Commandino algebrista

1. Commandino algebrista Vico Montebelli Convegno di studi Federico Commandino (1509-1575) Umanesimo e Matematica nel Rinascimento Urbinate Urbino 18-19 settembre 2009

2. Quali sono le testimonianze a noi note dell’interesse di Commandino per l’algebra e delle sue competenze al riguardo? In definitiva sono tre lettere e la sua edizione degli Elementi di Euclide, gli Euclidis Elementorum libri XV una cum scholiis antiquis a Federico Commandino urbinate nuper in latinum conversi - stampata a Pesaro nel 1572 e successivamente in volgare a Urbino tre anni dopo. Delle tre lettere, due sono di Tommaso Leonardi da Fano, scritte a Commandino il 19 ottobre 1537 e il 24 marzo del 1556, a notevole distanza l’una dall’altra a riprova del perdurante interesse del nostro per l’algebra. Tommaso Leonardi è un algebrista fanese, matematico di valore ma poco studiato. Di lui abbiamo poche notizie, sappiamo che nel 1524 si sposò e morì fra il 1558 e il 1562. Lavorò a Parma alla corte del duca Ottavio Farnese ed ebbe relazioni importanti. Di lui abbiamo, oltre alle due lettere scritte a Commandino, anche due manoscritti inediti, il primo intitolato Leonardi Fanensis dubitationes quaedam astronomica e il secondo Tommaso Leonardo da Fano, trattati di Algebra. Dai toni delle due lettere a Commandino sembra il suo maestro d’algebra, anche Muzio Oddi dice di avere studiato algebra su “un libro scritto a penna di Tommaso Lionardo da Fano”. La terza lettera è scritta da Commandino a Giovanni Battista Teofilo il 30 luglio del 1574.

3. La prima lettera, Tommaso Leonardi a Commandino (19 ottobre 1537) La prima lettera ci presenta Commandino - allora ventottenne - in difficoltà con il calcolo radicale. Scrive Tommaso Leonardi: “ Hoggi (…) ho ricevuto una vostra con le altre alligate, nel principio della quale veggio che più che mai dubitate sopra le radici universali, quantunque vi habbia scritto brevemente sopra di esse, sì come far si deve con persona che intende solamente al cenno. Et avenga che nel fine della vostra dimostrate esservi chiarito del dubbio che vi era nella mente, non di meno parmi dover dirne qualche cosa, aciò si risponda ordinariamente di parte in parte alla vostra lettra.” Gli argomenti su cui Tommaso Leonardi insiste molto e che quindi, si presume, risultino difficoltosi per Commandino, sono la regola del prodotto dei segni e il calcolo con i radicali doppi. L’algebrista fanese esegue come esempio il quadrato di e si sofferma sulla terminologia corretta delle varie espressioni che intervengono (“binomio”, “binomio quarto”, “radici universali”, “residuo”) e sulle singole operazioni implicate nello svolgimento del quadrato. Ritorna sul prodotto di radicali doppi anche in seguito, trattando del calcolo dell’area di un rettangolo di base e altezza , in cui evidenzia un errore di Luca Pacioli e di Commandino. Conclude scrivendo: “ Parmi a bastanza havervi mostrato ciò che s’intenda per rv. né più pigliarete il granchio, ingarbugliandovi nelle rr. che non fanno a proposito della linea maggiore, né della minore”. La prima lettera ci presenta Commandino - allora ventottenne - in difficoltà con il calcolo radicale. Scrive Tommaso Leonardi: “ Hoggi (…) ho ricevuto una vostra con le altre alligate, nel principio della quale veggio che più che mai dubitate sopra le radici universali, quantunque vi habbia scritto brevemente sopra di esse, sì come far si deve con persona che intende solamente al cenno. Et avenga che nel fine della vostra dimostrate esservi chiarito del dubbio che vi era nella mente, non di meno parmi dover dirne qualche cosa, aciò si risponda ordinariamente di parte in parte alla vostra lettra.” Gli argomenti su cui Tommaso Leonardi insiste molto e che quindi, si presume, risultino difficoltosi per Commandino, sono la regola del prodotto dei segni e il calcolo con i radicali doppi. L’algebrista fanese esegue come esempio il quadrato di e si sofferma sulla terminologia corretta delle varie espressioni che intervengono (“binomio”, “binomio quarto”, “radici universali”, “residuo”) e sulle singole operazioni implicate nello svolgimento del quadrato. Ritorna sul prodotto di radicali doppi anche in seguito, trattando del calcolo dell’area di un rettangolo di base e altezza , in cui evidenzia un errore di Luca Pacioli e di Commandino. Conclude scrivendo: “ Parmi a bastanza havervi mostrato ciò che s’intenda per rv. né più pigliarete il granchio, ingarbugliandovi nelle rr. che non fanno a proposito della linea maggiore, né della minore”.

4. Insegna poi a Commandino la risoluzione di tre problemi di geometria abbastanza impegnativi che portano il primo porta ad un’equazione di 2° grado e gli altri due ad equazioni biquadratiche di cui l’ultima ottenuta da un’equazione irrazionale. La seconda lettera, Tommaso Leonardi a Commandino (24 marzo 1556) La seconda lettera ha un contenuto matematico più modesto; in essa Tommaso Leonardi critica l’algoritmo, proposto da Commandino, per estrarre la radice quadrata di un numero e dice di aspettare “ l’opera del Tartaglia a cui già mi faceste scrivere una lettera sopra la radice cuba di un binomio”. La terza lettera, Commandino a Giovanni Battista Teofilo (30 luglio 1574) Dalla lettera si evince che Commandino conosceva l’Algebra di Raffaele Bombelli, uno dei capolavori della matematica del Cinquecento, uscita a Bologna nel 1572, ed era informato del fatto che l’algebrista bolognese, che stima “intendente molto delle cose di algebra”, aveva tradotto cinque libri dell’Aritmetica di Diofanto in collaborazione con Antonio Maria Pazzi. Sapendo che l’opera non era stata completata “per diversi travagli che hebbe l’uno et l’altro di loro” chiede al Teofilo di informarsi presso il figlio di Antonio Maria Pazzi, residente a Roma, per sapere se la traduzione fosse disponibile, sollecitandone nel contempo l’ultimazione e la pubblicazione.

5. Il commento agli Elementi di Euclide (Pesaro 1572 e Urbino 1575) Nel suo commento al libro X, Commandino usa sistematicamente l’algebra ed in modo particolare il calcolo radicale. Come è noto il libro X, il più lungo e il più difficile di tutti, è dedicato alle grandezze irrazionali (secondo la trattazione euclidea incommensurabili in lunghezza e in potenza con la retta razionale di partenza), che noi oggi esprimiamo con radicali. Nell’ edizione di Commandino figurano 117 proposizioni, 7 corollari, 23 lemmi e 13 teoremi per un totale di 160 “situazioni commentabili” alle quali dobbiamo aggiungere le tre serie di definizioni. Circa il 50% di tutto questo materiale è spiegato da Commandino numericamente facendo ricorso alle radici quadrate, quarte e ai radicali doppi oltre che alla risoluzione di equazioni di 2° grado. Il commento ha un suo spazio, si trova dopo le proposizioni ed è indicato come “F.C. Commentarius” nell’edizione latina e “Il Commandino” in quella volgare, qualche volta seguito da una ulteriore “Operatio” o in “Operatione” in volgare. Nei casi più semplici è presente solo a fianco della dimostrazione, nella figura sulla quale sono riportati dei dati numerici e i risultati di semplici operazioni elementari.

