Les ondes sonores dans un fluide

1. Les ondes sonores dans un fluide I) Équation de propagation des ondes sonores 1) Position du problème

2. Position du problème Au repos, en M à la date t, les champs de masse volumique 0 et de pression P0 sont uniformes et constants, le champ des vitesses est nul : v(M,t) = 0 P(M,t) = P0 (M,t) = 0

3. L’onde sonore est décrite comme une perturbation de cet état de repos avec des champs de vitesse, de pression et de masse volumique de la forme : v(M,t) = 0 + v(M,t) P(M,t) = P0 + p(M,t) (M,t) = 0 + (M,t) ordre 1 ordre 0

4. I) Équation de propagation des ondes sonores 1) Position du problème Les ondes sonores dans un fluide 2) Équations fondamentales des ondes sonores a) L’approximation acoustique

5. Définition : L’approximation acoustique consiste à étudier des perturbations de faibles amplitudes.

6. Hypothèses : |p| << P0, || << 0 et |v| << c c étant la célérité des ondes sonores dans le fluide

7. Hypothèses : Les champs v(M,t), p(M,t) et (M,t) sont des infiniment petits du 1er ordre, ainsi que leurs dérivées spatiales et temporelles

8. Hypothèses : Ces trois champs ont en tout point du fluide une valeur moyenne nulle <v(M,t)>t = 0, <p(M,t)>t = 0, <(M,t)>t = 0

9. I) Équation de propagation des ondes sonores 1) Position du problème 2) Équations fondamentales des ondes sonores a) L’approximation acoustique Les ondes sonores dans un fluide b) Équations fondamentales

10. Équations fondamentales Équation d’Euler : Équation d’Euler linéarisée :

11. Équations fondamentales Équation de conservation de la masse : Équation de conservation de la masse simplifiée :

12. Équations fondamentales Équation des mouvements isentropiques : Équation des mouvements isentropiques simplifiée :  = 0.S.p

13. I) Équation de propagation des ondes sonores 1) Position du problème 2) Équations fondamentales des ondes sonores Les ondes sonores dans un fluide 3) Équation de propagation des ondes sonores

14. Équation d’Euler linéarisée : Équation de conservation de la masse : Équation des mouvements isentropiques :  = 0.S.p Récapitulatif :

15. Équations différentielles Finalement, pour la surpression p : Finalement, pour la vitesse v :

16. I) Équation de propagation des ondes sonores 1) Position du problème 2) Équations fondamentales des ondes sonores 3) Équation de propagation des ondes sonores Les ondes sonores dans un fluide 4) Célérité des ondes sonores

17. Gaz parfaits : La vitesse du son vaut : Ordres de grandeur : air : c  340 m.s–1 H2 : c  1,3 km.s–1

18. Les ondes sonores dans un fluide II) Les ondes sonores planes progressives 1) Les ondes planes progressives

19. En coordonnées cartésiennes : v = vx.ux + vy.uy + vz.uz f = p, vx, vy ou vz

20. z (R) y’ y x’ O (R) O x   z’ Onde se propageant le long de l’axe Ox : f(M,t) = f(x,t) Même onde se propageant le long de l’axe  = Ox  Ox’ : f’(M,t) = f’(x’,y’,z’,t)

21. Conclusion : Nous admettrons qu’en vertu de la linéarité de l’équation scalaire de D’Alembert à trois dimensions, toute solution est une superposition d’ondes planes progressives, dont les directions de propagation u quelconques couvrent tout l’espace :

22. II) Les ondes sonores planes progressives 1) Les ondes planes progressives Les ondes sonores dans un fluide 2) Les ondes planes progressives harmoniques a) Définition

23. M  t, (P) = (M) u P k () () est un plan d’onde

24. Résumé: Toute solution de l’équation de D’Alembert à trois dimensions peut se décomposer en O.P.P. de direction de propagation u quelconque et à leur tour, toute O.P.P. de direction  peut se décomposer en O.P.P.H. de même direction . Les O.P.P.H. sont les éléments de base de l’ensemble des solutions de l’équation de d’Alembert à trois dimensions

25. II) Les ondes sonores planes progressives 1) Les ondes planes progressives 2) Les ondes planes progressives harmoniques a) Définition Les ondes sonores dans un fluide b) Notation complexe

26. Notation complexe f(M,t) = A0.cos(t – k.r + 0) f(M,t) = A0.exp[j(t – k.r)] avecA0 = A0.exp(j0)

27. Notation complexe f(M,t) = A0.exp[j(t – k.r)] avecA0 = A0.exp(j0) k = kx.ux + ky.uy + kz.uz k.r = kx.x + ky.y + kz.z

28. Notation complexe f(M,t) = A0.exp[j(t – k.r)] avecA0 = A0.exp(j0) gradp = (p) = – jk.p ; divv = .v = – jk.v ; p = 2(p) = (– jk)2.p = – k2.p; rotv =  x v = – jk x v

29. II) Les ondes sonores planes progressives 1) Les ondes planes progressives 2) Les ondes planes progressives harmoniques a) Définition b) Notation complexe Les ondes sonores dans un fluide c) Relation de dispersion

30. II) Les ondes sonores planes progressives 1) Les ondes planes progressives 2) Les ondes planes progressives harmoniques a) Définition b) Notation complexe c) Relation de dispersion Les ondes sonores dans un fluide d) Structure des ondes planes progressives

31. Structure des ondes planes progressives Par superposition, d’O.P.P.H. de même direction de propagation u et de pulsations  quelconques, grâce à l’analyse de Fourier, ce résultat s’étend aux OPP : Les ondes sonores planes progressives sont longitudinales.

32. II) Les ondes sonores planes progressives 1) Les ondes planes progressives 2) Les ondes planes progressives harmoniques Les ondes sonores dans un fluide 3) L’impédance acoustique

33. Impédance acoustique Définition : On définit l’impédance acoustique du milieu, notée Za, comme le rapport de la surpression sur la vitesse :

34. Impédance acoustique Cette relation de couplage, p(M,t) = 0.c.v(M,t), ne fait pas intervenir la pulsation donc par superposition d’O.P.P.H. de même direction de propagation u et de pulsations  quelconques, grâce à l’analyse de Fourier, ce résultat s’étend aux O.P.P. :

35. Impédance acoustique pour une O.P.P. Ordres de grandeur : air : Za 500 kg.m–2.s–1 eau : Za 106 kg.m–2.s–1

36. Les ondes sonores dans un fluide III) Aspect énergétique

37. Les ondes sonores dans un fluide III) Aspect énergétique 1) Énergie volumique d’une onde sonore

38. Définitions : densité volumique d’énergie cinétique : densité volumique d’énergie potentielle élastique :

39. Définitions : densité volumique d’énergie sonore : Energie acoustique apportée au fluide par l’onde sonore :

40. III) Aspect énergétique 1) Énergie volumique d’une onde sonore Les ondes sonores dans un fluide 2) Bilans énergétiques a) Bilan local

41. Bilan local Équation d’Euler linéarisée : Équation de conservation de la masse :

42. Bilan local

43. Bilan local  = p.v Cette relation constitue l’équation locale de la conservation de l’énergie acoustique en M, à la date t

44.  dS M (M,t) P d + 

45. III) Aspect énergétique 1) Énergie volumique d’une onde sonore 2) Bilans énergétiques a) Bilan local Les ondes sonores dans un fluide b) Bilan global

46.  dS V (P,t) (M,t) M P es(M)

47. III) Aspect énergétique 1) Énergie volumique d’une onde sonore 2) Bilans énergétiques Les ondes sonores dans un fluide 3) Application aux ondes planes progressives

48. Application aux O.P.P. es = 2ec = 2ep

49. Analogie  est la densité volumique de masse es est la densitévolumique d’énergie sonore jm = .v  = es.v

50. III) Aspect énergétique 1) Énergie volumique d’une onde sonore 2) Bilans énergétiques 3) Application aux ondes planes progressives Les ondes sonores dans un fluide 4) Cas des ondes planes progressives harmoniques