1 / 68

KORELACJA STATYSTYCZNA STATISTICAL CORRELATION

KORELACJA STATYSTYCZNA STATISTICAL CORRELATION. 10. Rok akademicki 2011/2012. Prof. Dr Franciszek Kubiczek e-mail:fkub@onet.eu. Z DIAGNOZY SPOŁECZNEJ 2007. Dochody gospodarstw domowych są tym mniejsze im mniejsza jest miejscowość

lark
Télécharger la présentation

KORELACJA STATYSTYCZNA STATISTICAL CORRELATION

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. KORELACJA STATYSTYCZNA STATISTICAL CORRELATION 10 Rok akademicki 2011/2012 Prof. Dr Franciszek Kubiczek e-mail:fkub@onet.eu

  2. Z DIAGNOZY SPOŁECZNEJ 2007 • Dochody gospodarstw domowych są tym mniejsze im mniejsza jest miejscowość • Im niższy poziom wykształcenia głowy gospodarstwa domowego tym większe ryzyko ubóstwa • Największą aktywnością na rynku pracy cechują się osoby pozostające w pełnych rodzinach z dziećmi • Udział osób znających języki obce zwiększa się w miarę wzrostu wykształcenia i dochodu na osobę; spada wraz ze zmniejszeniem się klasy miejscowości, • Z ochrony ubezpieczeniowej częściej korzystają gospodarstwa domowe, których „głowami” są mężczyźni, zwłaszcza wykształceni • Długotrwałe bezrobocie silniej dotyka kobiety niż mężczyzn

  3. Z DIAGNOZY SPOŁECZNEJ 2007 • Doświadczenie zetknięcia się z bezrobociem i łączny czas pozostawania bez pracy w ciągu ostatnich 5 lat są wyraźnie zależne od poziomu wykształcenia oraz motywacji do znalezienia pracy • Osoby z wyższym i policealnym wykształceniem deklarują dochody ponad 2 razy wyższe niż osoby z wykształceniem podstawowym (w 2003 r. 2,7 razy) • Posiadaniu (zakupowi) komputera i dostępu do internetu bardzo mocno sprzyja obecność dzieci w gospodarstwie domowym • Deklarowanie umiejętności korzystania z komputera bardzo silnie zależy od wieku. Są też wyższe u mężczyzn i osób lepiej wykształconych. • Wzrost dochodów osobistych miedzy 2005 i 2007 rokiem był istotnie wyższy wśród użytkowników komputerów niż wśród osób, które z komputerów nie korzystały.

  4. Z DIAGNOZY SPOŁECZNEJ 2007 • Najważniejszym czynnikiem wyjaśniającym ogólny dobrostan psychiczny (i jego poprawę) Polaków okazuje się wiek życia (im ktoś starszy tym w gorszej jest kondycji psychicznej). • Kolejne czynniki: małżeństwo, dochód, liczba przyjaciół, praktyki religijne. • Migracje zarobkowe: Niemcy wybierane są przede wszystkim przez osoby z wykształceniem zasadniczym lub niższym, kraje anglosaskie – osoby z wykształceniem wyższym. • Wyjazd do pracy zagranicę dwukrotnie częściej deklarują bezrobotni niż zatrudnieni. • Wśród 10 największych miast najwyższa jakość życia jest w Gdańsku i Warszawie, najniższa w Kielcach i Lublinie.

  5. PRZYKŁADY • PKB na 1 mieszkańca a długość życia Hipoteza:im wyższy PKB na mieszkańca (zmienna x - przyczyna) tym dłuższe trwanie życia (zmienna y - skutek) • Ceny a popyt: Hipoteza:cena wzrastają (x) – popyt maleje (y) • Dochody a popyt: Hipoteza:dochody rosną (x) – popyt rośnie (y)

  6. ISTOTA ANALIZY KORELACJI • Analiza korelacji (the analysis of the correlation) ma sens głównie wtedy, gdy między zmiennymi istnieje (bądź przypuszczamy, że istnieje) związek przyczynowo-skutkowy; • Analiza jakościowa(the qualitative analysis):stwierdzenie – na podstawie analizy merytorycznej logicznego związku przyczynowo-skutkowego; korelacja rzeczywista i pozorna (iluzoryczna – ilusoric correlation); analiza jakościowa powinna wyprzedzać analizę ilościową. • Analiza ilościowa(the quantitative analysis)określenie siły i kierunku związku; współczynniki korelacji • Związki dwustronne(two-sided relationships)- oddziaływanie wzajemnei związki jednostronne(one-sided relationships)-przyczyna-skutek.

