MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME Y NO UNIFORME.

1. MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME Y NO UNIFORME. En los movimientos que realizan los pilotos acróbatas cuando efectúan un movimiento circular en el aire, su trayectoria es una circunferencia, y sucede que puede tener una rapidez constante, pero su velocidad cambia a cada instante debido a que la velocidad es un vector.

2. En un momento dado el piloto puede seguir la trayectoria de la velocidad y se ira en línea recta, debido a que su movimiento es tangente, o sea perpendicular al radio del circulo. • Desplazamiento angular.- Es una distancia recorrida por una partícula en una trayectoria circular y se expresa frecuentemente en radianes (rad), grados () y revoluciones (rev); es conveniente expresar toda rotación en radianes. El radian (rad) es una unidad de medida angular, así como el metro es la unidad de medida lineal.

3. Se define al radián como el ángulo subtendido por el arco del círculo cuya longitud es igual al radio del mismo circulo. Puesto que la circunferencia entera de un círculo es justo 2  veces el radio r, hay 2  radian en un circulo completo. 1rev = 2  radian = 360 Puesto que  = 3.14 1 rad = 360 = 57.3 2 

4. De las relaciones anteriores se deduce que el ángulo  en radianes, en cualquier punto sobre la circunferencia de un circulo, esta dado por d, la longitud del arco entre los dos puntos, dividida por el radio r. En otras palabras, Angulo en radianes = longitud del arco Radio  = d r

5. radián r Un radián equivale a 57.3°

6. B A θ r r Θ= desplazamiento angular, r = vector de posición, A = posición inicial Del objeto, B = posición del objeto, después de un periodo de tiempo.

7. PERIODO Y FRECUENCIA.-El movimiento circular uniforme presenta en su trayectoria el paso en un punto fijo, equivalente a un ciclo por cada vuelta o giro completo de 360. • En física son también llamados revoluciones para un determinado tiempo. • El periodo de un movimiento circular es el tiempo que tarda una partícula en realizar una vuelta completa, revolución o ciclo completo. La unidad utilizada para el periodo es el segundo o, para casos mayores unidades mayores. • T = 1/F T = seg/ciclo

8. Se denomina frecuencia de un movimiento circular al numero de revoluciones, vueltas o ciclos completos en la unidad de tiempo. La unidad utilizada para medir la frecuencia de un movimiento es el hertz (Hz), que indica el número de revoluciones o ciclos por cada segundo- • F = 1/T F = ciclos/ seg. o hertz.

9. Estos conceptos de periodo y frecuencia son muy útiles para comprender los fenómenos que se producen en los movimientos periódicos, que se observaran con mayor detenimiento en los temas de acústica y óptica, para comprender los fenómenos ondulatorios electromagnéticos del fenómeno luminoso.

10. VELOCIDAD ANGULAR. A la razón del cambio del desplazamiento angular al tiempo transcurrido se le denomina velocidad angular, y esta dada por,  = t  = velocidad angular en rad/seg.  = desplazamiento angular en rad. t = tiempo en segundos en que se efectuó el desplazamiento angular. El símbolo  (omega) se usa para denotar la velocidad angular. Aunque se puede expresar en revoluciones por minuto (rev./ min, rpm.) o revoluciones por segundo (rev./s) en la mayor parte de los problemas físicos se hace necesario usar radianes por segundo (rad/s) para adaptarse a fórmulas más convenientes.

11. La velocidad angular también se puede determinar si sabemos el tiempo que tarda en dar una vuelta completa: •  = 2 π • T • Como: T = 1/F •  = 2π F en rad/seg.

