La storia nella didattica della matematica

1. La storia nella didattica della matematica Fulvia FuringhettiDipartimento di Matematica dell’Università di Genova Un esempio particolare sulla formazione degli insegnanti

2. Ho scelto la forma narrativa: vi racconto passo passo come svolgo il mio corso di didattica della matematica, a cui cerco di dare un carattere professionalizzante (formazione di futuri insegnanti)

3. Vediamo su questo esempio come la storia interviene in maniera naturale come strumento di lavoro e di riflessione

4. - la mia filosofia sulla formazione insegnanti - ruolo delle convinzioni - algebra - uso della storia … continua

5. “People don’t change when you tell them they should. They change when they tell themselves they must.”

6. Shulman (1986): teacher knowledge conoscenza dei contenuti della disciplina conoscenza degli discenti conoscenza pedagogica dei contenuti conoscenza degli obiettivi educazionali conoscenza di altri contenuti collegati conoscenza pedagogica generale conoscenza del curriculum

7. pedagogical content knowledge • combinazione di contenuto e pedagogia che consta della capacità di valutare come particolari argomenti, problemi o fatti possono essere organizzati, rappresentati e adattati ai diversi interessi e abilità dei discenti e presentati ai fini dell’insegnamento comprensione di ciò che rende l’apprendimento di specifici argomenti facile o difficile (incluso. quindi, concezioni e retroterra dei discenti)

8. Un aspetto importante della conoscenza pedagogica dei contenuti è legato alle convinzioni degli insegnanti. Con esse io mi confronto nei corsi di Didattica della Matematica (laurea specialistica e, in passato, Scuola di Specializzazione all’Insegnamento Secondario) Queste convinzioni riguardano sostanzialmente la natura della matematica, se stessi come discenti, il processo di insegnamento / apprendimento Esse sono state in gran parte elaborate sulla base delle esperienze scolastiche e in molti casi portano a riprodurre lo stile di insegnamento che si è visto / subito nella propria classe

9. Frank, M. L. (1990). What myths about mathematics are held and conveyed by teachers? “Teachers teach the way they have been taught”

10. Felix Klein (1849-1925)

11. Klein, F. (1911). Elementarmathematik vom höheren Standpunkte aus Introduzione, p. 2

12. Émile Borel (1871-1956)

13. 1907, Revue scientifique

14. Gino Loria (1862-1954)

15. Loria (1932 e 1933) nel suo rapporto ICMI (International Commission on Mathematical Instruction) parla del “double oubli”

16. Al momento di decidere sul suo lavoro in classe l’insegnante mette da parte (chiude in una parentesi) quanto appreso all’università e si rifà alla cultura matematica costruita negli anni della scuola secondaria conservatorismo

17. “dopo le costumanze funebri, sono le istituzioni pedagogiche quelle che più ostinatamente resistono agli sforzi degli innovatori” Loria (1905) Dialettica tra riforme e classe Manouchehri, & Goodman, 2000; Sztajn, 2003

18. Importanza delle convinzioni degli insegnanti Autori: Cooney Cuban Thompson nel 1992 Pehkonen Furinghetti…

21. azione di filtro le convinzioni possono essere un motore, un freno o un regolatore

22. Schön, The reflective practitioner • La riflessione sul proprio insegnamento è la componente della “conoscenza per insegnare”, che rende l’esperienza di insegnamento un elemento centrale per il buon insegnamento. • L’esperienza individuale diventa un valore trasferibile

23. Lo scopo di questa impostazione è: rendere i futuri insegnanti flessibili, aperti a posizioni differenti dalle loro porre le premesse per far diventare gli insegnanti “professionisti riflessivi”, cioè professionisti che sanno guardare la loro pratica e interpretarla alla luce di aspetti teorici

24. Department of Mathematics, University of Warwick (Coventry, UK)

25. Richard Skemp (1969, 1976) osserva che la parola capire è usata con riferimento a due significati diversi Un significato è quello di capire come capire relazionale che consiste nel conoscere che cosa fare e perché, nel cogliere le relazioni strutturali; esso è il prodotto di un coinvolgimento personale del discente con oggetti matematici, situazioni, problemi, idee e con i vari processi.