  7. KORELACJA (ZWIĄZEK STOCHASTYCZNY) • Mimo niewątpliwego wpływu jednej zmiennej x (niezależnej) na drugą zmienną y (zależną), jednej i tej samej wartości x, mogą odpowiadać różne (wiele) wartości zmiennej y • Na zmienną y oddziałuje nie tylko zmienna x, ale także inne zmienne (czynniki), często o różnokierunkowych wpływach • Korelacja między dwiema zmiennymi x i y jest miarą siły (stopnia) związku miedzy tymi zmiennymi. • Siłę tego związku mierzy współczynnik korelacji „STOCHASTIC” - przewidywanie możliwości

  8. ANALIZA ZWIĄZKÓW KORELACYJNYCH • Rodzaj cech: ilościowe jakościowe • Rodzaj związku: liniowy (linear) nieliniowy (non-linear) – krzywoliniowy (curvilinear) • Analizę zwykle rozpoczyna się od opracowania tablicy korelacyjnej (correlation table) oraz sporządzenia korelacyjnego wykresu (correlation diagram) rozrzutu.

  9. KORELACJA LINIOWA–LINEAR CORRELATION Podstawowe pojęcia: Y - zmienna zależna (dependent variable) - objaśniana • X – zmienna niezależna (determining variable) - objaśniająca • ZALEŻNOŚĆ FUNKCYJNA (functional dependence) y = f(x) – rzadko występuje w sferze społecznej i gospodarczej i częściowo w naukach przyrodniczych; jej istota polega na tym, że zmiana wartości zmiennej niezależnej (x) powoduje ściśle określoną (jednoznaczną) zmianę wartości zmiennej zależnej (y) • ZALEŻNOŚĆ KORELACYJNA (correlation dependence) - stochastyczna, statystyczna y = f(x,e),gdzie e = czynnik losowy - często występuje w sferze społeczno-gospodarczej

  10. RODZAJE KORELACJI • Korelacja całkowita (total correlation) - brutto, tj. współzależność tylko między dwiema zmiennymi, bez wnikania w ich powiązania z innymi cechami • Korelacja cząstkowa (partial correlation) - częściowa, tj. współzależność między dwiema zmiennymi z wyłączeniem wpływu cech pozostałych poprzez ustalenie tychże jako stałych • Korelacja wieloraka (multiple correlation) - wielokrotna, tj współzależność wybranej cechy ze wszystkimi pozostałymi łącznie.

  11. WYKRESY KORELACYJNE KORELACJA LINIOWA DODATNIA KORELACJA LINIOWA UJEMNA KORELACJA KRZYWOLINIOWA BRAK KORELACJI

  12. MIERNIKI SIŁY KORELACJI DWÓCH ZMIENNYCH • Współczynnik korelacji liniowej Pearsona (linear coefficient of correlation) • Stosunek korelacji Pearsona (the relation of the correlation) • Współczynnik zbieżności Czuprowa (the coefficient of the convergence) • Współczynnik korelacji rang Spearmana (the coefficient of rank correlation) • Wybór mierników zależy od:a) rodzaju cech między którymi badana jest zależność (mierzalne, niemierzalne lub mieszane) • b) liczby obserwacji (tablice korelacji lub szeregi korelacji) • c) kształt zależności prostoliniowy (liniowy) lub krzywoliniowy (nieliniowy) • W praktyce najczęściej stosuje się współczynnik korelacji liniowej Pearsona, jako miernik siły związku liniowego między dwiema cechami mierzalnymi. • Związkiem prostoliniowym (liniowym) nazywamy taką zależność, w której jednostkowemu przyrostowi jednej zmiennej (przyczyna) towarzyszy, średnio jednakowy przyrost drugiej zmiennej (skutek).

