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LE EQUAZIONI. Definizioni Principi di equivalenza Equazioni di 1° grado. Problema sulla tomba di Diofanto.
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LE EQUAZIONI Definizioni Principi di equivalenza Equazioni di 1° grado
Problema sulla tomba di Diofanto Hunc Diophantus habet tumulum qui tempora vitae illius, mira denotat arte tibi. Egit sex tantem juvenie; lanugine malas vestire hinc coepit parte duodecima. Septante uxori post haec sociatur, et anno formosus quinto nascitur inde puer. Semissem aetatis postquam attigit ille paternae, infelix subita morte peremptus obit. Quator aestater genitor lugere superstes cogitur, hinc annos illius assequere. Traduzione: Questa tomba rinchiude Diofanto e, meraviglia! dice matematicamente quanto ha vissuto. Un sesto della sua vita fu l’infanzia, aggiunse un dodicesimo perché le sue guance si coprissero della peluria dell’adolescenza. Dopo un altro settimo della sua vita prese moglie, e dopo cinque anni di matrimonio ebbe un figlio. L’infelice morì improvvisamente quando raggiunse la metà dell’età paterna. Il genitore sopravvissuto fu in lutto per quattro anni e raggiunse infine il termine della propria vita.
Problemi come quello che abbiamo appena letto divennero piut- tosto comuni fra gli antichi filosofi greci, che furono i primi a tentare di risolverli mediante procedimenti aritmetici. Tali problemi non furono sconosciuti ad altri popoli dell’antichità come gli egiziani, e, più tardi, agli arabi che furono i creatori dell’algebra e del calcolo letterale. UN PO’ DI STORIA I problemi di questo tipo si risolvono mediante equazioni
DEFINIZIONI • Un’uguaglianza tra due espressioni algebriche, contenenti una o più lettere, si dice equazione. • Si chiamano soluzioni di un’equazione quei numeri che, sostituiti al posto dell’incognita, trasformano l’equazione in un’uguaglianza vera, o identità.
Equazioni determinate, indeterminate, impossibili, identità • Le equazioni determinate hanno un insieme finito di soluzioni; • Le equazioni indeterminate hanno un insieme infinito di soluzioni; • Le equazioni impossibili hanno un insieme vuoto di soluzioni; • Le identità hanno l’insieme delle soluzioni uguale all’insieme R dei numerireali.
Due equazioni si dicono equivalenti se hanno lo stesso insieme di soluzioni. La relazione di equivalenza tra equazioni gode delle usuali proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva, come è facile verificare. Trasformare un’equazione significa passare da essa ad un’altra equivalente. Le equazioni 2x=6 e 3x=9 sono equivalenti, perché sono entrambe soddisfatte dal valore x=3. EQUAZIONI EQUIVALENTI
Principi Di Equivalenza • 1) Sommando o sottraendo a entrambi i membri di un’equazione uno stesso numero o una stessa espressione algebrica intera, si ottiene un’equazione equivalente all’equazione data; • 2) moltiplicando o dividendo entrambi i membri di un’equazione per uno stesso numero diverso da zero, si ottiene un’equazione equivalente all’equazione data.
Conseguenze dei Principi di Equivalenza1 • Se entrambi i membri di un’equazione sono polinomi e uno stesso monomio compare in entrambi i membri, questo può essere soppresso. • 3x-y+2=2x-y+5 sopprimendo –y diventa: 3x+2=2x+5.
Conseguenze dei Principi di Equivalenza2 • Se entrambi i membri di un’equazione sono polinomi, è possibile trasportare un monomio da un membro all’altro, purché gli si cambi il segno. • 5x+3-x2=3x-2 diventa: 5x-x2-3x=-3-2, dopo aver trasportato 3x al 1° membro e 3 al 2° membro cambiando i segni.
Conseguenze dei Principi di Equivalenza3 • Se entrambi i membri di un’equazione sono polinomi i cui coefficienti sono numeri interi tutti multipli di uno stesso numero k diverso da zero, è possibile semplificare l’equazione dividendo tutti i coefficienti per k. • 6x2-3x+9=0 diventa: 2x2-x+3=0, dopo aver diviso tutti i coefficienti per 3.
Conseguenze dei Principi di Equivalenza4 • Se in un’equazione intera compaiono frazioni o termini con coefficienti frazionari, è possibile, dopo aver espresso entrambi i membri come frazioni aventi lo stesso denominatore, sopprimere i denominatori.
Dopo, il minimo comune denominatore diventa: Da cui si ha:
Conseguenze dei Principi di Equivalenza5 • Si possono cambiare di segno entrambi i membri di un’equazione. • -2x2+x-5=3x+5x2-4 diventa: 2x2-x+5=-3x-5x2+4, dopo aver cambiato i segni a entrambe le equazioni.
Conseguenze dei Principi di Equivalenza6 • Si possono scambiare tra di loro i due membri di un’equazione. • x2+2x+8=3x-5 diventa: 3x-5=x2+2x+8, dopo aver scambiato tra di loro i due membri dell’equazione.
ESEMPIO X(X-2)+3(X-1)=2X-5+X2 X2-2X+3X-3=2X-5+X2 (si elimina x2) -2X+3X-2X=3-5 -X=-2 X=2.
RIEPILOGANDO • Data un’equazione di 1° grado, si eseguono tutte le operazioni possibili, come visto in precedenza, utilizzando anche i principi di equivalenza. • Una volta ottenuta l’equazione nella forma ax=b, per ottenere la soluzione si devono dividere il 1° e il 2° membro per a. • La soluzione è:
