1 / 27

Výukový materiál zpracován v rámci projektu EU peníze školám

Výukový materiál zpracován v rámci projektu EU peníze školám Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0208. Početní operace (úkony) s KČ :. rovnost KČ součin KČ a čísla reálného součet KČ rozdíl KČ součin KČ ( včetně mocnin imaginární jednotky ) podíl KČ.

knox-mccarthy
Télécharger la présentation

Výukový materiál zpracován v rámci projektu EU peníze školám

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Výukový materiál zpracován v rámci projektu EU peníze školám Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0208

  2. Početní operace (úkony) s KČ: • rovnost KČ • součin KČ a čísla reálného • součet KČ • rozdíl KČ • součin KČ (včetně mocnin imaginární jednotky) • podíl KČ

  3. Početní operace definujeme pro: • dvě komplexní čísla a = a1+ a2i, b = b1+ b2i (a, b  C) • reálné číslo k (k  R)

  4. a) a1 = b1 a2 = b2 + I) Rovnost KČ a = b a1 = b1 a2 = b2 (rovnají se příslušné části KČ) Příklad: Určete x, y  R tak, aby platilo

  5. b) c) d) e) f)

  6. Příklad: Určete k . a, je-li a = 1 – 2i, . II) Součin čísla reálného a KČ reálná část imaginární část k . a = k . (a1 + a2i ) = ka1 + ka2i • výsledkem je opět KČ ... KČ opačné k danému

  7. III) Součet KČ a + b = (a1 + a2i ) + (b1 + b2i ) = = (a1 + b1) + (a2i + b2i ) = = (a1 + b1) + (a2+ b2) i reálná část imaginární část • výsledkem je opět KČ

  8. IV) Rozdíl KČ • KČ opačné k danému – a = – a1 – a2i • rozdíl KČ lze vnímat jako součet KČ a – b = a + ( – b ) = = (a1 + a2i ) + (– b1 – b2i ) = = (a1 – b1) + (a2i – b2i ) = = (a1 – b1) + (a2– b2) i reálná část imaginární část • výsledkem je opět KČ

  9. Příklad: Je-li a = 1 – 2i, b = – 3 + i, c = – 5 – 4i, d = – 3i, e = 7, vypočtěte: a+ b = a + c + d = a – b = b – a = c – a + d – e = a + e – d – c = (1 – 2i) + (– 3 + i) = – 2 – i (1 – 2i) + (– 5 – 4i) + (– 3i) = – 4 – 9i (1 – 2i) – (– 3 + i) = 1 – 2i + 3 – i = 4 – 3i (–3 + i) – (1 – 2i) = –3 + i –1 + 2i = –4 + 3i (– 5 – 4i) – (1 – 2i) + (– 3i) – 7 = = – 5 – 4i – 1 + 2i – 3i – 7 = – 13 – 5i (1 – 2i) + 7 – (– 3i) – (– 5 – 4i) = = 1 – 2i +7 + 3i + 5 +4i = 13 + 5i

  10. V) Součin KČ a . b = (a1 + a2i ) . (b1 + b2i ) = = a1 b1 + a1b2i + a2 b1i+ a2 b2 i2= = a1 b1 + a1b2i + a2 b1i+a2 b2 . (– 1) = = a1 b1 + a1b2i + a2 b1i–a2 b2 = = (a1 b1–a2 b2 ) + (a1b2i + a2 b1i)= = (a1 b1–a2 b2 ) + (a1b2 + a2 b1 )i reálná část imaginární část • výsledkem je opět KČ

  11. Příklad: Je-li a = 1 – 2i, b = – 3 + i, c = – 5 – 4i, d = – 3i, e = 7, vypočtěte: +2 a . b = a . c . d = a . b – e . c = (1 – 2i)(– 3 + i) = – 3 + i + 6i – 2i2 = – 1 + 7i (1 – 2i)(– 5 – 4i)(– 3i) = +30 – 12 = (1 – 2i)(15i + 12i2 ) = 15i – 12 – 30i2 + 24i = 18 + 39i (1 – 2i)(– 3 + i) – 7(– 5 – 4i) = +2 = – 3 + i + 6i – 2i2 + 35 +28i = 34 + 35i

  12. Mocniny imaginárního KČ Užíváme algebraické vzorce známé již ze ZŠ Příklad: Vypočtěte –9 –6 +i

  13. Příklad: Vypočtěte (zapište v AT).

  14. Příklad: Určete a) reálnou, b) imaginární část KČ.

  15. Mocniny imaginární jednotky • Mocniny imaginární jednotky nabývají pouze čtyři různé hodnoty, které se opakují stále ve stejném pořadí: + 1, + i, –1, – i. • Pro úpravu lze užít dva postupy. Zvažte, který je pro vás jednodušší a ten si zapište.

  16. 1. způsob: a) c) b) d)

  17. 2. způsob: a) c) b) d)

  18. Příklad: Určete mocniny. i 123= i 217= i 85 = i 323= i 140 = i 196= i 254 = i 286= i 60 = i 405= i 135 = i 27 = i 99 = i 132= i 182 = i 180= i 77 = i 65 = i 200 = i 18= – i + i + i– i + 1 + 1 – 1 – 1 + 1 + i – i– i – i + 1 – 1 + 1 + i+ i + 1 – 1

  19. Příklad: Vypočtěte. = – i + i – i + i – i i 3+ i 13 +i 23+ i 33 + i 43 = i. i 2 .i 3. i 4 . i 5 = i+ i 2 +i 3+ ... + i 99 + i 100 = = – i i15 = – i = ( i+ i 2 +i 3+ i 4) + ( i5+ i 6 +i 7+ i 8) + ... ... + (i97+ i 98 +i 99+ i 100) = = 25 . ( i+ i 2 +i 3+ i 4) = 25 . 0 = 0

  20. VI) Podíl KČ • POZOR!!! Aby se jednalo o podíl KČ, musí být KČ (imag. jednotka) ve jmenovateli zlomku • Vyřešit podíl KČ znamená „odstranit imaginární jednotku ze jmenovatele zlomku“ – obdobná úprava jako u usměrňování zlomků (učivo 1. ročníku) • Výsledkem je opět KČ

  21. Příklad: Vydělte KČ (zapište KČ v AT). • dělíme-li KČ ryze imaginárním • dělíme-li KČ ryze imaginárním 1 1 1

  22. (a + b).(a – b) = a2 – b2 (a – b).(a + b) = a2 – b2 • dělíme-li KČ imaginárním • dělíme-li KČ imaginárním 1 +15 ( ) ( ) ( ) 1 –10 ( ) ( ) ( )

  23. Příklad: Určete a) reálnou, b) imaginární část KČ.

  24. Použitá literatura: • PETRÁNEK, O.; CALDA, E.; HEBÁK, P. Matematika pro střední odborné školy a studijní obory středních odborných učilišť 4. část. 5. vyd. Praha : Prometheus, 2004. ISBN 8071960403. Kapitola 1, s. 9–47 • JIRÁSEK, F.; BRANIŠ, K.; HORÁK, S.; VACEK, M. Sbírka úloh z matematiky pro střední odborné školy a studijní obory středních odborných učilišť 2. část. 3. vyd. Praha : Prometheus, 2003. ISBN 8071960128. Kapitola 1, s. 11–46

More Related