  13. WSPÓŁCZYNNIK KORELACJI LINIOWEJ PEARSONA The Pearson linear coefficient of correlation • Wzór: Licznik:kowariancja, tj. średnia arytmetyczna iloczynu odchyleń poszczególnych zmiennych od ich średnich arytmetycznych; przyjmuje wartość dodatnią, gdy obydwie zmienne poruszają się w tych samych kierunkach; ujemną, gdy w przeciwnych. Przyjmuje wartość 0, gdy zmienne nie są liniowo zależne. Mianownik:iloczyn odchyleń standardowych obu zmiennych;

  14. WSPÓŁCZYNNIK KORELACJI LINIOWEJ PEARSONA • Współczynnik przyjmuje wartości od –1 do +1; im większa jego wartość bezwzględna tym większa siła korelacji • Wartość współczynnika = 0 nie zawsze oznacza brak zależności a jedynie brak zależności liniowej • Wartość współczynnika = 1 oznacza ścisły dodatni związek, gdy -1, ujemny związek • Współczynnik jest symetryczny, tzn. wskazuje na korelację wzajemną, x względem y i y względem x

  15. INTERPRETACJA WSPÓŁCZYNNIKA KORELACJI r = 0brak korelacji liniowej między zmiennymi r = 1pełna korelacja, związek funkcyjny (-1, +1) r < 0ujemna korelacja, tzn. że wzrost wartości jednej zmiennej powoduje spadek wartości drugiej r > 0dodatnia korelacja, tzn. że wzrost wartości jednej zmiennej powoduje także wzrost wartości drugiej (i odwrotnie), r < 0,2bardzo słaba korelacja, zwykle jej brak 0,2 < r < 0,4słaba korelacja, lecz wyraźna 0,4 < r < 0,7umiarkowana, ale istotna 0,7 < r < 0,9silna korelacja r > 0,9bardzo silna korelacja liniowa

  16. UWAGA • Współczynnik korelacji jest określonym wskaźnikiem, a nie pomiarem na skali liniowej o jednakowych jednostkach • Dlatego nie można mówić, że np. zależność r = 0,9 jest dwukrotnie silniejsza niż gdy r = 0,45 • Związek korelacji nie jest jednoznaczny z występowaniem związku przyczynowo-skutkowego i badanie związku korelacji wymaga dobrego rozeznania merytorycznej strony badanych zjawisk (np. rynkowych)

  17. UWAGI • Nawet silna zależność statystyczna pomiędzy zjawiskami stwierdzona współczynnikiem korelacji, nie musi świadczyć o występowaniu między nimi zależności przyczynowo-skutkowej (the dependence causal-consecutive); • Miedzy zjawiskami mogą bowiem występować różnego rodzaju relacje: • Zmienność jednej zmiennej może być spowodowana bezpośrednio przez jedną lub kilka zmiennych • Zmienne mogą być powiązane obustronnie, co oznacza, że każda ze zmiennych oddziałuje na każdą • Na zmienne może oddziaływać wspólna przyczyna zewnętrzna • Zmienne mogą być powiązane ze sobą za pośrednictwem jednej lub kilku innych zmiennych pośrednich (tworząc łańcuch przyczynowy); • Współzmienność może być także skutkiem przypadku • Związki przyczynowo-skutkowe można stwierdzić tylko na podstawie merytorycznej znajomości badanej problematyki

  18. WSPÓŁCZYNNIK DETERMINACJI (OKREŚLONOŚCI) (DETERMINATION COEFFICIENT) • Współczynnik determinacji=kwadrat współczynnika korelacji; informuje on jaka część zmienności zmiennej zależnej (y) jest wyjaśniona zmiennością zmiennej niezależnej (x); jest opisową miarą siły związku między zmiennymi.Jeśli zatem współczynnik korelacji wynosi np. 0,7 to 0,72=0,49 i to oznacza, że w 49% zmianę wartości zmiennej zależnej wyjaśnia zmiana zmiennej niezależnej • Dopełnienie współczynnika determinacji do jedności – towspółczynnik indeterminacji, określa tę część zmienności zmiennej zależnej (y), która nie została wyjaśniona zmiennością zmiennej niezależnej (x), a więc wynika z innych przyczyn niż określa to zmienna x;Jeśli zatem (przykład jak wyżej) współczynnik determinacji wynosi 0,49, to współczynnik indeterminacji wynosi 0,51 i oznacza, że w 51% odgrywają inne czynniki niż przyjęta zmienna niezależna

