3.3.2 极大值与极小值

3.3.2极大值与极小值

知识回顾 1、一般地,设函数y=f(x)在某个区间内可导,则函数在该区间如果f′(x)>0, 则f(x)为增函数; 则f(x)为减函数. 如果f′(x)<0,

２、用导数法确定函数的单调性时的步骤是： （1）求出函数的导函数求解不等式f′(x)>0，求得其解集，再根据解集写出单调递增区间（2）求解不等式f′(x)<0，求得其解集，再根据解集写出单调递减区间（3）

新　课　讲　授 一、函数极值的定义一般地，设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都大，我们就说f(x0)是函数的一个极大值，记作y极大值=f(x0)，x0是极大值点。如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都小，我们就说f(x0)是函数的一个极小值。记作y极小值=f(x0)，x0是极小值点。极大值与极小值统称为极值.

注　意 1、在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量(x)的值，极值指的是函数值(y)。

2、极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。2、极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。

3、函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。3、函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。

4、极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示， 是极大值点，是极小值点，而

二、导数的应用：求函数的极值 1、如果x0是f′(x)=0的一个根，并且在x0的左侧附近f′(x)>0，在x0右侧附近f′(x)<0，那么f(x0)是函数f(x)的一个极大值。

2、如果x0是f′(x)=0的一个根，并且在x0的左侧附近f′(x)<0，在x0右侧附近f′(x)>0，那么是f(x0)函数f(x)的一个极小值。2、如果x0是f′(x)=0的一个根，并且在x0的左侧附近f′(x)<0，在x0右侧附近f′(x)>0，那么是f(x0)函数f(x)的一个极小值。

例１：求f（x）＝x２－x－２的极值. 解：

3、求函数f(x)的极值的步骤: (1)求导数f′(x); (x为极值点.) (2)求方程f′(x)=0的根 (3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f′(x)在方程根左右的值的符号，求出极大值和极小值.

x (-∞,-2) -2 (-2,2) 2 (2,+∞) + 0 － 0 + 极大值17/3 极小值-5 ↗ ↘ ↗ y’=x2-4 解：令y′=0，解得x1=－2，x2=2 当x变化时，y′，y的变化情况如下表 ∴当x=－2时，y有极大值且y极大值=17/3 当x=2时，y有极小值且y极小值=-5

例3:下列函数中，x=0是极值点的函数 是( ) A.y=－x3 B.y=x2 C.y=x2－xD.y=1/x B 分析：做这题需要按求极值的三个步骤，一个一个求出来吗？不需要，因为它只要判断x=0是否是极值点，只要看x=0点两侧的导数是否异号就可以了。

解： ∴ 例5:y=alnx+bx2+x在x=1和x=2处有极值，求a、b的值因为在x=1和x=2处,导数为0

例6:下列说法正确的是( ) A.函数在闭区间上的极大值一定比极小值大 B.函数在闭区间上的最大值一定是极大值 C.对于f(x)=x3+px2+2x+1，若|p|＜，则f(x)无极值 D.函数f(x)在区间(a，b)上一定存在最值 C

3.3.2 极大值与极小值

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