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Die Zweiphasenmethode

Operations Research. Die Zweiphasenmethode. Marc Schwärzli SS 2011. Die Zweiphasenmethode. Gegeben sei folgende LO-Aufgabe mit negativer rechter Seite: Umformen der Bedingung zur Lösung! I Z = 2X 1 + X 2 +2X 3  max II 2X 1 - X 2 4

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Die Zweiphasenmethode

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Presentation Transcript

  1. Operations Research Die Zweiphasenmethode Marc Schwärzli SS 2011

  2. Die Zweiphasenmethode • Gegeben sei folgende LO-Aufgabe mit negativer rechter Seite: • Umformen der Bedingung zur Lösung! • I Z = 2X1 + X2 +2X3 max • II 2X1- X2 4 X2 + 2X3 15 X1 + X3 = 8 • III X1, X2, X3 0  Negative rechte Seite

  3. Die Zweiphasenmethode • Durch Multiplikation mit -1 wäre die negative rechte Seite erkennbar: • I Z = 2X1 + X2 +2X3 max • II -2X1+ X2 -4 X2 + 2X3 15 X1 + X3 = 8 • III X1, X2, X3 0  Negative rechte Seite

  4. Die Zweiphasenmethode • Umwandeln in Gleichungen durch das Einführen von nichtnegativen Schlupfvariablen S: • I Z = 2X1 + X2 +2X3 + 0S1 + 0S2 max • II 2X1- X2 -S1 = 4 X2 + 2X3 +S2 = 15 X1 + X3 = 8 • III X1, X2, X3 , S1, S2 0

  5. Die Zweiphasenmethode • Ein Gleichungssystem heißt von kanonischer Form, wenn es in jeder Gleichung eine Unbekannte gibt, die nur in dieser vorkommt und dort den Koeffizienten plus Eins besitzt (nur S2 erfüllt dies): • I Z = 2X1 + X2 +2X3 + 0S1 + 0S2 max • II 2X1- X2 -S1 = 4 X2 + 2X3 +S2 = 15 X1 + X3 = 8 • III X1, X2, X3 , S1, S2 0 Koeffizient -1 Kein S3

  6. Die Zweiphasenmethode • Umwandeln in ein Gleichungssystem von kanonischer Form durch Einführung künstlicher Variablen k: • II 2X1- X2 -S1 +k1 = 4 X2 + 2X3 +S2 = 15 X1 + X3+k2 = 8 • III X1, X2, X3 , S1, S2 0

  7. Die Zweiphasenmethode • II 2X1 - X2-S1+k1 = 4 X2 + 2X3 +S2= 15 X1 + X3 +k2 = 8 • III X1, X2, X3 , S1, S2 0 Ein Gleichungssystem heißt von kanonischer Form, wenn es in jeder Gleichung eine Unbekannte gibt, die nur in dieser vorkommt und dort den Koeffizienten Eins besitzt. Diese Unbekannten bezeichnet man als Basisvariablen (BV), die übrigen als Nichtbasisvariablen (NBV).

  8. Die Zweiphasenmethode • So stellt das Gleichungssystem ein äquivalentes Gleichungssystem kanonischer Form dar, deren künstliche Nichtbasisvariablen k den Wert Null aufweisen. • Damit dem so ist, sollten die künstlichen Variable möglichst nahe bei Null sein. • Einführung einer neuen Zielfunktion (minimiere K): • Z = k1 + k2  min entspricht: `Z = -Z=-k1-k2max

  9. Die Zweiphasenmethode • Die erste Phase der Hilfsaufgabe dient dazu eine kanonische Form und eine erste Basislösung zu gewinnen. • I `Z = - k1 – k2  max • II 2X1- X2 -S1 +k1 = 4 X2 + 2X3 +S2 = 15 X1 + X3+k2 = 8 • III X1, X2, X3 , S1, S2 0

  10. Die Zweiphasenmethode • Elimination der Basisvariablen (k) aus der Zielfunktion durchAddition der Gleichungen in II zur Zielfunktion, die ein k beinhalten: • I `Z = - k1 – k2  max • II 2X1- X2 -S1 +k1 = 4 X2 + 2X3 +S2 = 15 X1 + X3+k2 = 8 • III X1, X2, X3 , S1, S2 0

  11. Die Zweiphasenmethode • Nebenrechnung in einer Tabelle: Zeile 1 (Z‘) + Zeile 3 + Zeile 5 ergibt die neue Zielfunktion Z. + Z `Z + +

  12. Die Zweiphasenmethode • Zur besseren Übersicht sind im ersten Simplextableu • zwei Zielfunktionen abgebildet. • Die untere Zielfunktionszeile stellt das Ergebnis der • Addition dar. `Z + Z + +

  13. Lösen des Simplextableaus in der ersten Phase um eine erste zulässige Basislösung zu gewinnen. Achtung S1 ist keine Basisvariable. Ordnen der Basisvarialen:

  14. Bestimmen einer neuen Basisvariablen: X1 wird neue Basisvariable dann folgt die Umrechnung der Pivotzeile: Wert/ Pivotelement:

  15. Ausfüllen der restlichen Werte: Wert – (Zeilenwert x Spaltenwert / Pivotelement):

  16. 2. Iteration: Bestimmen einer neuen Basisvariablen:

  17. 2. Iteration: Bestimmen der restliche Werte:

  18. Durch Weglassen der Spalten mit den künstlichen Variablen, kommt man zu einem Gleichungssystem von kanonischer Form: Basisvariablen:

  19. Die Zweiphasenmethode • Aufbauend auf dieses Gleichungssystem, wird nun die ursprüngliche Aufgabe gelöst: • Die ursprüngliche Zielfunktion Z = 2X1 + X2 + 2X3 soll nur durch die Nichtbasisvariablen ausgedrückt werden. (in diesem Fall X2)

  20. Die Zweiphasenmethode • Elimination der Basisvariablen X1 und X3 aus der Zielfunktion:

  21. Nebenrechnung: Subtraktion des 2-fachen der 1. wie der 3. Zeile von der Zielzeile: 2x 2x Neue Zielzeile:

  22. Neues Starttableau: Ordnen nach Basisvarialen:

  23. Neues Starttableau: Bestimmen des Pivotelements: Ergebnistableau mit Z = 28, X1 = 8, X2 = 12, S2 = 3:

  24. Beispiel Übungsklausur:

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