LE EQUAZIONI DI 2° GRADO

1. LE EQUAZIONI DI 2° GRADO RISOLTE DAGLI ARABI E DA LEONARDO PISANO A cura della 2° G del Liceo Linguistico “G. da San Giovanni”

2. Gli Arabi fino al 622 d.c. erano solo popoli nomadi dell’Arabia. Essi vennero galvanizzati e uniti da Maometto e in meno di un secolo avevano conquistato territori che si estendevano dall’India alla Spagna, comprendendo il Nordafrica e l’Italia meridionale; nel 755 l’impero arabo si divise in due regni:quello d’oriente con capitale Baghdad e quello d’Occidente con capitale Còrdoba in Spagna.

3. Una volta completate le conquiste si dedicarono a costruire una civiltà e una cultura e rapidamente svilupparono grande interesse per le arti e le scienze. A Baghdad fu fondata un’accademia, la “Casa della Saggezza”, una biblioteca e un osservatorio astronomico, essa insomma divenne la nuova Alessandria.

4. “Ricercate la scienza,anche se per questo doveste andare fino in Cina.” Maometto

5. Le risorse culturali che gli Arabi avevano a disposizione erano considerevoli: quando Giustiniano chiuse l’Accademia Platonica (529) molti studiosi greci si trasferirono in Persia e poi tutta questa cultura greca passò nel mondo arabo, gli arabi avevano contatti anche con i Greci dell’impero bizantino, i califfi (successori di Maometto) comprarono manoscritti greci dai Bizantini; gli arabi inoltre conquistarono l’Egitto che era il centro della culturagreca alessandrina e incorporarono quella che era sopravvissuta. Caddero sotto gli arabi le scuole di Antiochia, Emesa, Damasco, la scuola cristiana nestoriana di Edessa depositaria delle opere greche in medi Oriente dopo la fine di Alessandria nel 640, i monasteri cristiani del Medio Oriente che possedevano tanta letteratura greca finirono anch’essi sotto gli arabi e poi ancora tutta la cultura Indu. Quindi gli studiosi erano greci, cristiani, ebrei: araba era essenzialmente la lingua. Merito degli arabi fu quello di trattare queste culture con generosità e rispetto, dopo il periodo della conquista che invece fu caratterizzato da fanatismo religioso, i popoli sottomessi e le altre religioni furono libere di svolgere la loro attività.

6. All’algebra dettero il nome: la parola “algebra” è la prima parola di una delle opere dell’astronomo Mohammed ibn Musa al-Khuwarizmi scritta nell’830 dal titolo “Al-jabr w’al muqabala”. Al-jabr = ristabilire l’equilibrio, es: x² -7 = 3 se elimino il -7 dal 1° membro al 2° membro aggiungo +7 per “ristabilire l’equilibrio.” Al-muqabala = semplificazione , es: x²+2x+3 = 2x+1 , si può sottrarre cioè semplificare il 2x da ambo i membri. Al-hatt=riduzione, Si possono dividere tutti i termini dell’ equazione per a, per avere il coefficiente della x²uguale a 1. Dal nome stesso dell’autore latinizzato in “ algorismus” deriva il termine algoritmo. Curiosità La parola al-jabr significa ristabilire l’equilibrio anche al di fuori del linguaggio matematico, algebrista è anche il “conciaossa” e lo troviamo in Spagna nelle insegne dei negozi dei barbieri che allora ricoprivano anche il ruolo di medici e farmacisti. Nel 16° sec. Il termine passa in Italia proprio col significato di aggiustare le ossa.

7. L’opera di Khuwarizmi si basa essenzialmente su quella di Brahmagupta, con influenze babilonesi e greche. Egli tratta problemi di 2° che possono essere scritti in equazioni di 2°, anche se non usa il simbolismo perché non esiste, l’algebra araba è totalmente retorica; nella traduzione latina l’incognita si chiama “cosa”( o “radice” di una pianta da cui anche il nostro modo di chiamare le soluzioni); la x² in arabo si dice “tesoro”, in latino “censo”; il numero senza incognita è detto “ dirham”,forse da dracma, perché i problemi trattati da Khuwarizmi sono legati alla vita quotidiana (scambi, eredità da dividere ecc.) ► Immagine ritraente Khuwarizmi

8. Le equazioni di 2° vengono suddivise da Khuwarizmi in sei tipi diversi così da avere sempre coefficienti positivi, anche il valore dell’incognita è considerato sempre positivo, eppure Khuwarizmi sa che ci possono essere anche radici negative.

9. 3 casi semplici 1) ax² = bx censi uguale a cose 2) ax²= c censi uguale a numero 3) bx=c cose uguale a numero (questa è un’equazione di 1° grado)

10. Il caso 5 Khuwarizmi espone il problema: “Ho diviso dieci in due parti, poi ho moltiplicato ogni parte per se stessa e ho preso la somma delle due, che fa 58 dirham.”

15. "Se tu affronti un problema che si riconduce a questo tipo di equazione, verifica l'esattezza della soluzione con l'addizione, come si è detto. Se non è possibile risolverlo con l'addizione, otterrai certamente il risultato con la sottrazione. Questo è il solo tipo in cui ci si serve dell'addizione e della sottrazione, cosa che non trovi nei tipi precedenti. Devi inoltre sapere che se in questo caso tu dividi a metà la radice e la moltiplichi per se stessa e il prodotto risulta minore del numero che è aggiunto al quadrato, allora il problema è impossibile. Se invece risulta uguale al numero, ne segue che la radice del quadrato sarà uguale alla metà delle radici che sono col quadrato, senza che si tolga o si aggiunga qualcosa.“ Al-Khuwarizmi

17. Il caso 4 Caso 4) Un quadrato e dieci delle sue radici sono uguali a nove e trenta unità: cioè tu sommi dieci radici a un quadrato e la somma è uguale a nove e trenta. Si ottiene l’equazione x² + 10x = 39 ( se coefficiente di x² è diverso da 1 si divide tutto per a ) che si risolve così : prendere la metà della radici 10:2=5 -b/2 moltiplicarla per se stessa 5x5=25 ( b/2 )² aggiungere 39 25+39=64 Δ/4 = (b/2)² - c fare la radice quadrata √64=8 √(Δ/4) (non si considera la radice negativa -8) sottrarre da essa la metà delle radici 8 – 5 = 3 x₁= -b/2+√(Δ/4) Anche qui, come succederà nel caso 5) e nel caso 6), viene usata la nostra formula ridotta.

18. . Khuwarizmi giustifica il procedimento precedentemente descritto dando una interpretazione geometrica: l’uguaglianza dei due membri dell’equazione diventa una uguaglianza di aree. Interpretazione geometrica del caso 4 x² + 10x = 39 Disegniamo un quadrato di lato x, costruiamo su ogni suo lato un rettangolo di lato x e 10/4. L’area della figura così ottenuta è : x² + 4 (10/4) x = x² + 10x = 39 . ► I° modo x 10/4 10/4 x x x x x x 10/4 10/4 x

19. 10/4 x 10/4 Completiamo il quadrato con i 4 quadratini d’angolo, di lato 10/4, la sua area sarà : 39 + 4 ( 10/4 )² = 39 + 25 = 64 Ma questo quadrato ha il lato uguale a ( 10/4 + x + 10/4 ) = ( x+5 ) quindi : ( x+5 )² = 64 → ( x+5 ) = 8 → x = 8 – 5 = 3 Non si considera ( x+5 ) = -8, perché non ha una giustificazione geometrica.

20. ► II° modo x x 5 5 x 5 La figura colorata ha area: x² + 2 ( 5x ) = x² + 10x = 39 completiamo il quadrato con il quadratino di lato 5, di area 25, il quadrato di lato (x+5) ha area 39+25=64 → ( x+5 )² = 64 → ( x+5 ) = 8 → x = 8 – 5 = 3. Non si considera ( x+5 ) = -8, perché non ha una giustificazione geometrica

22. Figura legata al caso 5

25. Riportiamo anche l’interpretazione geometrica di un’equazione del caso 6 x² = 3x + 4 4 3x 3 X-3 x 3/2 3/2 Il quadrato ha area x² ed è formato dal rettangolo di lati 3 e x e da quello di area 4. 3/2 3/2 3/2 3/2 I rettangolini “ a“ sono uguali Perché di lati ( x-3 ) e 3/2 → lo gnomone ha area 4, se completo il quadrato di lato ( x-3/2 ) col quadratino di lato 3/2 ottengo: ( x – 3/2 )² = 4 + 9/4 = 25/4 → x – 3/2 = 5/2 → x = 5/2 + 3/2 = 8/2 = 4.

26. VERIFICA ASSEGNATA ALLA CLASSE Dato il problema: Se prendo un terzo di una cosa più uno e moltiplico per un quarto della cosa più uno ho 20. 1) Traduci in equazione 2) Risolvi l’equazione spiegando a parole il susseguirsi delle operazioni da fare come se tu fossi Khuwarizmi. 3) Dai la giustificazione geometrica seguendo il 1° o il 2° modo.

27. “E’ bene che noi tentiamo…di richiamare ciò che concerne gli antichi, i quali hanno detto tutto nel passato – che è la via più facile e la più breve da adottare per coloro che li seguono – e progredire in quelle zone dove loro non hanno detto nulla.” Al-Kindi

28. Leonardo Pisano nacque a Pisa nel 1170 circa, discendente o figlio di tale Bonaccio da cui l’appellativo Fibonacci. Suo padre era scriba della Repubblica di Pisa, trasferitosi a Bugia in Algeria per lavoro, ebbe modo di osservare la bravura degli arabi nella matematica, la loro abilità nel risolvere vari tipi di problemi e la velocità con cui facevano i calcoli e gestivano le questioni economiche. Cercò allora di instradare il figlio alla conoscenza della loro scienza, questi si appassionò così tanto allo studio di questa scienza che assetato di imparare girò in lungo e largo nel Mediterraneo,fatti infatti veniva detto Bigollo ( = bighellone, girellone).Ebbe modo anche di frequentare il circolo di Federico II di Svevia, amico personale del matematico arabo Al-Kamil, imponente figura di algebrista, quindi la sua conoscenza della matematica greca e araba era molto approfondita e la passione per lo studio e la conoscenza, divenne lo scopo della sua vita. Tornato in patria scrisse nel “ Liber Abbaci” e nel “ Practica Geometriae “ quanto appreso diffondendo per la prima volta in modo completo e organico in Occidente un nuovo modo di far matematica : le cifre arabe, le operazioni, le riprove, le proporzioni, i radicali e, per venire a noi, la risoluzione delle equazioni: noi considereremo quelle di 2° grado.

29. Nell’affrontare le equazioni di 2° grado manca ancora un linguaggio simbolico come mancava agli arabi, quindi anche Fibonacci deve passare alla geometria per tradurre il problema in equazione, solo la geometria ci dà la possibilità di chiamare le lunghezze con delle lettere e scriverle simbolicamente. Alla stregua degli arabi, sia per evitare i numeri negativi, che pur conosceva, sia per poter far uso di dimostrazioni geometriche, affronta separatamente nel suo LiberAbbaci tutti i possibili casi di equazioni di 2° : x²=px ; x²=q ; x²+px =q ; px+q = x² ; x² + q = px con p e q positivi, secondo il metodo arabo.

30. Analizziamo l’equazione x² + 4x = 140 che prima risolve con il metodo arabo: x x² + 2 ( 2x ) = x² + 4x = 140 → completo il quadrato con il quadratino di lato 2 → ( x+2 )² = 140 + 4 = = 144 → x+2 = 12 → x = 12 – 2 = 10. Non si considera x+2 = -12 perché non giustificabile geometricamente. x x 2 2 x

31. Nella Practica Geometriae ritorna su alcuni casi già trattati con nuove dimostrazioni che sfruttano alcuni risultati presenti negli Elementi di Euclide. In riferimento all’equazione precedente Fibonacci utilizza la 6° proposizione del Libro II di Euclide: “ Se si divide per metà un segmento e lo si prolunga di un altro segmento, il rettangolo individuato dall’intero segmento e da quello aggiunto, sommato col quadrato della metà, è equivalente al quadrato costruito sulla somma di metà del segmento dato con il prolungamento.” a b a a b ( 2a + b ) b + a² = ( a + b )² 2ab+b²+ a²= ( a + b )²

32. Tratto dalla 1° traduzione in italiano volgare dal latino degli Elementi di Euclide fatta da Tartaglia (Niccolò Fontana) nel 1549. Questa immagine si riferisce ad una cinquecentina edita a Venezia nel 1569 da Giovanni Bariletto.

33. Considerando l’equazione x² + 4x = 140 Fibonacci costruisce il rettangolo di base (4+x) e altezza x, il quadrato di lato 2 e quello di lato (2+x): 2 x 2 2 x ( 4 + x ) x = area rettangolo ( 4/2 )² = 4 = area quadrato lato 2 La somma delle due aree equivale all’area del quadrato di lato ( 2 + x ) → ( 2+x )² = ( 4 + x ) x +4 → ( 2+x )²= (4x + x² )+ 4 → ( 2+x )²= 140 + 4 → ( 2+x )²= 144 → 2 + x = 12 → x = 12 – 2 = 10.

34. Fibonacci è pienamente consapevole che i suoi esempi numerici hanno significato del tutto generale, infatti dopo questa dimostrazione afferma : “E così sempre accade in tutti quei casi nei quali il numero ( 140 ) è uguale ad un quadrato ( x² ) e a radici ( 4x ); cioè si aggiunga allo stesso numero il quadrato della metà delle radici, si trovi la radice della somma, dalla quale si tolga la metà delle radici poste. “ Abbiamo nuovamente la nostra formula ridotta: q + (p/2 )² → √[ q + (p/2)²] → x = √[q + (p/2)²] - (p/2) .

35. CONCLUSIONI Nella lunga storia delle equazioni ci siamo soffermati su due momenti che risultano storicamente importanti, ma con i quali non pretendiamo certo di aver esaurito l’argomento.Ammesso che sia possibile ricostruirne l’evoluzione, nella storia del pensiero matematico, (fermandoci solo alle equazioni di 1° e 2° grado perché queste per ora abbiamo incontrato a scuola), per farlo dovremmo analizzare documenti che vanno dalle tavolette d’argilla dei Babilonesi (1600 a.C.), al Papiro di Ahmes (o Rhind, 1700 a.C.), passando ai Greci (uno su tutti Diofanto, 250 d.C.) agli Indu, alla matematica Cinese fino anche a quella giapponese che chiama la propria algebra “Tezan”, termine la cui etimologia è analoga proprio a quella del nostro vocabolo. Curiosità In Europa l’equazione di grado più elevato di cui si fa memoria è quella di 45° grado proposta da Viète, ma l’Asia ci batte col giapponese Seki che risponde con una di 1458° grado e un suo discepolo con una di grado 1024°.

36. Bibliografia e Sitografia • Bergamini-Trifone-Barozzi “Corso base di algebra”, vol.1-2, Zanichelli • Bianchini S.-Simonetti C. “Matematica. Metodo, cultura, scienza”, vol.2, D’Anna • Cateni-Bernardi-Maracchia “Elementi di algebra”, vol.2, Le Monnier • Colerus “Piccola storia della matematica”, Einaudi • Kline M. “Storia del pensiero matematico”, vol.1, Einaudi • Loria “Storia delle matematiche”, Hoepli • www.archimede.ms