( Depois ) v w x w v ω x π € £ φ π ω φ € £ 1º Subcaso – Remoção Efetiva • O primeiro caso, ilustrado abaixo considera a situação onde w é rubro. Nesta situação, é realizada uma rotação simples a esquerda de v, e as cores de v e w são modificadas. • O resultado desta modificação é que x permanece duplamente negro. Porém, o seu irmão agora também é negro, e o tratamento de um dos casos apresentados a seguir deve ser aplicado.

27. ( Depois ) ( Antes ) vc vc x w x w ω ω € € £ φ π £ φ π 2º Subcaso – Remoção Efetiva • O segundo caso configura a situação onde ambas sub-árvores de w são negras e é ilustrado abaixo. • Este remanejamento consiste em subir um ponto negro dos nós x e w, que passam a ser negro e rubro respectivamente, no nó v. Se ele era anteriormente rubro, ele torna-se negro. Se ele era anteriormente negro, ele torna-se duplamente negro, e um novo remanejamento é necessário no nível superior.

28. ( Depois ) ( Antes ) vc vc x z x w w ω ω φ z € € £ £ Ω Ω π φ π 3º Subcaso – Remoção Efetiva • No terceiro caso, ilustrado abaixo, a sub-árvore esquerda de w é rubra, e a direita é negra. Seja z o filho esquerdo de w. É então realizada uma rotação simples a direita de w, e uma inversão das cores de w e z. • O nó x permanece duplamente negro, mas configura-se agora uma situação diferente, onde a sub-árvore direita w é rubra, cujo tratamento é apresentado a seguir.

29. ( Antes ) ( Depois ) vc wc x w v z z ω φ € x £ φ Ω π Ω π € £ 4º Subcaso – Remoção Efetiva • O quarto e último caso corresponde portanto à situação onde a sub-árvore direita de w é rubra. Seja z o filho direito de w. • A solução consiste em fazer uma rotação simples a esquerda de v, atribuir aos nós v e z a cor negra, e a w a cor que era a de v.

30. Comparação entre árvores

31. Bibliografia • http://en.wikipedia.org/wiki/Red-black_tree • Árvores Balanceadas, David Déharbe, Universidade Federal do Rio Grande do Norte