Le equazioni nella storia

1. Le equazioni nella storia

2. Ma che cos’è un’equazione? Un’equazione è una uguaglianza tra due espressioni contenenti una o più incognite. Le equazioni venivano usate nell’antichità per risolvere problemi legati alla realtà. Ma il calcolo con i simboli e le lettere è stato inventato solo pochi secoli fa. Come potevano gli Egizi e i Greci risolvere equazioni?

3. Le equazioni presso i Greci Dato il rettangolo ABCD di dimensioni a e b, si prolunga AB di un segmento BE pari a q. Costruito il rettangolo BEFC, si individua il punto G come intersezione dei prolungamenti di FB e di DA. Completando il rettangolo FDGH si determina il rettangolo LHEB avente un lato pari a q e l’altro che risolve l’equazione, dato che, come è evidente dalla figura, i rettangoli ABCD e LHEB sono equivalenti (si ottengono sottraendo dai triangoli uguali GDF e GHF le coppie di triangoli uguali BCF e BEF, GAB e GLB). Per i Greci, l’algebra era strettamente legata alla geometria. Per esempio: qx=ab era espressa come “Dato il rettangolo di dimensioni a e b, determinare un rettangolo ad esso equivalente avente un lato pari a q”.

4. Le equazioni presso gli Egizi Gli Egizi usavano un metodo molto particolare chiamato “falsa posizione”. Nell’equazione: 3x + x/5 =11, si prende x=5 per rendere il secondo termine più semplice, poi si calcola il risultato con il valore scelto e infine la soluzione con una proporzione: 15+5/5=16 x:5=11:16 x=(11*5)/16=55/16 che è il risultato finale.

5. Alcuni problemi … “Ecco la tomba che racchiude Diofanto; una meraviglia da contemplare! Con artificio aritmetico la pietra insegna la sua età: Dio gli concesse di rimanere fanciullo un sesto della sua vita, dopo un altro dodicesimo le sue guance germogliarono; dopo un settimo egli accese la fiaccola del matrimonio; e dopo cinque anni gli nacque un figlio. Ma questi, giovane e disgraziato e pur tanto amato, aveva appena raggiunto la metà dell’età cui doveva arrivare suo padre, quando morì. Quattro anni ancora mitigando il proprio dolore con l’occuparsi della scienza dei numeri, attese Diofanto prima di raggiungere il termine della sua esistenza.” Quanti anni ha vissuto Diofanto?

6. Due formiche si trovano alla distanza di 100 passi l’una dall’altra. Si mettono in moto, camminando verso un punto comune. Ogni giorno, la prima avanza di 1/2 di passo e poi indietreggia di 1/6 di passo; la seconda dapprima avanza di 1/5 di passo, poi indietreggia di 1/6 di passo. Dopo quanti giorni le due formiche si incontreranno? Una volpe in fuga è 50 passi davanti a un cane che la insegue. Il cane compie un tratto di 3 passi mentre la volpe ne compie uno di 2 passi. Dopo quanti passi la volpe sarà raggiunta dal cane?

7. Di un albero, 1/4 e 1/3 sono sotto terra. La parte sotterranea misura 21 palmi. Qual è l’altezza dell’albero? Dice un giovane: “Oggi, se al triplo della mia età aggiungo 1/5 e 1/4 di quanto ho già vissuto, mi manca solo un anno per avere 100 anni”. Qual è l’età del giovane? (arrotondando al numero più vicino)