1. 第二章 导数与微分 Derivative & Differential §2.1 导数概念 §2.2 函数的求导法则 §2.3 高阶导数 §2.4 隐函数及由参数所确定的函数的导数 相关变化率 §2.5 函数的微分 求导未来，探索变化。

2. 一、背景知识 我们已建立了变量变化趋势的数学方法——极限方法，今后，我们的主要任务是将极限方法应用于研究形形色色的变量变化趋势的问题中，一方面解决一些实际问题，另一方面在极限论的基础上建立高等数学的基本理论体系：微积分学(differential and interal calculus)。 数学是实践的产物，因需要而发展。17世纪的生产及技术领域提出了两个迫切需要解决的问题：其一是作变速直线运动的速度；其二是曲线的切线斜率。随着这两个问题的逐步完美地解决，在数学中确立了导数与微分的概念。这是高等数学的第一个里程碑。 导数(derivative )：微分学的核心概念，一个变量随某个变量变化时的速度和变化率。如路程对时间的导数便是速度。 微分(differential)： 一个变量在某变化过程中的改变量的线性主要部分。

3. 牛顿[英国] (Isaac Newton) 1642—1727 莱布尼兹[德国] (G.W.Leibniz) 1646—1716 一、背景知识 1、微积分的创立 微积分(Calculus)是微分学(Differential calculus) 和积分学(Integral calculus)的总称， 它是由牛顿与 莱布尼兹在研究物理和几何的过程中总结前人的经 验，于十七世纪后期建立起来的。

4. 一、背景知识 2、关于牛顿 牛顿的三大成就：  流数术（微积分）  万有引力定律  光学分析的基本思想 牛顿[英国] (Isaac Newton) 1642—1727 我不知道在别人看来，我是什么样的人；但在我 自己看来，我不过就象是一个在海滨玩耍的小孩，为 不时发现比寻常更为光滑的一块卵石或比寻常更为美 丽的一片贝壳而沾沾自喜，而对于展现在我面前的浩 瀚的的真理的海洋，却全然没有发现。 ——牛顿

5. 一、背景知识 2、关于莱布尼兹 中国是一个大国，它在版图上 不次于文明的欧洲，并且在人数上 和国家治理上远胜于文明的欧洲， 在中国，在某种意义上有一个极其 令人赞佩的道德，再加上一个哲学 的学说，或者有一个自然神论，因 其古老而受到尊敬。这种哲学学说 或自然神论是从三千年来建立的， 并富有权威，远在希腊人的哲学很 久很久以前。 莱布尼兹《论中国哲学》 莱布尼兹[德国] (G.W.Leibniz) 1646—1716

6. 二、教学计划 1、教学内容及课时安排 ⑴导数概念 2 学时 ⑵函数的求导法则 4 学时 ⑶高阶导数 2 学时 ⑷隐函数等求导 2 学时 ⑸函数的微分 2 学时 2、教学重点 ⑴导数与微分的概念； ⑵函数的求导法。 ⑶会利用微分进行近似计算。

7. 三、基本要求 1、理解导数与微分的概念，理解导数的几何意义及函数的可导性与连续性的关系； 2、会用导数描述一些物理量； 3、掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法，掌握基本初等函数、双曲函数的求导公式； 4、了解高阶导数的概念； 5、掌握初等函数一阶、二阶导数的求法 ； 6、会求隐函数和参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。

8. Anhui University of Finance& Economics Anhui University of Finance& Economics Anhui University of Finance& Economics Anhui University of Finance& Economics Anhui University of Finance& Economics Anhui University of Finance& Economics Anhui University of Finance& Economics 安徽财经大学 安徽财经大学 安徽财经大学 安徽财经大学 安徽财经大学 安徽财经大学 安徽财经大学 §2.1 导数的概念 一、引例 二、导数的定义 三、导数的几何意义 四、可导与连续的关系 五、小结 思考题

