Kalkulacja składki zaufania na podstawie łącznej wartości i liczby szkód

1. Kalkulacja składki zaufania na podstawie łącznej wartości i liczby szkód Joanna Sawicka Wydział Nauk Ekonomicznych, Uniwersytet Warszawski

2. Plan prezentacji • Podstawowe założenia i oznaczenia • Postać optymalnych predyktorów • Porównanie MSE predyktorów • Przypadki szczególne predyktorów • Przykład numeryczny

3. Podstawowe założenia i oznaczenia • Mamy zbiór danych zawierający informacje o liczbie i wartości szkód wygenerowanych przez M ubezpieczonych (kontraktów) obserwowanych przez T okresów. • Przyjmujemy, że: - liczba szkód j-tego ubezpieczonego w t-tym okresie - wartość k-tej szkody j-tego ubezpieczonego w t-tym okresie - łączna wartość szkód j-tego ubezpieczonego w t-tym okresie

4. Podstawowe założenia i oznaczenia • Rozkład łącznej wartości szkód j-tego ubezpieczonego zależy od dwóch niezależnych parametrów ryzyka: • - parametr ryzyka rozkładu liczby szkód • - parametr ryzyka rozkładu wartości pojedynczej szkody • Parametry ryzyka oraz dla M ubezpieczonych są niezależne i mają takie same rozkłady

5. Podstawowe założenia i oznaczenia • Przy znanej liczby szkód dla j-tego ubezpieczonego w kolejnych okresach są warunkowo niezależne i pochodzą z tego samego rozkładu. • Przy znanej wartości kolejnych szkód j-tego ubezpieczonego w kolejnych okresach są warunkowo niezależne i pochodzą z tego samego rozkładu.

6. Podstawowe założenia i oznaczenia • Przy ustalonej wartości i łączne wartości szkód j-tego ubezpieczonego w kolejnych okresach są warunkowo niezależne i pochodzą z tego samego rozkładu. • Przy ustalonej wartości i warunkowo niezależne są także liczba szkód i łączna wartość szkód dla j-tego ubezpieczonego dla różnych okresów oraz wartość pojedynczej szkody i łączna wartość szkód dla j-tego ubezpieczonego dla różnych okresów. • Łączna wartość szkód, liczba szkód i wartości pojedynczych szkód są niezależne dla różnych ubezpieczonych we wszystkich okresach.

7. Podstawowe założenia i oznaczenia • Oznaczenia momentów: • oraz • oraz • oraz • oraz

8. Postać optymalnych predyktorów Problemy predykcji łącznej wartości szkód w okresie T+1 dla j-tego ubezpieczonego: • gdzie • gdzie • ,

9. Postać optymalnych predyktorów Otrzymane optymalne predyktory:

10. Postać optymalnych predyktorów gdzie: oraz • oraz

11. Porównanie MSE predyktorów • Wielkości MSE predyktorów:

12. Porównanie MSE predyktorów • Ponieważ: więc zachodzi:

13. Porównanie MSE predyktorów • Nierówność: daje się zapisać jako:

14. Porównanie MSE predyktorów • Można pokazać, że wtedy gdy czyli jest zawsze spełnione. Wobec tego: • Uwaga: warunek dodatniości ma postać (ozn. *): lub

15. Porównanie MSE predyktorów • Kiedy zachodzi: ? • Musi zachodzić nierówność (ozn. (**)):

16. Porównanie MSE predyktorów • Zatem dla odpowiednio długiej historii ubezpieczonego lepiej posługiwać się predyktorem opartym na łącznej wartości szkód. • Nierówność (**) jest ponadto na pewno spełniona, gdy zachodzi: czyli gdy lub .

17. Porównanie MSE predyktorów • Można także zauważyć, że , gdy: • Wobec tego zachodzenie oznacza, że MSE predyktora opartego na liczbie szkód jest większe niż MSE predyktora opartego na łącznej wartości szkód. W drugą stronę zależność nie zachodzi.

18. Porównanie MSE predyktorów • Można także pokazać, że nierówność (**) zachodzi, gdy:

19. Przypadki szczególne predyktorów • Rozkład pojedynczej wartości szkody jest taki sam dla wszystkich ubezpieczonych, czyli: • , • , • oraz

20. Przypadki szczególne predyktorów • Wtedy: ponieważ: • ,

21. Przypadki szczególne predyktorów • Predyktor oparty na łącznej wartości szkód nadal ma postać: ze zmodyfikowaną wartością wagi:

22. Przypadki szczególne predyktorów • Przy założeniach 1. predyktor oparty na liczbie szkód jest lepszy pod względem MSE niż predyktor oparty na łącznej wartości szkód. • Warunek zachodzenia nierówności (**) przy obecnych założeniach ma teraz postać:

23. Przypadki szczególne predyktorów • Rozkład liczby szkód jest taki sam dla wszystkich ubezpieczonych, czyli: • , • , • oraz

24. Przypadki szczególne predyktorów • Predyktor oparty na liczbie szkód może być zapisany w postaci: z wagą , czyli upraszcza się do: i ma największe MSE.

25. Przypadki szczególne predyktorów • Predyktor dwuczynnikowy będzie równy: z wagami: co oznacza, że można go także zapisać

26. Przypadki szczególne predyktorów w postaci: • Predyktor ten ma nadal najmniejsze MSE.

27. Przypadki szczególne predyktorów • Predyktor oparty na łącznej wartości szkód nadal ma postać: ze zmodyfikowaną wartością wagi:

28. Przykład numeryczny • Przyjmijmy, że: • , • , • , • . • Obliczmy wagi oraz MSE predyktorów dla rosnącej liczby okresów – T=1,…,50.

29. Przykład numeryczny Rys. 1. Wartości wag stosowanych w predyktorze dwuczynnikowym, predyktorze opartym na liczbie szkód oraz predyktorze opartym na wartości szkód dla rosnącej liczby okresów

30. Przykład numeryczny • Przy tak dobranych parametrach rozkładów zachodzi warunek (*), czyli oraz . • Dla t=17 waga zaczyna być większa od . Oznacza to, że od tego okresu MSE predyktora opartego na łącznej wartości szkód będzie na pewno mniejsze niż predyktora opartego na liczbie szkód.

31. Przykład numeryczny Rys. 2. Wartości MSE dla predyktora dwuczynnikowego, predyktora opartego na liczbie szkód oraz predyktora opartego na wartości szkód dla rosnącej liczby okresów

32. Przykład numeryczny • Dla przyjętych parametrów rozkładów MSE predyktora opartego na liczbie szkód jest początkowo mniejsze niż MSE predyktora opartego na łącznej wartości szkód. • Dla t=16 predyktor oparty na łącznej wartości szkód zaczyna być lepszy od predyktora opartego na liczbie szkód.

33. Przykład numeryczny • Przez cały okres predyktor oparty na zarówno na liczbie jak i na łącznej wartości szkód jest lepszy od predyktorów jednoczynnikowych.

34. Dziękuję za uwagę