  19. TABLICA (MACIERZ) KORELACYJNA DWIE ZMIENNE ROZKŁAD BRZEGOWY ZMIENNEJ X Xi –zmienna niezależna yj - zmienna zależna n j – liczba jednostek mających wariantXi ni - liczba jednostek mających wariantyj j ROZKŁAD BRZEGOWY ZMIENNEJ y i UWAGA: zamiast liczebności absolutnejn ij-można stosować częstości:n ij: n

  20. PRZYKŁAD – DIAGRAM KORELACJI ILOŚCI 1400 1200 1000 800 600 400 200 0 0 200 400 600 800 1 000 1 200 1 400 1 600 CENY Ilości sprzedane

  21. PRZYKŁAD – TABLICA KORELACYJNA Uporządkowana wg rosnącej zmiennej niezależnejxi,tj. wg rosnącej ceny

  22. OBLICZENIA WSPÓŁCZYNNIKÓW Współczynnik korelacji r= Współczynnik determinacjir2= (-0,93)2 = 0,87 Wnioski:- korelacja jest silna gdyż współczynnik przekracza 0,9; - jest ujemna gdyż wzrost ceny powoduje spadek popytu - poziom cen w 87% objaśnia zmienność popytu, w 13% zmiana popytu wynika z innych przyczyn KOWARIANCJA ODCHYLENIE STANDARDOWE

  23. PRZYKŁAD – TABLICA KORELACYJNA Uporządkowanie wg rosnącej zmiennej niezależnej xi (PKB na 1 mieszkańca) $ lat

  24. PRZYKŁAD – DIAGRAM KORELACJI Przeciętne dalsze trwanie życia (w latach ) w relacji do PKB na 1 mieszkańca (w USD) LATA 90 80 70 60 50 40 30 20 10 PKB 0 0 2 000 4 000 6 000 8 000 34 000 26 000 28 000 30 000 32 000 24 000 10 000 12 000 14 000 16 000 18 000 22 000 20 000

  25. OBLICZENIA WSPÓŁCZYNNIKÓW Współczynnik korelacji r = Współczynnik determinacjir2 = (0,68)2 = 0,47 Wnioski:- korelacja jest umiarkowana , ale istotna gdyż znajduje się w przedziale od 0,4 do 0,7 - jest dodatnia, tzn. wzrost wartości cechy x (PKB na 1 mieszkańca) „powoduje” wzrost cechy y (przeciętne trwanie życia) - poziom PKB na 1 mieszk. w 47% wyjaśnia wzrost przeciętnego trwania życia, a 53% tego wzrostu zależy od pozostałych czynników KOWARIANCJA ODCHYLENIE STANDARDOWE

  26. ŚWIAT: Korelacja miedzy długością życia i PKB na mieszkańca 2005

  27. ŚWIAT: Korelacja miedzy długością życia i poziomem skolaryzacji 2005

  28. WSPÓŁCZYNNIKI KORELACJI W DIAGNOZIE SPOŁECZNEJ 2007W PRZEKROJU MIĘDZYNARODOWYM • Korelacja między zaufaniem interpersonalnym a zadowoleniem z życia: 0,76 • Korelacja między przeciętną organizacji, do których należą a zadowoleniem z życia: 0,74 • Korelacja między zadowoleniem z demokracji a poczuciem szczęścia: 0,62 • Korelacja między zaufaniem interpersonalnym a PKB (wg PPS) na mieszkańca: 0,69 • Korelacja między przeciętną liczbą organizacji, do których należą a PKB (wg PPS) na mieszkańca: 0,67 • Korelacja między zadowoleniem z demokracji a PKB na mieszkańca: 0,53

  29. WSPÓŁCZYNNIKI KORELACJI ZWIĄZANE Z KAPITAŁEM SPOŁECZNYM • Wg M. Herbsta: „Kapitał ludzki i kapitał społeczny a rozwój regionalny” • Współczynnik korelacji liniowej między kapitałem ludzkim a PKB na mieszkańca wynosi 0,8.Poziom kapitału ludzkiego mierzony jest tu odsetkiem ludności z wykształceniem wyższym lub średnim oraz przeciętną długością edukacji szkolnej.