9. 一、引例 1、自由落体运动的瞬时速度 如图，设自由落体的位移为s，求t0时刻的瞬时速度。 取一邻近于t0的时刻t，运动时间∆t， 那么从时刻t0到t时段内的平均速度为: 取极限得t0时刻的瞬时速度：

10. 一、引例 2、切线问题 N 割线的极限位置——切线位置 如图,如果割线 MN 绕点M旋转而趋向极限位置 MT, 直线MT就称为曲线 C在点 M处的切线. T M 极限位置即 割线 MN 的斜率为 切线 MT的斜率为

11. 二、导数的定义 1、函数在一点处的导数与导函数 ⑴定义 设函数y =f (x)在点 Uδ (x 0)内有定义，当自变量x 在x 0 处取得增量∆ x（点x 0 +∆ x 仍在该邻域内）时，相 应地函数 y 取得增量 ∆y = f (x 0+∆x)–f (x 0)；如果 ∆y与 ∆x 之比当 ∆ x →0 时的极限存在，则称函数 y =f (x)在点 x 0 处可导，并称这个极限为函数 y =f (x)在点 x 0处的导数，记作: 即 其它形式：

12. 二、导数的定义 ⑵关于导数的几点说明： ① 点导数是因变量在点x 0处的变化率，它反映了因变 量随自变量的变化而变化的快慢程度。 ②如果函数y =f (x) 在开区间I 内每一点 处都可导，就 称函数f (x) 在开区间I 内可导。 ③对于任意x∈I，都对应着f (x)的一个确定的导数值，这个函数叫做原来函数f (x) 的导函数，记作： 即 注意:

13. 二、导数的定义 2、求导数举例 由定义求导数的三步法: ⑴求增量: ⑵算比值: ⑶求极限: 例1求函数 f (x)= C ( C为常数 )的导数。 解:

14. 二、导数的定义 例2求函数 y=xn(n为正整数)的导数。 解： 例如：

15. 二、导数的定义 例3 解：

16. 二、导数的定义 例4 解 例5 解

17. 二、导数的定义 例6 解

18. 二、导数的定义 3、单侧导数 ⑴左导数: ⑵右导数: ⑶可导的充要条件 ⑷闭区间可导

19. 二、导数的定义 ⑸分段函数可导性:

20. 三、导数的几何意义 1、几何意义 ⑴导数是切线的斜率 ⑵切线方程为 ⑶法线方程为

21. 三、导数的几何意义 例7 解 由导数的几何意义, 得切线斜率为 所求切线方程为 法线方程为

22. 三、导数的几何意义 2、物理意义 非均匀变化量的瞬时变化率。 ⑴变速直线运动：路程对时间的导数为物体的瞬时速度。 ⑵交流电路：电量对时间的导数为电流强度。 ⑶非均匀的物体：质量对长度(面积,体积)的导数为 物体的线(面,体)密度.

23. 四、可导与连续的关系 1、可导必连续 定理 凡可导函数都是连续函数. 证 注意：该定理的逆定理不成立.

24. y y=x x O 四、可导与连续的关系 2、连续未必可导 连续函数不存在导数举例 例如：

25. 1 1 0 －1/π 1/π 0 四、可导与连续的关系 例如： 例如：

26. 四、可导与连续的关系 例8 解

27. 四、可导与连续的关系

28. §2.1 导数的概念 一、引例 四、可导与连续的关系 1、自由落体运动的瞬时速度 1、可导必连续 2、切线问题 2、连续未必可导 五、小结 二、导数的定义 求导数最基本方法: 由定义求导数. 1、函数在一点处的导数与 导函数 不连续,一定不可导. （增量比的极限） 判断可导性 直接用定义; 2、求导数举例 连续 看左右导数 存在相等否. 3、单侧导数 思考题 （可导条件） 三、导数的几何意义 1、几何意义 （切线的斜率） 作业：第85-86页 4；7双号；11 ；16；18 。 2、物理意义

29. 思考题解答

30. 练 习 题

31. 练 习 题

32. 练 习 题

33. 练 习 题

34. 练习题答案