26. capire strumentale lo studente dimostra di sapere come applicare un principio o una procedura, senza necessariamente apprezzare la sua relazione con una certa struttura matematica o la ragione per cui il procedimento funziona. “che cosa fare” è il prodotto di un apprendimento meccanico di regole, teoremi e loro specifiche applicazioni.

27. Come tutte le distinzioni, anche questa è sfumata ai bordi, ma ha una sua efficacia nel sottolineare modi diversi di percepire la matematica (matematica relazionale o strumentale). Esempio. Trovare le soluzioni dell’equazione (x - 1)(x + 3) = 0 Esempio. I libri di testo che, quando presentano la continuità e discontinuità di una funzione in un punto, introducono i nomi e le diverse tipologie di discontinuità (di prima specie, di seconda specie, apparenti).

28. Henri-Marie Beyle (1783-1842) Stendhal La vie d’Henri Brulard (autobiografia)

29. Amavo tanto più la matematica quanto più disprezzavo i miei insegnanti, i signori Dupuy e Chabert. Malgrado la grandiloquenza e cortesia, la soave e solenne aria che il signor Dupuy assumeva quando parlava a qualcuno, avevo abbastanza acume da intuire che egli era infinitamente più ignorante del signor Chabert. Il signor Chabert, che nella gerarchia sociale della borghesia di Grenoble stava cosí sotto il signor Dupuy, qualche volta nelle mattine di domenica o giovedì prendeva un volume di Eulero o ... e risolutamente affrontava le difficoltà.

30. Il mio entusiasmo per la matematica può aver avuto come sua base principale la mia ripugnanza per l’ipocrisia [...].

31. Dal mio punto di vista, l’ipocrisia era impossibile in matematica e, nella mia semplicità giovanile, pensavo che doveva essere così in tutte le scienze a cui, come mi era stato detto, era applicata. Che stupore per me scoprire che nessuno poteva spiegarmi come accadeva che: meno moltiplicato meno fa più (- x - = +)! (Questa è una delle tesi fondamentali per la scienza nota come algebra).

32. Non solo nessuno mi spiegava questa difficoltà (ed è sicuramente spiegabile perché conduce a verità), ma, ciò che era peggio, essi la spiegavano su ragioni che erano evidentemente lontane dall’esser chiare a loro stessi.

33. Il signor Chabert, quando lo incalzavo, diventava confuso, ripetendo la sua lezione, proprio quella lezione contro la quale avevo sollevato le mie obiezioni, ed infine sembrava dirmi “Ma è l’usanza; ognuno accetta questa spiegazione. Eulero e Lagrange, che presumibilmente erano bravi quanto voi, l’hanno accettata!”

34. Sulla natura duplice delle concezioni matematiche: riflessioni su processi e oggetti come i due lati della stessa medaglia Anna Sfard, 1991

35. STRUTTURALI OPERAZIONALI Le concezioni di un concetto matematico possono essere di diversi tipi: • La concezione strutturale vede gli oggetti matematici come enti astratti • La concezione operazionale tratta di processi, algoritmi ed azioni piuttosto che di oggetti astratti

36. Concezione STRUTTURALE Concezione OPERAZIONALE Statica Dinamica Istantanea Integrativa Sequenziale Dettagliata Quali sono le caratteristiche delle due concezioni:

37. Condensazione Interiorizzazione Reificazione Passi di sviluppo del concetto

38. Interiorizzazione: Si entra in contatto con i processi che danno luogo a nuovi concetti (come il contare che porta al contatto con i numeri naturali, il sottrarre che porta ai numeri negativi, o la manipolazione algebrica che porta alle funzioni) Condensazione: Sequenze lunghe di operazioni vengono strette in unità più maneggevoli attraverso un processo di condensazione. La persona diviene sempre più in grado di pensare ad un processo come ad un tutt’uno, senza sentire il bisogno di entrare nei dettagli Reificazione: Si compie un salto ontologico, l’abilità di vedere qualcosa di familiare in una cosa nuova

