Physik IV: Quantenmechanik

1. Historische Höhepunkte: 1900 Planck Einführung der „Hilfsgröße“ h (Wirkungsquantum) Erklärung des Spektrums der Wärmestrahlung 1905 Einstein Einführung des Lichtquants (Photon), E  h Erklärung des Photoeffekts 1907 Einstein Einführung des Gitterschwingungsquants (Phonon), Evib  h Erklärung der spezifischen Wärme der Festkörper 1913 Bohr Einführung des Drehimpulsquants, ħ h Erklärung des Wasserstoffspektrums 1924 de Broglie Postulat der Welle-Teilchen-Dualität,p  ħk Vorhersage von Materiewellen 1925 Schrödinger Wellen-Quantenmechanik Heisenberg Matrizen-Quantenmechanik Geburt der modernen Quanten(feld)theorie Physik IV:Quantenmechanik Vorlesung  Phänomenologie (mit Experimenten) Anwendungen & Computer-Simulationen zur abstrakten Theorie

2. 1. Die Plancksche Quantenhypothese 1.1. Wärmestrahlung Wärmestrahlung  Temperatur-abhängige e.m. Strahlung von Körpern (z.B. Sonne) Folgerung:Auch durch Vakuum getrennte Körper können sich mittels Austausch von Wärmestrahlung im thermischen Gleichgewicht befinden 1.1.1. Erzeugung und Absorption von Strahlung Beobachtung: Es gibt zwei Strahlungsklassen Typ 1: Diskrete Frequenzspektren (Linienspektren) bei atomarenmolekularen Gasen nicht zu großen Drucks  unabhängige Partikel T-unabhängig; Eigenschaft der Atomhüllen-Struktur ( Bohrsches Atommodell) Typ 2: Kontinuierliche Frequenzspektren bei festenflüssigen Strahlern, Gasen großen Drucks und dichten Plasmen in charakteristischer Weise T-abhängig Beispiele: Glühlampe, Bogenlampe, Metallschmelze, Sonnenplasma

3. d dF Oberflächenelement des Strahlers (Projektion  Strahlungsrichtung) von dF in d emittierte Strahlungsleistung Definition:Emissionsvermögen  Strahlungsleistung pro Fläche und Raumwinkel Emissionsvermögen: PE Geometriefaktor  E Emissionsvermögen: Beobachtung:E hängt von der Oberflächenbeschaffenheit ab schwarze Oberfläche  E groß spiegelnde  weiße Oberfläche  E klein

4. absorbierte Strahlungsleistung auftreffende Strahlungsleistung idealer Spiegel Gedankenexperiment: Vakuum unterschiedliche Oberflächen ①, ②  T T P2 P1 2. Hauptsatz der Thermodynamik ① ② thermisches Gleichgewicht ①: ②: kgeom Geometriefaktor unabhängig von Oberfläche Folgerung: Kirchhoffsches Strahlungsgesetz: Integrales Absorptionsvermögen:

5. Prinzip Realisierung kleines Loch Thermoelement Wand-Temperatur T E* Heizung Defintion: Ein Körper heißt ideal schwarz, wenn seine Oberfläche alle elektro- magnetische Strahlung vollkommen absorbiert, d.h. A  1. Folgerung: Ein ideal schwarzer Körper besitzt das größtmögliche Emissions- vermögen für thermische Strahlung. • Technische Realisierungen: • schwarze Oberfläche großer Rauhigkeit  Vielfachstreuung, allmähliche Absorption, keine nennenswerte Reflexion • Hohlraum mit geschwärzten Innenwänden Schwarzkörperstrahlung  Hohlraumstrahlung  universelles Emissionsspektrum für gegebene Temperatur

6. Energiedichte eines Strahlungsfeldes Spezialfall: Isotropes Feld 1.1.2. Charakteristische Größen thermischer Strahlung Strahlungsfeld  Überlagerung ebener Wellen

7. Spezialfall: Isotropes Feld Spektrale Energiedichten eines Strahlungsfeldes

8. Spezialfall: Isotropes Feld  dF • Intensität bzw. Energieflussdichte eines Strahlungsfeldes

9. d   dFcos  dF dF Analog: Spektrale Strahlungsdichten • Messgröße: Strahlungs- bzw. Leuchtdichte einer Quellfläche Die Strahlungsdichte S*ist die pro Raumwinkel und projizierter Emissionsfläche in einem weit entfernten Detektor registrierte Leistung Spezialfall: S* ist richtungsunabhängig. Dann heißt die Quellfläche Lambertstrahler. Hohlraumöffnungen sind Lambertstrahler!