12. ACELERACIÓN ANGULAR. • Como el movimiento lineal o rectilíneo, el movimiento circular puede ser uniforme o acelerado. La rapidez de rotación puede aumentar o disminuir bajo la influencia de un momento de torsión resultante. • La aceleración angular se define como la variación de la velocidad angular con respecto al tiempo y esta dada por: •  = f - i • t • donde: •  = velocidad angular final en rad/ s2 • f = velocidad angular final en rad/s • i = velocidad angular inicial en rad/s • t = tiempo transcurrido en seg

13. Una forma más útil de la ecuación anterior es: f = i +  t Ahora que hemos introducido el concepto de velocidad angular inicial y final, podemos expresar, la velocidad angular media en términos de sus valores inicial y final.  =f - i 2  = f - i (t) 2

14. Esta ecuación es también similar a una ecuación derivada para el movimiento lineal. De hecho las ecuaciones para la aceleración angular tienen las mismas formas básicas que las que se derivan de la aceleración lineal, estableciendo las analogías siguientes: • d (m) ------------------  (rad) • v (m/seg)-----------------  (rad/seg) • a (m/ s2)---------------  (rad/seg2) • RELACION ENTRE MAGNITUDES LINEALES Y ANGULARES • d =  r • v =  r • a =  r

15. Comparación de formulas entre aceleración linealY aceleración angular • Aceleración lineal constante • Vf = Vo + a t • D = ½ (Vo+ Vf)(t) • Vf2 =Vo2 + 2 ad • d = Vot + ½ a t 2 • Aceleración angular constante • f = i + t •  = ½ (f + i) (t) • f 2= o2 +  •  =o t +1/2  t 2

16. Donde: d = longitud del arco en cm. o metros.  = desplazamiento angular en radianes r = radio en cm, o metros. v = velocidad lineal en cm /s, m/s,  = velocidad angular en rad /s. a = aceleración lineal en cm/ s2 , m/ s2  = aceleración angular en rad / s2.

17. Problemas de Movimiento circular uniforme. 1.- Un móvil con trayectoria circular recorrió 820° ¿Cuántos radianes fueron? Solución: 1 rad = 57.3° 820° x 1 rad = 14.31 radianes. 57.3°

18. 2.- Un cuerpo A recorrió 515 radianes y un cuerpo B recorrió 472 radianes. ¿A cuántos grados equivalen los radianes en cada caso? Solución: Cuerpo A: 515 rad x 57.3° 1 rad = 29509.5°. Cuerpo B : 472 rad x 57.3° = 27045.6°. 1 rad

19. 3.- ¿Cuál es el valor de la velocidad angular de una rueda que gira desplazándose 15 radianes en 0.2 segundos? Datos Fórmula Sustitución ω = ¿  = θ  = 15 rad θ = 15 rad t 0.2 seg t = 0.2 seg  = 75 rad/seg.

20. 4.- Determinar el valor de la velocidad angular y la frecuencia de una piedra atada a un hilo, si gira con un periodo de 0.5 segundos. • Datos Fórmula • ω = ?  = 2 π • f = ? T • T = 0.5 seg •  = 2 x 3.14 = 12.56 rad/seg. 0.5seg • f = 1/T f = 1/ 0.5 seg =2 ciclos/seg o 2 Hz.

21. 5.- Hallar la velocidad angular y el periodo de una rueda que gira con una frecuencia de 430 revoluciones por minuto. Datos Fórmulas ω = ¿  = 2 π F T = ¿ T = 1/F F = 430 rpm Sustitución y resultado: 430 rpm x 1 min = 7.17 rev/seg 60 seg  = 2 x 3.14 x 7.17 rev/seg = 45 rad/seg. T = 1/7.17 rev/seg = 0.139 seg/rev.

22. 6.- Encontrar la velocidad angular de un disco de 45 rpm, así como su desplazamiento angular, si su movimiento duró 3 minutos. Datos Fórmulas ω = ?  = 2 π F θ = ? θ = ω t F = 45 rpm t = 3 min = 180 seg 45 rpm x 1 min = 0.75 rev/seg 60 seg  = 2 x 3.14 x 0.75 rev/seg  = 4.71 rad/seg. θ = 4.71 rad/seg x 180 seg=847.8 rad.

