COLEGIO DE EDUCACION PROFESIONAL TECNICA CONALEP ESTADO DE MEXICO

1. COLEGIO DE EDUCACION PROFESIONAL TECNICA CONALEP ESTADO DE MEXICO ANALISIS DERIVATIVO DE FUNCIONES UNIDAD 1.2

2. CONTENIDO CALCULO DE LIMITES DE FUNCIONES DETERMINACION DE LIMITE DE UNA FUNCION

3. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN Antes de presentar el concepto de limite, consideremos la siguiente representación decimal de un número real muy conocido con el numero ”π”, al que se le van asignando un valor sucesivamente cada vez más próximo a él, esto es

4. Continuando con los procedimientos se tiene que ; Para el decimo segundo termino

5. Al continuar asignando más cifras decimales a “x” se obtiene la mejor aproximación al número π pero más cifras decimales que se consideren, jamás se podrá llegar al valor de π, lo cual se denota como X π Que se lee como x tiende a ser π y significa que a x se le asignan valores sucesivamente cada vez más cercanos a π pero nunca iguales que π (x ≠ π )

6. En general si “a” es un valor fijo, es decir que x a significa que a variable independiente x, se le asignan valores sucesivamente cada vez más cercanos a “a” pero nunca iguales que “a”. Consideremos ahora las siguientes tablas, las cuales se consideran que x tiende a 2, esto es Note que en la tabla de lado izquierdo la variable de x primero se le asignaron valores sucesivamente cada vez más cercanos a 2 pero no menores que dos Y en la tabla lado derecho se asignaron valores cada vez más cercanos a 2 pero no mayores que dos

7. Con esta ligera introducción te damos una idea de concepto de límite sin embargo una definición más acertada es : El límite de una función real de variable real con regla de correspondencia de y = f(x) cuando la variable independiente x tiende a un valor fijo “a” es el valor “L”, se denota; lim f(x) x→ a Que se lee: el limite f(x) cuando x tiende a “a” es igual a L Significa que cuando “x” está muy cercana a “a” la función y= f(x) está muy cerca de L

8. Para interpretar geométricamente el valor de limite, se traza la gráfica de la función como se muestra en la siguiente figura, entonces cuando “x” está muy cerca de “a” , está muy cerca de L, por lo cual L es el valor límite .

9. EJEMPLO No 1. Considérese la siguiente grafica de una cierta función y = f(x), obtener el valor de su límite cuando tiende a x → -5, 0, y 7.5

10. Actividad Considere la gráfica de la función y = g(x) obtenga el valor de su límite cuando x tiende a -2, 0, 6.5 y 11

11. Ejemplo: Obtener el valor del límite lim (x2+1) x→1 En este caso “x” tiende a 1, se le asignan a “x” valores sucesivamente cada vez más cercanos a 1, tanto menores (tabla izquierda) como mayores (tabla derecha) y se evalúa a la función en cada valor asignado a “x”. El valor hacia cual tienda la función cuando x este muy cerca del 1 corresponderá al valor del limite

12. En ambas tablas cuando los valores tienden de “x” se acerca cada vez más a 1,la función se acerca cada vez más a 2, esto es, cuando x→1, entonces f(x) → 2 por lo tanto el límite de la función es igual a 2 esto es; Lim (x2 + 1) x→1

13. Actividad No 2 Obtenga el valor del siguiente límite Lim (x3 – 1) x→1

14. LIMITES LATERALES Al asignar los valores sucesivamente cada vez más cercanos al valor hacia cual tiende “x” tanto con valores menores como mayores, se denomina; cálculo de limite mediante literales El límite por el cual se asignan valores sucesivamente cada vez más cercanos al valor hacia el cual tiende “x”, pero menores se denomina límite lateral izquierdo El limite lateral por la izquierda de una función f(x) cuando x tiende a un valor fijo se representa por Lim f(x) x→a-

15. El limite lateral por la derecha de una función f(x) cuando x tiende a un valor fijo z se representa por Lim (x) x→a+ El límite de una función existe, si y solo si, sus límites laterales existen y sus iguales, esto es;

16. Del teorema anterior se deduce que para calcular el límite de una función, primero se deben obtener sus límites laterales y a partir de ellos, se determina el valor del límite Es muy importante identificar aquellas funciones en las cuales se requiera para calcular su límite se necesita el uso de limites laterales. De esta grafica se deduce el valor de los límites laterales, los cuales resultan

17. Actividad No 3 determina el valor de cada uno delos limites laterales con respecto a la gráfica presentada de cierta función f(x)

18. Calcular el límite por la derecha de la función f(x) = 2-4 cuando x tiende a 2 Existen funciones como esta en la cual no es posible calcular los dos limites laterales en algunos de los puntos Aquí no es posible calcular el limite por la izquierda cuando x tiende a 2, por que la función no esta definida para valores cercanos a 2 pero menores Construyendo la tabla en la cual se le van asignando a la variable x valores sucesivamente cada vez más cercanos a 2 por la derecha, esto es, valores mayores que 2