10. cdt d   dF dF Analog: Spezialfall: Isotropes Quellfeld: Zusammenhang mit der Energiedichte des Quellfeldes:

11. 2 . dF1 dF2 1 Quelle Detektor r Strahlungsleistung auf infinitesimaler Empfängerfläche: Bestrahlungsstärke (Intensität) am Detektor:

12. 2 dF2 r  r(,)   dF1 Lambertstrahler Emission in gesamten Halbraum (m  ): Strahlungsleistung auf ausgedehnter Empfängerfläche:

13. Folgerung 1: Leistungsbilanz der Wände an jeder Stelle: absorbiert emittiert Intensität groß Intensität groß Drehung Intensität klein Intensität klein T  T dF dF T Widerspruch zum 2. Hauptsatz der Thermodynamik. 1.1.3. Hohlraumstrahlung Definition: Der ideale Hohlraum hat das Volumen V und die Wände befinden sich (durch Wärmestrahlung) im thermischen Gleichgewicht (Temeratur T). Folgerung 2: Das Strahlungsfeld (Hohraumstrahlung) ist isotrop. Beweis: Betrachte dünne Testscheibe. Thermisches Gleichgewicht  Temperatur T. Angenommen, am Ort der Testscheibe wäre die Strahlung anisotrop:

14. Intensität groß Intensität groß Intensität klein Verschiebung Intensität klein T  T dF T dF Kirchhoffsches Strahlungsgesetz d W d W = Þ A E d t d t d • Thermische Emission und Absorption eines Körpers der Temperatur T sind über die Strahlungsdichte der zugehörigen Hohlraumstrahlung verknüpft: T dF Widerspruch zum 2. Hauptsatz der Thermodynamik. Folgerung 3: Das Strahlungsfeld (Hohraumstrahlung) ist auch homogen. Beweis: Betrachte dünne Testscheibe. Thermisches Gleichgewicht  Temperatur T. Angenommen, es gäbe 2 Orte mit unterschiedlicher Strahlungsintensität: Folgerung 4: Leistungsbilanz der Testscheibe an jedem Ort in jeder Orientierung

15. a a a Physik III  Eigenfrequenzen der stehenden Wellen (Moden) je 2 Polarisationen pro Mode ℕ Kugelkoordinaten Modendichte N()  Zahl der Moden in [0,] pro Volumen #Polarisationen Spektrale Modendichte Folgerung 5:Spektrale Modendichte der Hohlraumstrahlung Wandgeometrie und Beschaffenheit beliebig (V  )  verwende o.B.d.A. ideal leitenden Würfel,Kantenlängea  

16. Spektrale Modendichte der Hohlraumstrahlung: Mittlere Energie der Moden: Spektrale Energiedichte der Hohlraumstrahlung: Klassisches Modell: Jede Mode ist an harmonische Schwingungen der Atome in den Wänden gekoppelt. Im thermische Gleichgewicht folgt (Äquipartitionstheorem): kinetische Energie potentielle Energie Rayleigh-Jeansches Strahlungsgesetz Experiment  stimmt nur für   0 ( z.B. Infrarotbereich bei T  5000 K ) Ultraviolett-Katastrophe: 1.1.4. Das Plancksche Strahlungsgesetz

17. Plancksche Hypothese: Jede Mode ist an quantisierte harmonische Schwingungen der Wandatome gekoppelt: ℕ ,,Hilfsgröße” h: Plancksches Wirkungsquantum: Das Energiequantum h wird von dem Feldquant des elektromagnetischen Feldes, dem Photon, getragen. Die Energie Wnh entspricht der Energie von n Photonen der Frequenz  im Hohlraum. Postulat: Die ,,Besetzungszahlen” n() folgen aus der klassischen Statistik Boltzmannsches Verteilungsgesetz  Normierte Wahrscheinlichkeitsverteilung für n:

18. Also: geometrische Reihe

19. Infrarot-Grenzfall: h ≪ kT   (klassischer Grenzfall ,,h  0”) Rayleigh-Jeans-Gesetz Ultraviolett-Grenzfall: h ≫ kT   Wiensches Strahlungsgesetz Plancksches Strahlungsgesetz Vorhersage von Form und Normierung des thermischen Spektrums

20. 1000 Rayleigh-Jeans 100 Planck 10 Wien 1 0,1 0,01 0 0,4 0,8 1,2 1,6 2

21. Abkürzung: ! Wiensches Verschiebungsgesetz Position des Maximums:

22. Abkürzung: Leistungsabgabe eines Lambertstrahlers der Fläche F in Halbraum: SF Stefan-Boltzmann-Gesetz Stefan-Boltzmann-Konstante Gesamte Energiedichte:

23. Interpretation der Photonen als Korpuskeln mit Wellennatur (?) • Energie: • Impuls: • Vorgriff: De Broglies Geniestreich  Gilt das vielleicht auch für Korpuskeln (Elektronen, Protonen, Viren, Katzen, ...), die dann auch Wellennatur haben? Postulat: Anmerkungen: • Experimentelle Messung des Hohraumspektrums • Bestätigung der Planckschen Theorie • Messung von h durch Anpassung der Planck-Formel an gemessene Spektren Quantenmechanik

24. Avogadrokonstante # Freiheitsgrade Erinnerung: Innere Energie eines Mols (NA Teilchen) einer Substanz: U Molare spezifische Wärme Äquipartitionstheorem:Jeder Freiheitsgrad trägt den gleichen Anteil ½RT der inneren Energie U. Gaskonstante 1-atomige Gase f  3 (Translation: 3, Rotation: 0) 2-atomige Gase f  5 (Translation: 3, Rotation: 2) mehratomige Gase f  6 (Translation: 3, Rotation: 3) Festkörper f  6 (Ekin: 3, Epot: 3) (Schwingungen der Gitteratome) 1.2. Spezifische Wärme von Festkörpern 1.2.1. Klassische Theorie

25. Experimenteller Befund: CV klassische Theorie 3R Pb C 0 1000 T [K] • Klassische Theorie versagt, besonders drastisch bei • kleinen Temperaturen • Festkörpergitter aus leichteren Atomen • stark gebundenen Festkörpergittern • hohe Schwingungsfrequenzen Déjà-vu: Ultraviolettkatastrophe!!??  Wärmestrahlung: Elektronen schwingen um Atomkerne  Photonen Innere Energie: Atome schwingen um Gitterplätze  Phononen ???

26. Postulat (Verallgemeinerung der Planckschen Hypothese): • Die Schwingungsenergie harmonischer Oszillatoren (Eigenkreisfrequenz ) ist stets quantisiert und ist ein ganzzahliges Vielfaches des Grundquants . • Bei Festkörpern ergibt sich  aus der ,,Federkonstante” der Atombindung an den Gitterplatz und das Grundquant der Energie heißt Phonon. Ein Schwingungs-Zustand eines Gitteratoms besteht aus n Phononen: Vorgriff: Quantenmechanisch korrektes Resultat für harmonische Oszillatoren  macht hier keinen Unterschied (Glück gehabt) 1.2.2. Das Einstein-Modell

27. Mittlere Schwingungsenergie: Analog zu bei Hohlraumstrahlung Einstein-Temperatur NA schwingende Atome, 3 räumliche Freiheitsgrade der Schwingung  quantenmechanische Grundzustandsenergie  Klassischer Grenzfall:T ≫ E Quantenmechanischer Grenzfall:T ≪ E  Experiment 

28. a a a 2 transversale Schwingungen pro Raumrichtung: 1.1.3.  Spektrale Modendichte pro Polarisationstyp: (c  Phasengeschwindigkeit) a a V 1 longitudinale Schwingung pro Raumrichtung: Effektive Grenzfrequenz freier Modellparameter a ≫ Atomabstand  (wie bei Hohlraumstrahlung) Kontinuumsgrenzfall 1.2.3. Das Debye-Modell Einstein: Atome an imaginäre Gitterpunkte gekoppelt  1 Kopplungsfrequenz Debye: Atome an alle Nachbaratome gekoppelt  stehende Wellen  -Spektrum

