MODELES FINANCIERS DE L'ASSURANCE

1. MODELES FINANCIERS DE L'ASSURANCE Institut des Actuaires Français Pierre DEVOLDER 28 mai 2003 AXA Belgium UNIVERSITE CATHOLIQUE DE LOUVAIN

2. BUT DE L'EXPOSE • MODELES ACTUARIELS CLASSIQUES DE L'ASSURANCE • Calcul viager des primes en assurance-vie • Principes de tarification en assurance non-vie • MODELES D'ARBITRAGE DE LA FINANCE MODERNE • Méthodologie risque neutre UN MARIAGE EST-IL POSSIBLE ? UNE DESCENDANCE EST-ELLE ENVISAGEABLE ?

3. CADRE THEORIQUE COMMUN • ELEMENTS CONSTITUTIFS EN FINANCE ETEN ASSURANCE : • temps • incertitude • PROBLEME ELEMENTAIRE : PRIX EN t = 0 D'UN CASH FLOW FUTUR PAYE EN t = TMONDE DETERMINISTE : THINGS ARE DESPERATELY SIMPLE !

4. CADRE THEORIQUE COMMUN (2) • QUID si : M est aléatoire i est aléatoire T est aléatoire • MODELISATION DE L'INCERTAIN PAR : • UN ENSEMBLE D'ETATS DU MONDE • UNE MESURE QUANTIFIANT LES CHANCES DE REALISATION LE CADRE EST-IL EXACTEMENT IDENTIQUE EN ASSURANCE ET EN FINANCE ?

5. MODELES CLASSIQUES DE L'ASSURANCE • TAUX D'ACTUALISATION CONSTANT (Assurance Vie) OU IGNORE (Assurance Non Vie) • PHENOMENE ALEATOIRE : • OBEISSANT A UNE LOGIQUE DE LOI DES GRANDS NOMBRES • NON CORRELE AVEC LES MARCHES FINANCIERS • 2 EXEMPLES SIMPLES : • ASSURANCE TEMPORAIRE DECES 1 AN • CONTRAT DE REASSURANCE EXCESS OF LOSS

6. ASSURANCE VIE i = déterministe T = déterministe M = aléatoire • EN CAS DE DECES EN t = 1 : 1 (1) • EN CAS DE SURVIE en t = 1 : 0 (2) = PRIME EN t = 0 1 (1)  = ? t = 0 t = 1 • PRINCIPE D'ESPERANCE MATHEMATIQUE • CHARGEMENT DE SECURITE : 0 (2)

7. REASSURANCE EXCESS OF LOSS (1) X = MONTANT DE SINISTRE AVANT REASSURANCE = VARIABLE ALEATOIRE DE FONCTION DE REPARTITION FIXEE F CONTRAT XL : PAIEMENT PAR LE REASSUREUR DE LA PARTIE DU SINISTRE EXCEDANT UN MONTANT FIXE K : Y = ( X – K) + PRIME DE REASSURANCE :

8. REASSURANCE EXCESS OF LOSS (2) PRIME PURE : CHARGEMENT DE SECURITE :

9. MODELES CLASSIQUES DE L'ASSURANCE - CONCLUSION ALEA RISQUE COMPENSATION PAR LA LOI DES GRANDS NOMBRES • 1 . ESPERANCE MATHEMATIQUE PAR RAPPORT A LA MESURE DE PROBABILITE REELLE • HEDGING IMPARFAIT • CHARGEMENT DE SECURITE ET PRICING VARIABLEFONCTION DE L'AVERSION AU RISQUE

10. MODELES D'ARBITRAGE DE LA FINANCE • INCERTITUDE LIEE A L'EVOLUTION D'ACTIFS FINANCIERS (Taux d'intérêt / Cours d'action) Loi des grands nombres ? • SUR CES SOUS-JACENTS ALEATOIRES, DEVELOPPEMENT DE PRODUITS A TARIFER • 2 EXEMPLES : • OPTION SUR ACTION • OPTION SUR ZERO COUPON

11. SOUS-JACENT d.S (d < 1) (1) S t = 0 u.S (u > 1) (2) t = 1 PRODUIT A TARIFER 1 (1)  = ? t = 0 0 (2) t = 1 OPTION DE VENTE SUR ACTIONS (1) q 1 - q i = déterministe T = déterministe M = aléatoire

12. OPTION DE VENTE SUR ACTIONS (2)TARIFICATION • PRINCIPE ACTUARIEL : ? + chargement de sécurité … • THEORIE FINANCIERE DE L'ARBITRAGE • LA PROBABILITE RELLE q N'INTERVIENT PAS DANS LE PRIX • LE PRIX EST UNIQUE POUR TOUS LES OPERATEURS

13. OPTION DE VENTE SUR ACTIONS (3)TARIFICATION EN MESURE RISQUE NEUTRE PRINCIPE DE DUPLICATION : • DUPLICATION DES CASH FLOWS DU PRODUIT A TARIFER PAR UNE COMBINAISON LINEAIRE D'ACTIFS CONNUS (actif sans risque i + actif risqué S)t = 1 (et non pas : t = 0

14. OPTION DE VENTE SUR ACTIONS (4) RESOLUTION PRIX INITIAL :

15. OPTION DE VENTE SUR ACTIONS (5) • LE NOMBRE EST APPELE • PROBABILITE RISQUE NEUTRE • a) Condition pour être un candidat probabilité : 0  p  1 Condition d'équilibre naturel de marché

16. OPTION DE VENTE SUR ACTIONS (6) • Interprétation financière de cette probabilité :Dans un nombre virtuel où la vraie probabilité q serait remplacée par le nombre p, le rendement moyen de l'actif risqué correspondrait au taux sans risque i : p . d + (1 – p) . u = 1 + i • Lien entre la probabilité réelle q et le nombre p : ? p > < q ? • Equilibre économique naturel rendement / risqueE (rendement actif risqué) > taux sans risque

17. OPTION DE VENTE SUR ACTIONS (7) • q . d + (1 – q) . u > 1 + i Or 1 + i = p . d + (1 – p) . u • Donc q . d + (1 – q) . u > p . d + (1 – p) . u⇓ • p > q • Chargement de sécurité :

18. MODELE D'ARBITRAGE DE LA FINANCE - CONCLUSION ALEA RISQUE PRINCIPE DE DUPLICATION • ESPERANCE MATHEMATIQUE PAR RAPPORT A UNE MESURE DE PROBABILITE MODIFIEE • HEDGING PARFAIT • PRIX UNIQUE DE MARCHE

19. OPTION SUR ZERO COUPONS Modèles déterministes i = déterministe i = déterministe M = déterministe M = aléatoire Tarification des Tarification des options zéros-coupons sur zéro-coupons i = aléatoire i = aléatoire M = déterministe M = aléatoire

20. TARIFICATION DES ZERO-COUPONS • DETERMINISTE : • STOCHASTIQUE : incertitude sur M = 1 le taux i (zéro coupon) = taux spot futur à l'instant t P (t, s) = Prix à l'instant t d'un zéro coupon d'échéance s

21. TARIFICATION DES ZERO-COUPONS (2) • 1ère IDEE : • 2e IDEE :  MODELE D'ARBITRAGE : Non mesurable en t où Q est une mesure de probabilité modifiée(mesure neutre risque)

22. MODELE GENERAL risque financier Monde stochastique : incertitude sur cash flow les taux futur aléatoire risque d'assurance corrélation entre les 2 aléas ?

23. OPTION SUR ZERO COUPONS (1) M = Risque financier avec corrélation avec la structure de taux OPTION SUR ZERO COUPON : DROIT D'ACHETER A UN INSTANT f ANTERIEUR A LA MATURITE s, LE ZERO COUPON A UN PRIX FIXE D'AVANCE A L'INSTANT t (t < f < s) MODELE D'ARBITRAGE : avec Q = mesure risque neutre

24. OPTION SUR ZERO COUPONS (2) Calcul explicite : actualisation espérance risque neutre du cash flow

25. OPTION SUR ZERO COUPONS (3) Mesure Forward neutre : Nouveau changement de mesure de probabilité P Q Qf monde monde risque monde forward réel neutre neutre

26. ASSURANCE ET FINANCE (1) avec M = flux lié à des risques financiers et d'assurance TITRISATION DE RISQUES D'ASSURANCEINTEGRATION, A COTE DES RISQUES CLASSIQUES DE MARCHE, DES RISQUES TECHNIQUES D'ASSURANCE, DANS DES PRODUITS FINANCIERS

27. ASSURANCE ET FINANCE (2) Exemple type : CAT BOND OBLIGATION DONT LES COUPONS ET / OU LE PRINCIPAL SONT MODIFIES EN CAS DE SURVENANCE D'EVENEMENTS ALEATOIRES RELEVANT DE LA SPHERE DE L'ASSURANCE GENERALEMENT DU DOMAINE DES CATASTROPHES (Tremblement de terre / Inondation /…..) (cf. Loi des Grands Nombres ???)

28. CAT BONDS Exemples MODELE SUR UNE PERIODE : 108 si pas de catastrophe 100 0 si catastrophe MODELE SUR 2 PERIODES : 108 8 100 100 108 0 100

29. CAT BONDS MECANISMES D'ATOMISATION DU RISQUE RéassuranceRéassureur Classique Assureur Marché financier Cat Bond

30. CAT BONDS POINT DE VUE DE L'EMETTEUR • ALTERNATIVE AUX SCHEMAS TRADITIONNELS DE REASSURANCE • APPEL AU MARCHE DES CAPITAUX POUR MIEUX DILUER LE RISQUE • augmentation ces dernières années des risques de nature cat • modifications climatiques • concentration de population dans des zones à risque • concentration dans le monde de la réassurance / capital limité

31. CAT BONDS POINT DE VUE DE L'ACHETEUR • INTERET D'UN INVESTISSEUR POUR ACHETER CE TYPE DE PRODUIT ? • 2 ELEMENTS : • Hedging naturel dans des secteurs influencés favorablement par l'occurrence de catastrophes • Elément de diversification : risques non corrélés avec les risques traditionnels des marchés financiers

32. CAT BONDS Diversification / MODÈLE DE MARKOWITZ PROBLEME DE LA THEORIE DU PORTEFEUILLE • maximiser l'espérance de rendement • tout en minimisant sa variance (équilibre rendement / risque) • M titres risqués de rendement aléatoire (R1,R2,..,RN) E(Ri) = i COV (Ri, Rj) = ij + 1 titre non risqué de rendement certain RO E(R0) = r0 COV (R0, Rj) = 0

33. MODELE DE MARKOWITZ (2) • PORTEFEUILLE : X = (x0, x1…,xN)xi = part investie dans l'actif i • CRITÈRE D'OPTIMISATION : • rendement moyen du portefeuille : • variance du portefeuille :

34. MODELE DE MARKOWITZ (3) • PORTEFEUILLE EFFICIENT X*: Il n'existe pas un autre portefeuille tel que • PROBLEME D'OPTIMISATION : minimisation du risque sous contrainte : sous contraintes : et

35. MODELE DE MARKOWITZ (4) • FRONTIERE EFFICIENTE : sans actif avec introduction denon risqué l'actif non risqué droite de marché efficiente rendement r0 écart type

36. MODELE DE MARKOWITZ (5) • INTRODUCTION D'UN ACTIF COMPLEMENTAIRE DE RENDEMENT R N+ 1 ALEATOIRE • risque élevé • rendement moyen élevé • non corrélation avec les N titres risqués • déplacement vers le haut de la frontière efficiente

37. MODELE DE MARKOWITZ (6) • meilleur rendement moyen à risque fixé rendement . CAT r0 risque sans actif avec actif CAT CAT

38. TARIFICATION DES CAT BONDS (1) Application aux cat-bonds c(k) = coupon / principal = cash flow aléatoire payé en k, contingent à un risque d'assurance (k = 1, …., T)

39. TARIFICATION DES CAT BONDS (2) • EXEMPLE DE FORMULE CONTINGENTE • Dès qu'une catastrophe se produit durant la vie de l'obligation, les coupons et le principal sont réduits d'un facteur 1 – f (0 < f < 1) et il n'y a plus paiement après.  = instant d'arrivée de la catastrophe = threshold time = premier instant d'un processus ponctuel de Poisson

40. TARIFICATION DES CAT BONDS (3) • HYPOTHÈSE DE NON CORRÉLATION • Indépendance entre le processus des taux spot { r } et le processus ponctuel de Poisson où Q = probabilité de survenance de la CAT sous la mesure neutre risque

41. TARIFICATION DES CAT BONDS (4) • COTATION AU PAIR expression du coupon du CAT Bond •  = 1 si f = 0 :

42. TARIFICATION DES CATS BONDS (5) • Q = MESURE RISQUE NEUTRE = ? APPLICATION DES RAISONNEMENTS D'ARBITRAGE AU RISQUE CONTINGENT ? MODÈLE INCOMPLET : L'ENSEMBLE DES CASHFLOWS POSSIBLES NE PEUT ETRE DUPLIQUE A L'AIDE D'ACTIFS DE BASE. • NON UNICITE DE LA MESURE RISQUE NEUTRE • NON UNICITE DU PRIX • BORNES SUR LE PRIX EN VUE D'EVITER LES OPPORTUNITES D'ARBITRAGE

43. TARIFICATION DES CAT BONDS (6) • PRIX PUR (cf Prime pure en assurance) :PRENDRE POUR Q = PROBABILITÉ RÉELLE DE SURVENANCE DE CAT • CHARGEMENT POSSIBLE …. VU LA NON UNICITE THEORIQUE DU PRIX D'ARBITRAGE • ESTIMER LE PRIX A L'AIDE D'UNE PROBABILITE DE SURVENANCE SUPERIEURE A LA PROBABILITE REELLE(Processus de Poisson :  >  réel)