6. C’è da dire che i commenti numerici non appaiono solo nel X libro ma anche negli altri libri, per la verità in misura più limitata. Numeri sono presenti a esemplificazione delle proposizioni dei libri aritmetici (il settimo, l’ottavo e il nono), anche se in genere solo a margine, senza ulteriore commento, come casi particolari di numeri qualunque presenti della dimostrazione. Lo stesso intervento è effettuato da Commandino per chiarire le definizioni con le quali inizia il libro quinto ( dedicato alla teroria delle proporzioni fra grandezza che inizia con 18 definizioni dei rapporti di grandezze), mentre nel libro secondo il commento riguarda la ricaduta di due teoremi nel campo del calcolo delle aree.

7. In definitiva possono ridursi a tre: a) Come esemplificazione delle definizioni. Definizione di retta mediale secondo Euclide. Nella proposizione XXII libro X Euclide definisce la retta mediale nel modo seguente: Sia dato un rettangolo compreso da rette razionali commensurabili solo in potenza, esso è irrazionale. Il lato del quadrato equivalente al rettangolo si dice retta mediale ed è irrazionale. Tale retta mediale è media proporzionale fra i due lati del rettangolo. Commandino traduce questa definizione in numeri. Prende AB = 2 e BC = AB e BC sono commensurabili solo in potenza e l’area del rettangolo di lati AB e BC è 2 che è irrazionale. La retta mediale è Con quali modalità sono introdotti i commenti numerici?

8. Altro esempio: definizione di retta prima bimediale Nella proposizione XXXVIII libro X Euclide definisce la retta (segmento) prima bimediale come la somma di due rette mediali commensurabili solo in potenza e che comprendono un’area razionale e dimostra che tale retta è irrazionale. Commandino porta come esempio di prima bimediale il segmento AC di lunghezza somma di AB = e di BC = Infatti le due rette e sono mediali commensurabili solo in potenza Il rettangolo da essi individuato è razionale, infatti AB x AC=

9. b) Come esemplificazione numerica di un procedimento geometrico dimostrativo e quindi come illustrazione di un ragionamento generale in un contesto particolare. Mi limito a riportare solo un esempio, fra i tanti possibili. Nella proposizione XII del libro X Euclide dimostra che grandezze commensurabili con una stessa grandezza come commensurabili fra loro (proprietà transitiva della commensurabilità). La dimostrazione è la seguente: siano A e B commensurabili con C, si vuole dimostrare che A e B sono commensurabili. Essendo A commensurabile con C sarà A:C=d:e dove d e e sono numeri interi. Essendo B commensurabile con C sarà C:B=f:g dove f e g sono due numeri interi. Si prendano ora tre numeri h, k, l tali che d:e = h:k e f :g = k:l. Sarà A:C=d:e=h:k quindi A:C=h:k Sarà C:B=f:g=k:l quindi C:B=k:l . Operando la deduzione “ex aequo” (Proposizione XII del libro quinto) si avrà A:B=h:l e quindi A e B sono commensurabili. Commandino a commento numerizza questa dimostrazione, disegna a fianco tre segmenti e prende d=6 e e=4 per cui risulta che A:C=6:4, pone f=4 e g=8 per cui C:B=4:8. Prende poi h=3 e k=2 e l=4 per cui risulta: A:C=d:e=h:k=3:2; C:B=f:g=k:l=1:2. In conclusione A:C=3:2 e C:B=1:2, e quindi A:B=3:4 cioè A e B sono commensurabili.

10. A B C D c) Come applicazione di un teorema al calcolo (per esempio al calcolo delle aree). Ad esempio le proposizioni XII e XIII del libro secondo costituiscono una generalizzazione del teorema di Pitagora ai triangoli ottusangoli e acutangoli, affermando che il quadrato del lato opposto all’angolo ottuso o acuto è uguale alla somma dei quadrati degli altri due lati aumentata o rispettivamente diminuita del doppio prodotto di uno dei lati che limitano l’angolo e la proiezione ortogonale su esso dell’altro lato. Come fa notare lo stesso Commandino i teoremi servono per determinare la proiezione di un lato del triangolo sulla base e quindi per trovare l’altezza e con essa l’area del triangolo. Il nostro fa vedere concretamente come si procede su due esempi numerici, uno nel caso di un triangolo ottusangolo e l’altro per un triangolo acutangolo. AB2 =BC2+AC2+2 BC·CD AB= 20 piedi BC= 8 piedi AC = 14 piedi

11. Ci sono altre situazioni in cui Commandino affronta problemi di calcolo abbastanza complessi, in qualche modo collegati alle proposizioni di Euclide. Ad esempio la proposizione LV libro X afferma che se un’area rettangolare è compresa da una retta razionale e da una prima binomiale, la retta il cui quadrato sia uguale all’area in questione è la retta irrazionale che si chiama binomiale. Nel commento Commandino affronta il problema di trovare il lato di un quadrato data la sua area e lo risolve su un caso numerico particolare. Pone l’area del quadrato uguale a , il lato è in fondo il nostro radicale doppio . Per calcolarlo Commandino procede nel modo seguente: chiede di trovare due numeri tale che la loro somma sia 20 e il loro prodotto sia la quarta parte del quadrato di . Assegna come soluzioni senza dare spiegazioni 5 e 15 ed afferma che il lato cercato è . Esegue poi la prova facendo il quadrato di e ritrova il valore . Analogamente a commento delle proposizioni successive dalla LVI alla LX, calcola i seguenti radicali doppi: ; ; ; ;

12. T Q R A S B Ci sono altre occasioni in cui Commandino risolve un’equazione di 2° grado senza “formalizzare” il procedimento con l’introduzione dell’incognita né rivelare la via seguita. Si tratta in quasi tutti i casi del problema legato all’applicazione ellittica che come è noto è il seguente: dato un segmento AB, trovare un punto S al suo interno tale che il rettangolo ASQT con QS=SB abbia un’area data q2. Il problema può essere facilmente risolto per via algebrica: indicando con a la misura di AB e con x quella di AS, si perviene all’equazione x(a-x)=q2 che risolta dà come soluzione x = . Come è noto Euclide nella proposizione V del Libro II e nella proposizione XXVII del Libro VI dà un procedimento risolutivo di carattere geometrico che corrisponde alle procedure della formula vista, esplicitando anche le condizioni che devono essere soddisfatte perché il problema ammetta soluzioni.

13. Nella proposizione XVIII del libro X Euclide trova la condizione necessaria e sufficiente perché il problema ammetta soluzioni razionali. Nel suo commento alla proposizione XVIII Commandino risolve il problema dell’applicazione ellittica in un caso numerico particolare, dopo aver ricordato le condizioni per la sua risolubilità. Chiede di dividere il numero 20 in due parti tali che il loro prodotto sia 75, in simbolismo moderno x·(20-x)=75 cioè x2-20x+75=0. Per la soluzione indica la seguente procedura: 20:2=10; 102 =100; 100-75=25; ; 10+5=15; le due parti sono 5 e 15. Questa procedura è compatibile sia con la formula risolutiva algebrica dell’equazione di 2° grado nota ai suoi tempi sia con il metodo geometrico di Euclide. Commandino non offre indizi di quale metodo abbia seguito. C’è almeno un altro commento in cui Commandino risolve equazioni di 2° grado pur senza dirlo esplicitamente e affronta calcoli complessi con i radicali, il che denota una notevole competenza in tale campo.

14. Quali sono in sintesi le conoscenze algebriche di Commandino che si evincono dai suoi commenti a Euclide? Nel libro X sono presenti tutte le operazioni più importanti del calcolo radicale: ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;

15. E F D 6 12 G H K 3 6 A B C Commandino dimostra di conoscere lo svolgimento del quadrato del binomio che giustifica per via geometrica: ad esempio per calcolare la lunghezza del segmento AC dato AB= e BC= (linee razionali commensurabili in lunghezza), calcola l’area del quadrato di lato AC= e poi ne estrae la radice quadrata. In pratica esegue il calcolo: =

16. Analogamente per calcolare la differenza di due segmenti razionali commensurabili in lunghezza segue la stessa procedura: Commandino affronta anche calcoli più complessi, ad esempio : In definitiva Per quanto riguarda le equazioni di 2° grado, Commandino non le hai usate in modo esplicito introducendo l’incognita ma ha dimostrato nelle occasioni viste di saperle in sostanza risolvere.

17. In alcuni commenti Commandino si sofferma sulla notazione algebrica. Ad esempio nel considerare la somma di due radici quadrate, nel caso di due linee incommensurabili in lunghezza ( e ), dice che si parlerà di binomio (trinomio se ci sono tre radici) e si scriverà “R3.R5” oppure “R3 insieme con R5” o “R3 aggiuntavi R5” oppure “ci serviremo di questa voce più che si usa comunemente in questo modo R3 più R5”. Nel caso della differenza di due radici, ad esempio , si scrive, dice Commandino, “R5 trattane R3” oppure “ci serviremo di questa voce meno, come al presente usano di fare, in questo modo R5 meno R3”. Nel caso di radicali doppi adopera la notazione già in uso (ad esempio in Pacioli che le chiama “radici universali”): è reso con

18. Domanda: questo modo di commentare numericamente gli Elementi di Euclide è originale? Commandino non è il primo a fare questa operazione di “numerizzazione” della geometria in quanto la traduzione delle grandezze irrazionali in termini di espressioni radicali era già stata fatta nella Summa (1494) da Luca Pacioli che inizia il “Tractatus tertius”della “Distinctio octava” (riservata all’algebra), con il tema: “De 15 lineis de quibus principaliter in decimo Euclidis agitur et diffinitionibus earum”. Nel trattato sono dati esempi numerici di ognuna delle linee irrazionali considerate da Euclide nonché di tutte le operazioni relative ad esse; siamo quindi di fronte ad un’ampia trattazione dei contenuti del X libro, cui certamente i commenti di Commandino non aggiungono nulla dal punto di vista strettamente matematico. Anche l’edizione di Euclide curata dal Pacioli, uscita a stampa a Venezia nel 1509, contiene commenti numerici che però non sono rilevanti né da un punto di vista quantitativo né qualitativo. Il commento in genere consiste nel riportare accanto ai lati delle figure disegnate un numero come loro misura e serve per esemplificare la dimostrazione euclidea, senza peraltro avere un riscontro esplicito nel testo.

19. Questo tipo di commento numerico implicito non è molto frequente, risulta che solo il 33% circa dei disegni contengono delle misure, per la verità concentrati quasi tutti nella parte iniziale dell’opera. Esemplificazioni numeriche sono presenti anche negli spazi esplicitamente riservati da Pacioli al commento, i cosiddetti “Castigator” (in 10 su 29); in genere sono commenti brevi che contengono pochi e semplici calcoli salvo qualche eccezione. Ad esempio a f. 89r si afferma che la quantità binomiale seconda è uguale alla radice “universale” senza peraltro eseguire il calcolo. In alcuni casi le esemplificazioni numeriche sono presenti nell’ambito della dimostrazione della proposizione stessa, ma ciò accade solo raramente e con commenti molto brevi.

20. L’edizione degli Elementi di Euclide curata da Nicolò Tartaglia, Venezia 1543 Quanto alle altre edizioni degli Elementi di Euclide precedenti quella di Commandino, la prima traduzione in volgare, Euclide megarense philosopho solo introduttore delle scientie mathematice … Venezia 1543, di Nicolò Tartaglia, contiene solo marginalmente commenti numerici. Delle 138 “situazioni” commentabili (6 corollari, 13 lemmi e 119 proposizioni) si hanno solo 18 commenti pari al 13% circa: per la maggior parte i calcoli sono abbastanza semplici, in essi intervengono radicali di 2° o di 4° ordine, mai radicali doppi, le operazioni implicate sono elementari, in genere prodotti. I commenti hanno la forma di calcoli a margine accanto a figure che riportano ai lati le rispettive misure, in riferimento alla dimostrazione euclidea e senza ulteriori spiegazioni a parole. In alcuni casi, una minoranza, il calcolo è inserito nel testo, allora Tartaglia si dilunga maggiormente nella spiegazione delle operazioni eseguite. L’impressione comunque è quello di un commento non sistematico ma episodico e marginale al contrario di quello di Commandino che si caratterizza per la sua ampiezza.

21. L’edizione degli Elementi di Euclide curata da Francisco Flussas Candalla, Parigi 1566 Anche l’edizione di Francisco Flussas Candalla, Euclidis megarensis mathematici clarissimi Elementa geometrica libris XV…, Parigi 1566, dal punto di vista dei commenti numerici ha le stesse caratteristiche dell’edizione del Tartaglia. Anche qui le traduzioni algebriche delle proposizioni sono poco numerose, circa venti, e consistono in genere in dati numerici posti accanto ai lati delle figure geometriche disegnate, senza elaborazione di calcoli e commento esplicito nel testo. Ci sono tre eccezioni in cui esplicitamente nel “Monitum” si esemplificano con radicali i teoremi euclidei. In genere gli esempi numerici di Commandino sono diversi da quelli presenti nell’edizioni precedenti degli Elementi tranne qualche eccezione, per esempio in riferimento all’edizione di Candalla, ma anche in questi casi limitatissimi -cinque in tutto- Commandino elabora in modo più esteso i calcoli relativi all’esempio.

22. In conclusione si può dire che i commenti numerici di Commandino al X libro non sono originali di per sé ma sono degni di nota per la loro sistematicità e la loro ampiezza. Voglio concludere con un’ultima osservazione. E’ notevole è il fatto che un autore “dotto” come lui segua, nel commento a Euclide, un’impostazione culturale – il passaggio dalle grandezze geometriche alle loro misure, quasi una identificazione - che storicamente appartiene alla tradizione araba e abachistica.

23. Come è noto nella matematica greca e in quella di Euclide in particolare, c’è una separazione netta fra l’aritmetica e la geometria, tra il numero e la grandezza. Questo distacco ha origine remote e parte dalla scoperta da parte della scuola pitagorica delle grandezze incommensurabili – ad esempio il lato del quadrato e la sua diagonale- La reazione a tale scoperta è stata l’abbandono dell’uso dei numeri nella trattazione della geometria, ad esempio la teoria delle proporzioni e quella degli irrazionali contenute negli Elementi sono teorie completamente geometriche. Euclide non considera il rapporto fra due grandezze incommensurabili un numero (irrazionale) come facciamo noi, neppure le frazioni erano viste come numeri veri e propri. Il termine numero era riservato solo ai numeri interi. Nella matematica araba e in quella abachistica, la situazione cambia completamente; gli abachisti privilegiavano l’aritmetica e l’algebra, risolvevano problemi espressi con dati numerici applicando regole standard, affidandosi alla memoria e alla casistica. In geometria c’è un processo di identificazione fra grandezza e sua misura, non si dimostrano teoremi, ma si calcolano aree e volumi. Ancora una volta è la Summa di Luca Pacioli a testimoniare lo stato dei metodi e dei contenuti della matematica dal Duecento al Cinquecento.

24. Come si è detto in precedenza, nel “Tractatus tertius” della “Distinctio octava”Luca Pacioli tratta del X libro degli Elementi di Euclide: ”E acciò meglio quello che segue se habi a intendere bisogna qui alquanto far discorso nel ordine del 10° libro de Euclide. Del quale certamente lui con suo perspicacissimo ingegno e speculativo discorso nelle cose matematiche disse si altamente quanto mai alcun altro immaginare potesse (…)” Ma nell’esporre i contenuti del libro abbandona la matematica “alta” per adottare metodi “pratici”. Infatti scrive che “detto phylosopho (…) immaginò 15 quantità over linee (…) de le quali 15 linee la prima si chiama (…) raziocinata (…) per la quale se intende in pratica tutti li numeri che sono (…) discreti, sieno sani o rotti como a dire 1, 2, 3, ½, 1/3, ¼”, vale a dire che le grandezze commensurabili in definitiva si identificano con i numeri razionali. La seconda linea considerata da Euclide è quella commensurabile solo in potenza, la definizione II degli Elementi recita: “ Sono commensurabili in potenza rette tali che i quadrati su esse costruiti possano venir misurati da una stessa area”. Nella definizione data da Luca diventa: “ la seconda linea de le dette 15 solamente in potentia (cioè in sua quadratura) ene rationata (…) e per questa in la pratica se intende la Rx di ciascun numero non quadrato como a dire Rx3, Rx5”.

25. Commandino nei “Prolegomeni” all’edizione di Euclide colloca la matematica in una posizione intermedia fra il genere della filosofia naturale e quello “divino” della filosofia. La matematica non è totalmente “immersa” nella materia come la filosofia naturale e nel contempo non è pura speculazione, è una forma di conoscenza che ha forti agganci con la realtà pur non essendo un’ “arte bassa”. La matematica per Commandino è molto utile alla società, ha grandi applicazioni nell’ “arte delle macchine”, nell’astronomia, nell’ottica, nella geodesia, nella musica e nell’ “arte dei conti”. Anche le “arti più basse” hanno bisogno dell’aritmetica e della geometria, come per esempio la pittura che necessita della prospettiva, l’arte militare che si serve della geometria per l’assedio e per la costruzione delle macchine belliche.

26. In coerenza con questa visione Commandino dichiara che la sua edizione di Euclide è stata fatta per “comodo de’ studiosi” ma anche per favorire la comprensione della matematica euclidea da parte “de’ lettori ancora rozzi”. In effetti l’operazione di “numerizzazione” delle proposizioni di Euclide permette la lettura dell’opera non soltanto a un pubblico dotto ma anche alla vasta schiera dei tecnici più interessati ad una traduzione numerica della geometria euclidea che era più rispondente alle loro esigenze di perfezionamento delle tecniche. Commandino dà ospitalità a procedimenti abachistici nel contesto più prestigioso che potesse essere scelto, quello dei commenti agli Elementi di Euclide. Questo aspetto è molto importante nell’ambito della storia della matematica e della scienza in generale perché è un sintomo che i due mondi – quello dei tecnici e quello dei dotti del quale Commandino è stato un autorevole rappresentante – cominciano ad entrare in relazione fra loro, a dialogare e questa interazione sarà decisiva per la nuova scienza che poi nascerà con Galileo. .

27. Si pone il problema di stabilire quale influenza abbia avuto questo modo di commentare Euclide da parte di Commandino, improntato alla numerizzazione della geometria, nella prospettiva dei futuri sviluppi della matematica, essenzialmente nella nascita della geometria analitica di Cartesio. E’ difficile rispondere e lo lascio come problema aperto, se esiste poi questa influenza. Due cose sono certe: la prima è che la geometria di Cartesio si basa sulla identificazione tra enti geometrici e algebrici, fra procedimenti geometrici e procedimenti algebrici e quindi presuppone questa identificazione fra grandezza e numero, come impostazione culturale accettata e la seconda è che l’Euclide di Commandino ebbe una grande fortuna editoriale, viste le numerosissime edizioni latine e inglesi che ebbe nel corso del sei-settecento fino a quella londinese del 1867. Heiberg autore della ponderosa edizione critica degli Elementi scrive che l’edizione del Commandino costituì per oltre due secoli un imprescindibile punto di riferimento e quindi si può pensare che abbia consolidato questa cultura della identificazione delle grandezze geometriche e algebriche.