23. ECUACIONES DEL MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE ACELERADO • Las ecuaciones empleadas para el movimiento circular uniformemente acelerado son las mismas que se utilizan para el rectilíneo uniformemente acelerado con las siguientes variantes: • 1.- en lugar de desplazamiento en metros hablaremos de desplazamiento angular en radianes (θ en lugar de d). • 2.- la velocidad en m / s se dará como velocidad angular en radianes / s (ω en lugar de v). • 3.- la aceleración en m / s2 se cambiara a aceleración angular en radianes / s2 (α en lugar de a)

24. En conclusión las ecuaciones serán: a).- Para calcular el valor de los desplazamientos angulares cuando el cuerpo no parte del reposo: 1.- θ = ω0t + αt2 2 2.- θ = ωf 2 – ω02 2 α 3.- θ =ωf – ω0 t 2

25. Si el cuerpo parte del reposo su velocidad angular inicial (ω0) es cero, y las tres ecuaciones anteriores se reducen a: 1.- θ = αt 2 2 2.- θ =ωf 2 2 α 3.- θ =ωf t 2

26. b).- Para calcular el valor de velocidades angulares finales cuando el cuerpo no parte del reposo. 1.- ωf = ω0 + αt 2.- ωf2 = ω02 + 2 αt Si el cuerpo parte del reposo su velocidad inicial (ω0) es cero, y las dos ecuaciones anteriores se reducen a: 1.- ωf = αt 2.- ωf2 = 2 αt

27. RESOLUCION DE PROBLEMAS DEL MOVIMIENTO CIRCULARUNIFORMEMENTE ACELERADO 1.- Un engrane adquirió una velocidad de 2512 rad / s en 1.5 s. ¿Cuál fue la aceleración angular? Datos formula ω = 2512 rad / s α = ω / t t = 1.5 seg α = ? Sustitución y resultado: α = 2512 rad/ s =1674.66 rad/s2. 1.5 seg

28. 2.- Un mezclador eléctrico incremento su velocidad angular de 20 rad / s a 120 rad / s en 0.5 s. calcular: a) ¿Cuál fue el valor de su aceleración media? B) cual fue el valor de su desplazamiento angular en ese tiempo? Datos formula ω0 = 20 rad/ s αm = ωf – ω0 ωf = 120 rad/ s t t = 0.5 s a) αm = ? θ = ω0t + αt 2 b) θ = ? Sustitución y resultado: αm = 120 rad/ s – 20 rad/ s = 200 rad / s2. 0.5 s θ = 20 rad/ s x 0.5 + 200 rad/ s2 (0.5 seg)2. = 10 rad/ s + 25 radθ = 35 radianes.

29. 3.- Determinar la velocidad angular final de una rueda a los 0.1 minutos si se tenia una velocidad angular inicial de 6 rad/ s y sufre una aceleración angular de 5 rad/ s2. Datos formula ωf =? ωf = ω0 + αt t = 0.1 min = 6 s ω0 = 6 rad / s α = 5 rad/ s2. Sustitución y resultado. ωf = 6 rad/ s + (5 rad/ s2 x 6 s) = 36 rad/ s.

30. 4.- Una rueda que gira a 4 rev./ s aumenta su frecuencia a 20 rev./ s en 2 segundos. Determinar el valor de su aceleración angular. Datos formulas F0 = 4 rev/ s ω0 = 2 π F0 Ff = 20 rev/ s ωf = 2 π Ff α =? t = 2 s Sustitución y resultado: ω0 = 2 x 3.14 x 4 rev/s= 25.12 rad/s ωf = 2 x 3.14 x 20 rev/s = 125.6 rad/ s α = ωf - ω0 α = 125.6 rad/ s – 25.12 rad/ s t 2 s α = 50.24 rad / s2.

31. 5.- Una rueda gira con una velocidad angular inicial cuyo valor es de 18.8 rad/seg experimentando una aceleración angular de 4 rad/seg2 que dura 7 segundos. Calcular: a) ¿Qué valor de desplazamiento angular tiene a los 7 segundos? b) ¿Qué valor de velocidad angular lleva a los 7 segundos? Datos Fórmula ωo = 18.8 rad/seg a) θ = ωot + αt2 2 t = 7 seg α = 4 rad /seg2. b) ωf = ωo + αt θ = ¿ ωf = ¿

32. Sustitución y resultado: a) θ = 18.8 rad/seg x 7 seg + (4 rad/seg2) (7 seg)2 2 θ = 131.6 rad + 98 rad = 229.6 rad. ωf = 18.8 rad/seg + 4 rad/seg2 x 7 seg ωf = 18.8 rad/seg + 28 rad/seg = 46.8 rad/seg.