39. In generale Caso concreto (Funzione) • Manipolazione della variabile • Tabelle Primo contatto con il processo Nascita ufficiale del concetto Entità slegata dal processo, si solidifica in una struttura Interiorizzazione • Composizione • Rappresentazione mediante grafici Condensazione • Esprimere a parole proprietà di differenti processi; • Coppie ordinate di numeri Reificazione Esempio

40. algebra

41. Perché l’algebra?  È un argomento fondamentale che parvade tutta la matematica. Samuel Eilenberg dice che è come il ghigno del gatto del Cheshire in Alice nel paese delle meraviglie che resta anche quando il gatto scompare  Si insegna (e vi si valuta) in ogni tipo di scuola  È particolarmente toccata dal fenomeno della doppia parentesi

42. Inizio la mia attività chiedendo ai futuri insegnanti che cosa è per loro l’algebra. Le risposte citano: astrazione, generalizzazione, simbolismo, modellizzazione di un problema • Queste risposte riecheggiano la caratterizzazione di Mahoney (1971), secondo cui l’algebra coinvolge: • - simbolismo operazionale • - attenzione alle relazioni matematiche più che agli oggetti matematici, le quali relazioni determinano le strutture che costituiscono l’oggetto dell’algebra moderna • - libertà da ogni questione ontologica e, per questo, astrazione piuttosto che intuizione

43. Problemi tratti da testi medievali di aritmetica Molti di essi sono riportati nel libro di Adriano Demattè

44. Lettura del testo Parafrasi, anche attraverso rappresentazioni comprensione Dato un problema, le fasi di soluzione sono (da Polya) rappresentazione piano verifica del piano

45. Paolo Dell’Abbaco, Trattato d’Aritmetica

46. Un signore à un suo fante e mandalo nel giardino per 7 mele e dice: tu troverrai 3 portinai che ciaschuno ti dirà: io voglo la metà di tutte le mele e due più di quelle che tti rimangnono dopo la divixione. Adomando quante che ne cholxe di prima volendo che ne gli rimanexxe sette. Paolo Dell’Abbaco, Trattato d’Aritmetica, 47

47. Fà chosì e di’: se questo fante vuole che ne gli rimanga 7, all’ultima porta quante chonviene che n’abbi? Chonviene che n’abbi 18. E poi di’: se gli vuole che glene rimangha 18 alla seconda, chonviene che n’abbia 40; e poi se egli vuole che glene rimangha 40 alla terza porta chonviene che egli n’abbi 84. Ed ai falichato 3 porti e, muovendosi da prima chon 84, negli rimanghono 7. Ed è fatta.

48. Chiara Calcolo le mele che si devono avere prima del passaggio per l'ultima porta. Poiché il portinaio ne vuole la metà più 2, le 7 mele sono la metà meno 2. Quindi prima dell’ultima porta deve avere 18 mele. Osservo che 18 è (7•2)+4 quindi, deduco che prima della seconda porta deve avere (18•2)+4=40 mele e quindi deve cogliere (40•2)+4= 84 mele. Ora verifico 84 mele colte di cui 44 al 1° portinaio 40 restano al fante 40 mele 22 al 2° portinaio 18 restano al fante 18 mele 11 al 3° portinaio 7 restano al fante da portare al padrone.

49. Grazia y - y/2-2 … (y - y/2-2)1/2-2)1/2-2=7

50. Questo problema permette due percorsi risolutivi differenti. Chiara parte dal noto (le mele rimaste) e arriva all’ignoto (le mele da raccogliere): il suo percorso è di tipo aritmetico. Grazia parte dall’ignoto (le mele da raccogliere) per arrivare al noto (le mele rimaste): il suo percorso è di tipo algebrico. Fare disinvoltamente entrambi i percorsi non è possibile in tutti i problemi: talvolta il percorso aritmetico è così immediato che risulta un inutile appesantimento fare il percorso algebrico. Altre volte il percorso aritmetico è veramente complicato.