  30. ŚWIAT: Korelacja miedzy PKB na mieszkańca i poziomem skolaryzacji

  31. ŚWIAT: Korelacja między dostępem do edukacji a PKB na mieszkańca PKB na mieszkańca (PPP 2000) % dzieci uczęszczających do szkół ponadpodstawowych (2000)

  32. ŚWIAT: Korelacja między dostępem do edukacji a PKB na mieszkańca PKB na mieszkańca (PPP 2000) Przeciętna liczba lat spędzonych w szkole (2000)

  33. ŚWIAT: Korelacja między dostępem do edukacji a PKB na mieszkańca Wzrost wynagrodzenia w związku z przedłużeniem edukacji o rok Przeciętna liczba lat spędzonych w szkole (2000)

  34. POLSKA: Korelacja między odsetkiem ludności z wyższym lub średnim wykształceniem a PKB na mieszkańca w podregionach PKB na mieszkańca w 2003 r. % ludności z wykształceniem wyższym lub średnim w 2002 r.

  35. POLSKA: Korelacja między odsetkiem ludności z wyższym lub średnim wykształceniem a PKB na mieszkańca w podregionach Przyrost PKB na mieszkańca w % w latach 1985 - 2003 % ludności z wyższym wykształceniem w 1988 r.

  36. POLSKA: Korelacja między przeciętną długością edukacji w latach a PKB na mieszkańca w podregionach Przyrost PKB na mieszkańca w % w latach 1985 - 2003 Przeciętna długość edukacji (w latach) stan na 1988 r.

  37. POLSKA: Korelacja między przeciętną długością edukacjiw latach a PKB na mieszkańca w podregionach PKB na mieszkańca w 2003 r. Przeciętna długość edukacji (w latach) stan na2002 r.

  38. 50 High-income 40 Upper-middle 30 Lower-middle 20 Low income 10 0 0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 Wykres korelacyjny: Przedsiębiorczość i PKN na mieszkańca low income<765$; upper middle 3.036-9.385$; lower middle 766-3.035$; high income>9.386 # of SMEs vs. Income # of SMEs per 1,000 people GNI per capita

  39. Time to start a business vs. # of SMEs 90 80 70 60 50 # of SMEs per 1.000 people 40 30 20 10 0 0 20 40 60 80 100 120 140 160 Time to start a business (days) ŚWIAT: Wykres korelacyjny

  40. ŚWIAT: Wykres korelacyjny Cost to start a business vs. # of SMEs 90 80 70 60 # of SMEs per 1.000 people 50 40 30 20 10 0 0 10 20 30 40 50 60 70 Cost to start a business (% of income per capita)

  41. Private Credit vs. # of SMEs 90 80 70 60 50 40 # of SMEs per 1.000 people 30 20 10 0 0 50 100 150 200 Private credit as % of GDP ŚWIAT: Wykres korelacyjny

  42. Investment Climate vs. # of SMEs 80 70 60 50 # of SMEs per 1.000 people 40 30 20 10 0 15 25 35 45 55 65 75 85 Investment Climate Index ŚWIAT: Wykres korelacyjny

  43. KORELACJA CZĄSTKOWA – (PARTIAL CORRELATION) • Jeśli na pewną zmienną zależną (y) oddziałuje więcej niż jedna zmienna niezależna (x), a interesuje nas siła związku korelacyjnego tylko między zmienną zależną i jedną zmienną niezależną, przy wyłączeniu wpływu innych zmiennych niezależnych – wtedy mamy do czynienia z korelacją cząstkową • Wzór: KORELACJA MIĘDZY CECHAMI 1 i 2 PRZY WYELIMINOWANIU 3

  44. KORELACJA CZĄSTKOWA – (PARTIAL CORRELATION) • Miara ścisłości: współczynnik korelacji cząstkowej, informuje zarówno o kierunku, jak i sile zależności między badanymi zmiennymi • Współczynnik korelacji cząstkowej może być większy lub mniejszy od współczynnika korelacji prostej dla pary badanych cech • Załóżmy, że mamy 3 zmienne, których wzajemny związek chcemy zbadać. Naszym zadaniem jest znalezienie współczynnika korelacji mierzącego zależność między 2 cechami, przy wyłączeniu oddziaływania 3-ciej

  45. KORELACJA CZĄSTKOWA – PRZYKŁAD • Zmienne: • Liczba sklepów • Łączna powierzchnia sklepów • Liczba gospodarstw domowych • Współczynnik korelacji między tymi zmiennymi wynosi: • r12 = -0,006 r23 = 0,018 r13 = 0,914 • Obliczamy współczynniki korelacji cząstkowej: • r12.3 = - 0,054 korelacja między zmiennymi 1 i 2 przy wyłączeniu zmiennej 3 • r23.1 = 0,057 korelacja między zmiennymi 2 i 3 przy wyłączeniu zmiennej 1 • r13.2 = 0,915 korelacja między zmiennymi 1 i 3 przy wyłączeniu zmiennej 2 • Współczynniki korelacji cząstkowej informują zarówno o kierunku, jak i o sile zależności między badanymi zmiennymi.

  46. Jeżeli np.r13 = 0,914ir13.2 = 0,915 Korelacja między liczbą sklepów Korelacja między liczbą sklepów a liczbą a liczbą gospodarstw domowych gospodarstw domowych po wyeliminowaniu wpływu łącznej powierzchni sklepów Różnią się nieznacznie, tzn. że czynnik wyeliminowany (łączna powierzchnia sklepów) nie odgrywał istotnej roli w opisie zmienności liczby sklepów.

  47. KORELACJA WIELORAKA – MULTIPLE CORRELATION • Jeżeli chcemy zbadać ścisłość związku korelacyjnego pomiędzy wartością jednej cechy (zmienną zależną) a kompleksem innych cech (zmiennych niezależnych), właściwą miarą jest współczynnik korelacji wielorakiej. W praktyce często się zdarza, że zmienna zależna, zależy od więcej niż od jednej zmiennej niezależnej. • Wzór: gdzie: r ij - współczynnik korelacji między zmienną i oraz j; wzór dla trzech zmiennych • Kwadrat współczynnika korelacji wielorakiej, nazywamy współczynnikiem determinacji

  48. KORELACJA WIELORAKA • Jeżeli przynajmniej jeden ze współczynników korelacji cząstkowej ma wartość 1, to współczynnik korelacji wielorakiej także wynosi 1, • Jeżeli wszystkie współczynniki korelacji cząstkowej są równe 0, to współczynnik korelacji wielorakiej także wynosi 0, • Im współczynnik korelacji wielorakiej jest bliższy 1, tym związek między daną zmienną zależną a rozpatrywanymi zmiennymi niezależnymi jest silniejszy i odwrotnie im bliższy zeru tym słabszy • Współczynnik korelacji wielorakiej mierzy tylko siłę, a nie wskazuje kierunku korelacji • Problem: jak wiele zmiennych niezależnych włączać do obliczeń (badań) korelacji wielorakiej? Jak najwięcej! Oczywiście mających jakiś związek ze zmienną zależną.

  49. KORELACJA WIELORAKA - PRZYKŁAD • Dla obliczenia współczynnika korelacji wielorakiej nie są potrzebne współczynniki korelacji cząstkowej; wystarczą zwykłe współczynniki korelacji między poszczególnymi parami zmiennych • W przykładzie ze str. 23: liczba sklepów, gospodarstw domowych i łączna powierzchnia tych sklepów: • R 1.23 =0,9142 • tzn. łączna powierzchnia sklepów (3) oraz liczba gospodarstw domowych (2) ściśle wiąże się z liczbą sklepów • Współczynnik determinacji: • R 1.23 =0,91422= 0,8358 83,58% • wskazuje, że w ok. 84% zmiany liczby sklepów mogą być wyjaśniane zmniejszającą się łączną powierzchnią sklepów oraz zróżnicowaniem liczby gospodarstw domowych 2

  50. WSPÓŁCZYNNIK KORELACJI RANG Spearmana (RANK CORRELATION) • Rangi charakteryzują jednostki pod kątem ich relatywnych pozycji w zbiorze analizowanych obiektów. Stosowane są do porządkowania obiektów wielocechowych. • Przy używaniu metody rang można w zależności od celu badania, porządkować obiekty tylko na podstawie jednej cechy lub dowolnego podzbioru cech • Jeśli porządkuje się obiekty ze względu na kilka cech jednocześnie, należy ustalić rangi dla każdej cechy, a następnie obliczyć średnią rang obiektów

More Related