29. Planck Debye Einstein g 0    Normierung von n() im Debye-Modell: # Schwingungsmoden Folgerung: Debye-Grenzfrequenz: Debye-Temperatur:

30. Spezifische Wärme:

31. Klassischer Grenzfall:T ≫ D  Quantenmechanischer Grenzfall:T ≪ D  • Erweiterungen: • Mehrere Grenzfrequenzen (z.B. für anisotrope Kristalle) • Beachte Phonon-Dispersion in spektraler Dichte

32. Rätsel: Das freie Elektronengas in Metallen trägt nicht spürbar zu CV bei. Klassische Erwartung: Quantenmechanische Erklärung:Elektronen besitzen den Spin ( Drall) Pauli-Verbot: Zwei identische Teilchen mit halbzahligem Spin (Fermionen) können sich nicht im gleichen Quantenzustand befinden. kT kT T  0 n() n() Fermi-Kante T  0K nicht anregbar angeregt Fermi-Energie voll besetzt F F   Theorie des Fermigases(VL Festkörperphysik, VL Quantenstatistik) Die Dichte n() der Energiezustände  wächst mit ½ an. F≫ kBZimmertemperatur  nur winzige Energieaufnahme durch thermische Anregung an der Fermikante

33. Experiment von Hallwachs (1887): Metallplatte UV-Licht Plattenladung negativ positiv neutral Beobachtung Entladung keine Entladung positive Aufladung bis zum ,,Haltepotential” Elektrometer 1.3. Photonen Newton, Descartes: Korpuskeltheorie des Lichtes  nicht erfolgreich Huygens, Fresnel, Hertz, Maxwell: Wellentheorie des Lichtes  erfolgreich Moderne Beobachtung: Das UV-Licht eines Lichbogens führt zur sofortigen Zündung einer anderen Funkenstrecke;,,Photonen”(Licht-Korpuskel) schlagen Elektronen aus der Elektrode  1.3.1. Der Photoeffekt

34. Strahlungsdichte S* Photokathode   Iph Photo-strom Sättigung Vakuumröhre Elektronen Iph R U0 U Kompensations-Spannung U Die Photozelle(Lenard, 1902)

35. S* Iph Iph U0 U U Befunde: Wellenbild Korpuskelbild ✔ ✔ • S*↗ Iph↗ • Sättigungsstrom unabhängig von U sobald Raumladungseffekte klein ✔ ✔ • eU0  max. kinetische Energie ausgelöster Elektronen •  abhängig von , nicht aber von S* ↯ ✔

36. S* Iph Iph U0 U U Iph S* Material 1 Material 2 g1 g2  Wellenbild Korpuskelbild • Photostrom setzt bei Grenzfrequenz g ein. g hängt vom Kathodenmaterial ab. ↯ ✔ ↯ ✔

37. S* Iph Iph U0 U U eU0  0 g     Austrittsarbeit Wellenbild Korpuskelbild • Die Gegenspannung hängt charakteristisch von der Frequenz ab. ↯ ✔ ↯ ✔

38. S* Iph Iph U0 U U Beispiel: Austrittsarbeit aus Kathode Hohe Bestrahlunsintensität Elektronendichte Zeitverzögerung (Wellenbild) Wellenbild Korpuskelbild • Zwischen Lichteinfall und Photostrom gibt es keine messbare Verzögerung ↯ ✔

39. Einstein-Gleichung E 0 Vakuum-Potential  Fermi-Kante EF Leitungselektronen Grenzfrequenz: Grenzwellenlänge: Hypothese (Einstein, 1905; Nobelpreis 1912):Licht ist in Photonen der Energie h quantisiert. Diese Quantisierung ist fundamental und hängt nicht mit der Quantisierung harmonischer Oszillatoren zusammen, wie bei der Planckschen Erklärung der Hohlraumstrahlung.

