DIDATTICA DELLA MATEMATICA TFA A059

1. Rosetta Zan Dipartimento di Matematica, Università di Pisa zan@dm.unipi.it DIDATTICA DELLA MATEMATICA TFA A059 Incontro 3 aprile 2013

2. L’allievo interpreta… termini / simboli  spigolo – rombo - altezza... • ipotesi / tesi • le parentesi • segno di uguale • …

3. L’allievo interpreta… termini / simboli  spigolo – rombo - altezza... • ipotesi / tesi • le parentesi • segno di uguale • …

4. Scena 6: Marco Deve moltiplicare x + 1 per x +2: x + 1  (x+2) = = x2 + 2x + x + 2 = x2 + 3x + 2

5. L’allievo interpreta… termini / simboli  spigolo – rombo - altezza... • ipotesi / tesi • le parentesi • segno di uguale • …

6. L’allievo interpreta… termini / simboli  spigolo – rombo - altezza... • ipotesi / tesi • le parentesi • segno di uguale • …

7. Il segno di uguale “In un bosco vengono piantati 425 alberi nuovi. Qualche anno dopo, vengono abbattuti i 217 alberi più vecchi. Nel bosco ci sono quindi 1063 alberi. Quanti alberi c’erano prima che venissero piantati quelli nuovi?” 1063 + 217 = 1280 – 425 = 855 “4 + 5 = 3 + 6” ‘dopo il segno “=” ci dev’essere la risposta, e non un altro problema!’ “4 + 5 = 9” e “3 + 6 = 9”.

8. giugno luglio agosto settembre Il segno di uguale Problema: Quanti giorni di vacanza abbiamo avuto quest’estate? 30-10 = 20+31 = 51+31 = 82+15 = 97 "Secondo te questo calcolo fatto da due bambini di terza è giusto?"

9. Una discussione in classe CHE COSA SIGNIFICA IL SEGNO "=" IN MATEMATICA? • INS: Cosa vuol dire "essere uguale a" , quel segno lì in matematica che significa? • ILA: Vuol dire che viene il risultato.

10. LUI: Tu per fare l'uguale devi fare prima l'operazione e poi devi fare l'uguale, così ti viene fuori il risultato. • GIO: Uguale significa avere un risultato in un'operazione, in una moltiplicazione e così • INS: E se io scrivo 8=8 va bene? • GIO: No, devi anche metterci +0 perché se no non si capisce… …devi metterci anche qualcosa.

11. Scena 9: Irene Irene, prima liceo classico: x2 = 3x - 2 x2 + 3x + 2 = 0 … e trova quindi le due soluzioni.

12. Irene “Non sarò certo io a contestare una regola che tutti accettano! Mi adeguo senz’altro. Ma nessuno mi potrà mai convincere che se aggiungo la stessa quantità ai due membri di un’equazione, non cambia niente!”

13. L’allievo interpreta…concetti  misconcetti  la moltiplicazione fa “ingrandire”  un numero è negativo  nella sua rappresentazione compare esplicitamente il segno “-”  insieme

14. Modelli primitivi (E. Fischbein) Modello: moltiplicazione come addizione ripetuta • Operando: può essere un numero positivo qualsiasi, • Operatore: deve invece essere un numero intero  si può dire 3 volte 0,65: 0,65 + 0,65 + 0,65 …ma 0,65 volte 3 ??? la moltiplicazione “fa ingrandire”

15. PROBLEMA 1Da un quintale di grano si ottengono 0,75 quintali di farina. Quanta farina si ricava da 15 quintali di grano? PROBLEMA 2 Un chilo di detergente viene usato per produrre 15 chili di sapone. Quanto sapone può essere fatto con 0,75 chili di detergente? 76% 35%

16. ALLIEVO MATEMATICA ITALIANO In contesto scolastico Verbi riflessivi: Sono quelli che descrivono azioni che si fanno allo specchio. Pettinarsi, lavarsi, truccarsi… INSEGNANTE • L’allievo: • interpreta i messaggi dell’insegnante • alla luce delle proprie conoscenze, convinzioni, esperienze…  interpretazione ‘distorta’ MISCONCETTI