19. Cuando los valores de x se acercan a 2 por la derecha, la función se acerca cada vez más a 0, esto es cuando x→2+, entonces f(x) →0 y por lo tanto él; Lim2-4 X→2+

20. Actividad Calcule el límite por la izquierda de la función f(x) = 2-4 cuando x tiende a -2

21. Mediante límites laterales calcular el límite Lim |x+1|/x+1 x→ -1 En este caso se obtiene el límite de la función tanto por la izquierda como por la derecha, para lo cual se elaboran las siguientes tablas

22. Con los valores obtenidos en las tablas anteriores se deduce que; Como los dos límites laterales no son iguales, el límite no existe. Esto es; Lim |x+1|/x+1 = x→ -1

23. Actividad Mediante límites laterales calcule el valor del límite Lim x/x x→0

24. TEOREMAS PARA CALCULAR LIMITES Si  k es una constante y a un número cualquiera, entonces;donde k es un número real Para cualquier número dado a,

25. Si m y b son dos constantes cualesquiera, entonces teorema 4

26. teorema 5 Si  f es un polinomio y a es un número real, entonces

27. Si q es una función racional y a pertenece al dominio de q, entonces teorema 8

29. Solución 1 Solución 2

30. Solución 3 Solución 4

31. Solución 5

32. Solución 6 No es posible aplicar directamente el TL7, pues se obtendría la forma indeterminada 0/0; no obstante, luego de factor izar y simplificar la expresión, se obtiene fácilmente el límite aplicando el TL1:

33. 7. Solución: No es posible aplicar directamente el TL7, pues se obtendría la forma indeterminada 0/0; no obstante, luego de factorizar y simplificar la expresión se obtiene fácilmente el límite aplicando el TL7 o el TL4(III):

34. 8. Solución: Si pretendiéramos aplicar el límite directamente a partir del TL7, nos daría la forma indeterminada 0/0; por lo que, se debe factorizar y luego simplificar la expresión antes depoderhacer uso del TL6:

35. 9. Solución: No se puede aplicar el límite directamente, daría la forma indeterminada 0/0; no obstante, luego de multiplicar tanto el numerador como el denominador por la conjugada de la expresión en el numerador y luego reduciendo y simplificando, se puede aplicar el TL para hallar el límite:

36. 10. Solución: Luego de la transformación de la expresión se aplican los TL7  y  TL8

37. 11. Solución: El límite no se puede aplicar directamente, resultaría la forma indeterminada 0/0; no obstante, una vez factorizando y simplificando, la expresión queda expedita para hallar el límite mediante los TL7  y  TL6:

38. 12. Solución:

39. LIMITES TRIGONOMÉTRICOS El límite de una función trigonométrica se obtiene utilizando los siguientes teoremas en los cuales se consideran que u = f(x) Con estos teoremas es posible obtener el límite de las funciones trigonométricas. Cuando la función dada es diferente de la función seno y coseno, primero se aplican identidades trigonométricas y después teoremas correspondientes

40. Entre las identidades más usuales para el cálculo de límites se tiene, las siguientes

41. La aplicación de los primeros dos teoremas se muestra enseguida i.- obtener el valor del límite limsen x x→2 Como x tiende a ser 2 entonces el valor del límite es

42. Calcular el límite trigonométrico Limcos 5x x →0 El argumento de la función es 5x, entonces haciendo que u = 5x Cuando x → 0 también 5x → 0 esto es, el límite se puede escribir como Limcos 5x x → 0

43. Aplicando el teorema limcos u = 1, se tiene el valor del límite, esto es limcos 5x =1 x → 0 el argumento de la función es 5x entonces haciendo u = 5x Cuando x→0 también 5x→0 esto es, el límite se puede escribir limcos 5x x→0 Aplicando el teorema cos u = 1 se tiene que el valor del límite, esto es limcos 5x =1 x→0

44. Actividad Calcule el limite trigonométrico de limcos 3x x→0

45. Ejemplo obtener el valor límite de limsen 7x x→0 Haciendo u = 7x se tiene un límite de la forma limsen u = 0 x→0 limsen 7x = 0 x→0

46. Actividad Obtenga el valor límite de limsen 2x x→0

47. Ejemplo: Determine el valor límite de Lim3 sen 4x /x x • Al calcular el limite directamente resulta una indeterminación de la forma 0/0 por lo cual se debe aplicar el teorema • Limsen u /u = 1 • Considerando u = 4x , entonces x = u/4, sustituyendo 4x y x se tiene

48. Multiplicando extremos por extremos y medios por medios

49. Actividad Determine el valor límite de

50. LIMITES INFINITOS Definición 1 Se dice que x tiende a mas infinito (x→+∞) si a partir de un número real cualquiera, este y todos los que siguen son mayores que cualquier número real dado Definición 2 Se dice que x tiende a menos infinito (x→+∞) si a a partir de un número real cualquiera, este y todos los que le siguen son menores que cualquier número real dado