40. S* Iph Iph U0 U U eU0 Oberfläche  eVg nm Au 5,3234 UV Nb 4,3288 UV Cs 2,14579 Visible Ta/Cs 1,3954 Near IR  0 g     Austrittsarbeit Messung von U0 als Funktion von   h,  Anwendung: Cs-aktivierte Photokathoden Quanteneffizienz typisch 25

41. Experiment:Korpuskelnatur des Lichts  PM 2 • Hohe Intensität  kontinuierlicher Photostrom in allen PMs • Kleine Intensität  statistisch verteilte, kurze Stromstöße in einzelnen PMs PM 1 PM 0 Punktquelle (Spalt) PM 1 PM 2  Anwendung:Photomultiplier

42. e e Moderner Detektor für geladene und neutrale Korpuskelstrahlung ( Teilchen): LEP-Speicherring, CERN, Genf:

43. Ionisationsspur des positiven Myons  Absorptionssignal eines sehr harten Photons, abgestrahlt vom  Absorptionssignal eines weniger harten Photons, abgestrahlt vom  Ionisationsspur des negativen Myons  e e     

44. Blende drehbarer Monochromator/ Detektor-Arm Photon-Detektor  Bragg-Kristall (Monochromator) Blende Blende  Röntgen-Quelle Ungestreute Strahlung  Target-Material (Substanz mit schwach gebundenen Elektronen in Atomhüllen) 1.3.2. Der Comptoneffekt (Experiment: 1922, Nobelpreis: 1927) Messprogramm: Für jeden fest eingestellten Streuwinkel  drehe Monochromator/Detektor-Arm (), bis das Detektor-Signal maximal ist.

45. ebene Welle 0 quasi-freies Elektron in Atom Schwingung des Elektrons  Hertzscher Dipol S  0 Streuwellenlänge: Klassische Theorie: Beobachtung: Neben der klassischen Streuung gibt es eine gestreute Komponente mit S>0. Diese nicht-klassische Komponente wird umso stärker, desto härter (desto kleiner ) die einfallende Strahlung ist.

46.  me e  schwach gebunden: EB≪E  quasi-frei, in Ruhe Physik 3  Compton-Wellenlänge des Elektrons Streuung im quantenmechanischen Photonen-Bild: 

47. AGN Cas A Jet elliptische Galaxie • Bemerkungen: • Stets 0 und S gemischt. Grund: Kollektive Streuung am Atom, MAtom≫me. • Compton-Formel experimentell bestätigt  noch eine unabhängige Messung von h. • nur groß falls 0≲OC X- und -Strahlung • Ein Photon mit 0C hat relativistische Masse me. Beim klassischen zentralen elastischen Stoß würde das Photon stehenbleiben, S. Hier: • Inverser Compton-Effekt: Streuung ultrarelativistischer Elektronen/Positronen (z.B. von Pulsaren, schwarzen Löchern in aktiven galaktischen Kernen) an weichen Photonen (z.B. thermischen Photonen der kosmischen 2,7-Hintergrundstrahlung). Zurückführung auf Compton-Streuung durch Lorentztransformation ins Ruhesystem des e.

48. Turm Detektor 2 H 1 • Bemerkungen: • Rotverschiebung bei Abstrahlung von Sonne: • 2  0  unendliche Rotverschiebung •  Schwarzschildradius RSGMc2 •  Schwarze Löcher • Wellenbild ergibt gleiches Resultat mittles Zeitdilatation im Gravitationsfeld ( Physik III) Quelle R.V. Pound and G.A. Rebka: Phys. Rev. Lett. 4 (1960) 337 1.3.3. Photonen im Gravitationsfeld Relativistische Photonmasse: E im Gravitationsfeld: Bestätigt mittels Mößbauer-Spektroskopie

49. Emission E E1 e E1 Lebensdauer T1 e Resonanzabsorption E E1 E0 E1 Lebensdauer T1 e E0 a 1.3.4. Der Mößbauer-Effekt(Doktorarbeit: 1958, Nobelpreis: 1961) Atomhülle / Atomkerne  quantisierte Energieniveaus (z.B. aus Linienspektren) Beispiel: Fixiertes Atom , 2, E1h  Natürliche Linienbreite (Heisenbergsche Unschärfe)

50. Beispiel:Atomhülle  Emission/Absorption im sichtbaren Bereich (typisch) Na-D-Linie: Beispiel:Atomkern  Emission/Absorption im Röntgen-/Gamma-Bereich 57Fe-Linie: