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Lezione 7

Lezione 7. formalismo di Dirac. correnti. +. =. corrente. conservazione della corrente. correnti. la corrente si conserva. Corrente e Densità di Probabilità. l’equazione di KG ammette soluzioni ad energia negativa e densità di probabilità negativa

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Lezione 7

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Presentation Transcript


  1. Lezione 7 formalismo di Dirac

  2. correnti + = corrente conservazione della corrente

  3. correnti la corrente si conserva

  4. Corrente e Densità di Probabilità • l’equazione di KG ammette soluzioni ad energia negativa e densità di probabilità negativa • l’equazione di Dirac ammette soluzioni ad energia negativa, ma la densità di probabilità è positiva • un esempio è una particella libera  di momento p. • vedremo che si arriva all’equazione che lega densità di probabilità e corrente in questo caso, con delle semplici manipolazioni dell’equazione di Dirac • vedremo anche che è ragionevole interpretare una particella libera come una corrente

  5. esempio: è ragionevole interpretre una particella libera come una corrente equazione di Dirac l’equazione di Dirac diventa particella libera di momento p.  opera su un’onda piana di momento p.. Hermitiana coniugata sommiamo queste due equazioni Usando le regole di anticommutazione corrente densità di probabilità

  6. contrariamente a quanto accadeva con l’equazione di KG , l’equazione di Dirac ammette solo corrente e densità di probabilità positive

  7. soluzioni per particellelibere spinori a 2 componenti Equazione di Dirac rappresentazione specifica delle :ridefinizione che scritta esplicitamente diventa Separando le variabili

  8. La separazione tra fermioni destrorsi e sinistrorsi è un punto tecnico molto importante nel Modello Standard massa nulla le due equazioni si separano elicità m=0, fermioni relativisici L soluzione a enegia positiva sinistrorsa R soluzione a enegia positiva destrorsa

  9. cosa si impara? • esistono soluzioni per p0 • possono essere intercambiatecon L  - R • m=0, le due equazioni si separano; le particelle sono destrorse (R) o sinistrorse (L) • elicità misura la componente di spin lungo la direzione del moto della particella. • L  left-handed positive energy solution. • R  right-handed positive energy solution. • Se uno stato left-handed ha p0>0, allora L >> R • m≠0, le due soluzioni non si separano. (troveremo nella lagrangiana un termine di massa  interazione L R)

  10. possiamo scrivere una soluzione dell’equazionedi Dirac nella forma separiamo la dipendenza da spazio e tempo in genere si usa  per una soluzione generale ed u quando si vuole fattorizzare il tempo u soddisfa la stessa equazione nello spazio dei momenti che abbiamo scritto, dato che implicitamente si era assunto che si lavorava con autovalori dell’energia dobbiamo normalizzare; la scelta convenzionale per la normalizzazione è: notare che ha le dimensioni di una massa, o di una energia, nelle unità naturali un fattore di questo tipo deve essere espresso in termini delle masse ed energie disponibili

  11. Particelle e antiparticelle • Tratteremo le antiparticelle come se fossero particelle • arrivano in coppia: se c’è una particella c’è anche la sua antiparticella • se sono fermioni sono descritte dalla soluzione dell’equazione di Dirac • i “vertici” hanno la forma

  12. Gli operatori PARITA’ usoluzione della equazione di Dirac per esempio è sempre utile separare la parte alta e bassa della funzione d’onda. scegliamo una rappresentazione delle matrici in cui Definiamo gli operatori Sono operatori di proiezione fermioni destrorsi e sinistrorsi

  13. ELICITA’ e PARITA’ L’elicità di un fermione massivo può essere cambiata da una trasformazione di Lorentz,perchè si può andare nel sistema a riposo e ruotare. Quindi l’elicità non è un numero quantico quindi in queste equazioni c’è un cambiamento di segno La parità opera così: La natura però, ed il modello standard trattano fermioni destrorsi e sinistrorsi in modo diverso e la connessione tra destra, sinistra e massa è sottile Il momento angolare si trasforma come: quindi lo spin si trasforma come Se la natura fosse invariante per trasformazione di parità esisterebbero sempre le due soluzioni. Ma in natura la parità non si conserva. Non esistono neutrini destrorsi. Nel caso degli elettroni, esistono sia eR e eL, ma solo eL può interagire con il 

  14. Conservazione della parità (elicità)nelle interazioni elettromagnetiche se l’interazione ha la forma della corrente,(e.g. interazione elettromgnetica ) l’elicità (parità) si conserva

  15. relazioni utili corrente Dato che Valgono le seguenti relazioni Applicando le quali si ottiene conservazione elicità (parità) nelle interazioni elettromagnetiche

  16. termine di massa Il termine di massa della Lagrangiana ha la forma Esprimiamo in termini di stati destrorsi e sinistrorsi il termine di massa è equivalente ad un flip in elicità

  17. V-A interction in una interazione in cui i termini in LL ed RR sono ugualmente probabili, come nella interazione e.m., si conserva la parità e la corrente ha la forma ma se per una ragione qualsiasi abbiamo solo stati LL, allora c’ solo il termine quadri-vettore quadri-vettore assiale

  18. L’interazione debole • L’interazione debole è un esempio di interazione V-A ( Vettoriale –Assiale). • E questo perchè in natura esistono solo neutrini sinistrorsi L • Nel caso esistessero invece solo neutrini destrorsi, l’interazione sarebbe del tipo V+A

  19. NON CONSERVAZIONE DELLA PARITA’ NELLE INTERAZIONI DEBOLI come interagisce una qualsiasi funzione d’onda (particella) ’ con una funzione d’onda (particella) sinistrorsa L? top bottom in una qualsiasi corrente formata con ’ e L, solo la componente ’L può interagire con L, anche se la componente R ( su , top) di ’ esiste e corrisponde ad uno stato fisico. in natura, effettivamente, solo eL interagiscono con i neutrini. eR non interagiscono con i neutrini

  20. La Lagrangiana di Dirac

  21. Negative Energy Solution: Feynman prescriptions negative energy particle solution propagating backward in time = positive energy antiparticle solution propagating forward in time è plausibile ?? the emission (absorption) of an antiparticle of 4-momentum p is physically equivalent to the absorption ( emission) of a particle of 4-momentum -p

  22. Space-Time plot scattering di un + da un potenziale, in una teoria perturbativa disecond’ordine Non Relativistic Quantum Mechanic (NRQM) In RQM dobbiamo ammettere anche particelle che vanno indietro nel tempo scattering center scattering center Relativistic Quantum Mechanic RQM Trajectory for second order scattering in NRQM negative-energyy DICE FEYNMAN: positive-energyy quindi oltre al grafico NRQM, c’è anche un grafico RQM positive-energyy Trajectory for second order scattering in RQM

  23. DICE FEYNMAN: Una particella con energia negativache procede in avantiè equivalente alla sua antiparticellacon energia positivache procede all’indietro nel tempo il potenziale assorbe una coppia +- a t2 + procede verso il futuro il potenziale emette una coppia +- a t1 + viene dal passato Quindi la soluzione a energia negativa di una equazione d’onda che descrive una certa particella è usata per descrivere la sua antiparticella con energia positiva,scambiando opportunamente stati finale e iniziale In questo modo situazioni che coinvolgono più di una particella ( come la creazione di coppie) possono essere trattate con la funzione d’onda di una singola particella Non si può creare una singolaparticella carica. Le particelle sono create in coppie particella-antiparticella e le traiettorie nello spazio tempo sono continue

  24. probability current for positive-energy + the electromagnetic current of a positive energy + is palusibly given by the probability current for positive energy solution multiplied by the charge (Q=e+) Quando un sistema emette un pione negativo di energia positiva, la sua energia totale decresce di E e la sua carica elettrica decresce di (-e) This is equivalent to have the system-charge increased of (+e) This charge increase could equally well be caused by the absorption of a positive pion, but to be equivalent to the negative pion emission, the positive pion will have to have negative energy ( The system loose energy in the emission)

  25. gli ingredienti • le notazioni dell’equazione di Dirac, per esprimere la struttura dello spin • l’imposizione della gauge invariance che ci dice di cominciare con una Lagrangiana di particella libera e di riscriverla con il formalismo delle derivate covarianti • l’idea di simmetrie interne

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