17. Decisioni dell’insegnante • Portare alla luce i misconcetti • Cercare di scardinarli Come?

18. Decisioni dell’insegnante • Portare alla luce i misconcetti 1. Indicatori: Errori sistematici Strategia: chiedere la collaborazione dell’allievo nel descrivere i propri processi di pensiero 2. Proporre situazioni non standard in cui gli schemi degli allievi non funzionano 3. Questionari

19. Il giardino di Torquato? 2. Proporre situazioni non standard in cui gli schemi degli allievi non funzionano

20. Problema: Il giardino del signor Torquato Questo è il giardino del signor Torquato: Nella parte grigia egli ha piantato fiori e ha seminato a prato la parte bianca. Il signor Torquato osserva il suo giardino e si chiede: “Sarà maggiore la parte con i fiori o quella con il prato?” E voi che cosa ne pensate? Spiegate la vostra risposta.

21. Alcune difficoltà evidenziate • L'approccio al problema più frequente consiste nel misurare con il righello i lati del quadrilatero 'grigio', per poi cercare di calcolarne l'area direttamente o attraverso la scomposizione in triangoli rettangoli. • Nel fare questi tentativi gli allievi si scontrano con la difficoltà di ricondurre il quadrilatero a uno dei poligoni studiati o di trovare l'altezza relativa all'ipotenusa dei triangoli rettangoli, dato che i cateti non vengono riconosciuti come altezze. • Non riuscendo a calcolare l'area delle due figure alcuni allievi utilizzano le misure ottenute per calcolarne il perimetro e fanno quindiun confronto dei due perimetri.

22. Dalle prove PISA. ‘Andatura’ La figura mostra le orme di un uomo che cammina. La lunghezza P del passo è la distanza fra la parte posteriore di due orme consecutive. Per gli uomini, la formula fornisce una relazione approssimativa fra n e P, dove: n = numero di passi al minuto, e P = lunghezza del passo in metri

23. - Domanda 1: Se la formula si applica all’andatura di Enrico ed Enrico fa 70 passi al minuto, qual è la lunghezza del passo di Enrico? Scrivi qui sotto i passaggi che fai per arrivare alla risposta. n = numero di passi al minuto P = lunghezza del passo in metri Risultati (Italia): 23% risposte corrette 35% omissioni

24. - Domanda 1: Se la formula si applica all’andatura di Enrico ed Enrico fa 70 passi al minuto, qual è la lunghezza del passo di Enrico? Scrivi qui sotto i passaggi che fai per arrivare alla risposta. n = numero di passi al minuto P = lunghezza del passo in metri 70 / P = 140 Errore più frequente: 140 / 70

25. Negli esempi che seguono a è un numero diverso da zero. Allora: 3. Questionari

26. Decisioni dell’insegnante • Portare alla luce i misconcetti • Cercare di scardinarli • Rendere gli allievi consapevoli • Costruire situazioni di ‘conflitto cognitivo’ • Discussione collettiva

28. Alcune implicazioni generali • COMPITO PER CASA • Riflettere: • sulla distinzione fra errore e fallimento • sulle implicazioni di tale distinzione 1. Il ruolo del contesto 2. Il ruolo dell’errore: 2.1 L’epistemologia e la pedagogia dell’errore 2.2 L’interpretazione dell’errore 2.2.1 Distinzione errore / fallimento 2.2.2 Un repertorio di interpretazioni

29. successo / fallimento

30. In contesto scolastico: Un soggetto: • l’insegnante riconosce il fallimento… ed individua i comportamenti fallimentari di un altro soggetto: • l’allievo

31. L’insegnante… • Vuole che l’allievo modifichi i suoi comportamenti fallimentari • Cioè i comportamenti che secondo l’insegnante lo hanno portato… • …al fallimento riconosciuto dall’insegnante stesso

32. INSEGNANTE ALLIEVO l’insegnante vuole che l’allievo modifichi i propri comportamenti ma è l’allievo che deve modificarli

33. !

34. implicazioni didattiche

35. OSSERVAZIONE 1 Se l'allievo si è posto un obiettivo diverso, o non si è posto alcun obiettivo, non necessariamente condivide il fallimento osservato dall'insegnante. E se d’altra parte non riconosce un fallimento, per quali motivi dovrebbe cambiare i propri comportamenti?

36. INSEGNANTE ALLIEVO l’insegnante ha in mente un obiettivo interno alla matematica (trovare l’ipotenusa, le soluzioni di un’equazione, …) l’allievo si pone un obiettivo esterno alla matematica (dare la risposta giusta, prendere un buon voto, …)

37. Spesso… • L’allievo non riconosce il fallimento individuato dall’insegnante perché si è posto un obiettivo diverso OBIETTIVO: dare la risposta corretta

38. Esempio: Marco Deve moltiplicare x + 1 per x +2: x + 1  (x+2) = x2 + 2x + x + 2 = x2 + 3x + 2 per l’insegnante… ci sono 2 errori! …per Marco l’obiettivo è stato raggiunto

39. FALLIMENTO ERRORE

40. OSSERVAZIONE 2 Inoltre non è detto che l’allievo condivida l'individuazione dei comportamenti fallimentari. E d’altra parte lui vorrà cambiare i comportamenti che lui stesso (e non l’insegnante) riconosce come fallimentari…

41. Esempio 1: Se l’allievo ha copiato male il compito da un compagno bravo… …e non ha risolto correttamente gli esercizi Comportamenti fallimentari:  Non aver studiato  Aver copiato male Deve studiare / esercitarsi di più, meglio… Devo copiare meglio…

42. Esempio 2: Risposte a caso… • Per l’allievo il comportamento fallimentare è: Aver dato quella particolare risposta • Per l’insegnante. Aver risposto a caso …cambia la risposta!

44. APPROFONDIMENTO:Le ricerche sui processi decisionali

45. Luigi ha 34 anni. E’ intelligente, ma ha poca fantasia, è abitudinario, metodico e non molto attivo. A scuola era bravo in matematica, ma debole nelle materie umanistiche. a) Luigi fa il medico e gioca a poker per hobby b) Luigi fa l’architetto c) Luigi fa il contabile d) Luigi suona per hobby musica jazz e) Luigi ha l’hobby del surf f) Luigi fa il giornalista g) Luigi fa il contabile, e suona per hobby musica jazz h) Luigi ha l’hobby dell’alpinismo

46. Linda ha 31 anni. E’ nubile, schietta e molto brillante. Ha una laurea in filosofia. Da studentessa si interessava molto ai problemi di discriminazione razziale e di ingiustizia sociale, e prendeva parte attiva alle dimostrazioni anti-nucleari. a) Linda insegna in una scuola elementare b) Linda lavora in una libreria e prende lezioni di yoga c) Linda è attiva nel movimento femminista d) Linda è un’assistente sociale e) Linda è membro della Organizzazione Elettorale Femminile f) Linda lavora in una banca g) Linda è un agente assicurativo h) Linda lavora in una banca ed è attiva nel movimento femminista

47. La roulette russa Sei persone si sfidano alla roulette russa usando una pistola con un tamburo a 6 colpi. La pistola ha un solo proiettile: ciascuno a turno preme il grilletto e, se è fortunato, passa la pistola al compagno accanto. (1) Secondo te qual è la posizione più sicura? 50%: la prima 23%: sono tutte equivalenti (2) In quale posizione preferiresti trovarti? 40%: la prima 40%: l’ultima

48. Tversky e Shafir, 1992 1)Hai appena consegnato gli scritti di un difficile esame universitario. Saprai dopodomani se sei stato promosso o se sei stato bocciato. Ti viene proposta un’offerta particolarmente vantaggiosa per una vacanza alle isole Hawaii (un ‘pacchetto’ tutto-compreso per sette giorni a sole 200.000 lire). Devi, però, decidere entro domani, dando un anticipo di 50.000 lire non rimborsabili. Puoi differire la decisione di un giorno (quindi, nel frattempo saprai con certezza se sei stato promosso o se sei stato bocciato), pagando un extra di 15.000 non rimborsabili, e non scalabili dal prezzo del pacchetto. Che decideresti di fare? Allo studente viene poi chiesto cosa deciderebbe se sapesse: 2) di essere stato promosso 3) di essere stato bocciato

49. Le terne possibili: C = compra N = non compra incerto promosso bocciato C C C C C N C N C C N N N C C N C N N N C N N N 1) Situazione di incertezza 2) Sa di essere stato promosso 3) Sa di essere stato bocciato

50. Secondo te in italiano ci sono più parole di sette lettere che finiscono in –ndo. - - - - n d o oppure più parole che hanno una n in terza posizione: - - n - - - - ?