BAB VII INTEGRAL TAK TENTU - PowerPoint PPT Presentation

slide1 n.
Download
Skip this Video
Loading SlideShow in 5 Seconds..
BAB VII INTEGRAL TAK TENTU PowerPoint Presentation
Download Presentation
BAB VII INTEGRAL TAK TENTU

play fullscreen
1 / 70
BAB VII INTEGRAL TAK TENTU
364 Views
Download Presentation
lea
Download Presentation

BAB VII INTEGRAL TAK TENTU

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript

  1. BAB VII INTEGRAL TAK TENTU

  2. 7.1 Anti turunandan integral taktentu Padababterdahulukitatelahmembahasturunandarisuatu fungsi, yaitujikadikatahui f(x) makaprosesdifferensiasi dari f(x) akanmenghasilkanturunan f(x) danditulisdengan f’(x). • Padababinikitaakanmembahaskebalikandariprosesdifferensiasiataulebihdikenaldenganprosesintegrasi . • Jikapadaprosesdifferensiasimenghasilkanturunanmaka • padaprosesintegrasiakanmenghasilkan anti turunan. Misaldiketahuifungsi f makaprosesintegrasiadalahprosesmenentukan F(x) sedemikianrupasehingga F’(x) = f(x). F(x) dinamakan anti turunandari f(x).

  3. Sebagaicontoh F(x) = x3adalah anti turunan f(x) = 3x2 , karena , Akantetapimasihterdapatbanyak anti turunandari x3, seperti x3 + 1, x3 + , x3 – e dll. Jadidapatdisimpulkanbahwasetiap (x3 + bilangankonstan) merupakan anti turunan ( disebutjuga primitif ) dari 3x2. Jikabilangankonstankitalambangkan dengan C maka anti turunandari 3x2adalah x3 + C. • Prosesuntukmenentukan anti turunandari f(x) disebutprosesintegrasidanditulisdalambentuk,

  4. Simbol “∫”disebuttanda integral danpersamaan 7.1 dibaca “integral taktentudari f(x) terhadap x adalah F(x) ditambah bilangankonstan”. f(x) adalahintegran, F(x) + C adalah anti turunandari f(x), C adalahkonstantaintegrasi, sedangkan faktordxmenunjukkanbahwapeubahintegrasiadalah x. 7.2 Rumus-rumus integral taktentu

  5. V. Rumus-rumusteknis Berikutdiberikanrumus-rumusteknik integral yang bersifat standardandapatdipakailangsunguntukmenentukan anti turunan (primitif) darisuatufungsi.

  6. Contoh 7.1 Selesaikan Penyelesaian

  7. Contoh 7.2 Penyelesaian Contoh 7.3

  8. 7.3 Integrasidengansubstitusi Rumus-rumus integral taktentu yang telahdijelaskanpada pasal 7.2 hanyadapatdigunakanuntukmengevaluasi integral- integral darifungsi yang sederhanasaja. • Sehinggatidakdapatdigunakanuntukmengevaluasi integral seperti ∫ dxatau ∫sin3x dx. Padapasalinikitaakanmenggunakanmetodeuntukmngubah variabeldariintegran agar menjadibentukstandar. • Dari rumusterdahulutelahdiketahuibahwa, Jika h(x) adalahfungsikomposisiFog maka h(x) = F(g(x)). • Sehingga,

  9. (*) Jika u = g(x)  du = g’(x)dx (**) • Substitusi (*) ke (**) didapat,

  10. Contoh 7.4 Penyelesaian • Misal u = 1–2x  du = –2 dx Contoh 7.5 Penyelesaian

  11. Misal u = x2 – 1  du = 2x dx • 7.4 Integrasibagiandemibagian (Integration by parts) Dalammengevaluasi integral sering kali kitamenjumpaiintegran dalambentukperkalianfungsi-fungsi. Salahsatuteknikuntuk mengevalusai integral tersebutadalahdenganmenggunakan teknikintegrasibagiandemibagianatauseringjugadigunakan istilah integral parsial. Padasaatkitamempelajariturunan, kitatelahmengetahuibahwa,

  12. Misal u = g(x) dan v = h(x) Persamaan 7.3 digunakanuntukmenyelesaikan integral bagian demibagianatau integral parsial. Dalammembuatpermisalan u, biasanyakitatentukanprioritas- prioritas agar penyelesaianmenjadilebihsederhana. Prioritastersebutadalahsebagaiberikut. • i) ln x • ii) xn n = bilanganbulatpositif • iii) ekx

  13. Contoh 7.6 Penyelesaian Misal u = x  du = dx v = ex dv = ex Contoh 7.7 • Penyelesaian • Misal u = ln2x dv= (x-1)dx

  14. Contoh 7.8 Penyelesaian Misal u = x2 dv = sinxdx du = 2x dx v = –cosx

  15. Misal u = 2x dv = cosxdx du = 2 dx v= sin x = 2x sinx + 2 cosx +C (**)

  16. Substitusi (**) ke (*) didapat Contoh 7.9 Penyelesaian : Misal u = ex dv = cosxdx du = ex dx v = sinx

  17. Misal u = ex dv = sinxdx du = ex dx v = –cos x Substitusi (**) ke (*) didapat,

  18. 7.5. Integrasifungsipecah Fungsipecahadalahfungsirasional yang mempunyaibentuk P(x)/Q(x), dimana P(x) dan Q(x) adalahpolinomialdan Q(x)  0. • Dalambentukrumusfungsipecahdapatditulisdalambentuk,

  19. Jika ∫f(x)dxtidakdapatdiselesaikandenganmetodesubstitusi, makagunakanmetodepecahanparsial. Langkah-langkah yang dapatdigunakanadalahsebagaiberikut: • 1. Periksaderajad P(x) dan Q(x). Jikaderajad P(x) lebihbesar • dariderajad Q(x) makacarihasilbagi P(x)/Q(x). Jikaderajad P(x) lebihkecildari Q(x) makalangsungkenomor 2. 2. Faktorkan Q(x) • a. Untukfaktoraxnpecahanparsialnyaditulisdalam • bentuk, • b. Untukfaktor (ax+b)npecahanparsialnyaadalah,

  20. c. Untukfaktor (ax2+bx+c)n pecahanparsialnyaadalah, Koeffisien-koeffisien A1 , A2 , A3 , … , Andapatdiganti dengan A, B, C dst. Contoh 7.10 • Penyelesaian Karenaderajad P(x) lebihkecildariderajad Q(x) maka faktorkan Q(x).

  21. Untukmenentukannilai A, B, dan C, bandingkanpembilang • pada (**) denganpembilangpadasoal, sehinggadidapat, • A+B+C = 1 • –A+2B-3C = 5 • –6A = –12 • Tigapersamaantersebutmenghasilkan • A = 2 ; B = 4/5 ; C = -9/5

  22. Denganmemasukkanharga A, B dan C ke (*) makadidapat, Selesaikan Contoh 7.11 • Penyelesaian

  23. Karenaderajad P(x) lebihtinggidariderajad Q(x) makalakukan pembagian. x + 1 x4 + 7x3 + 12x2– 10x – 7 x3 + 6x2 + 5x – 12 x4 + 6x3 + 5x2 – 12x x3 + 7x2 + 2x – 7 x3 + 6x2 + 5x – 12 x2 – 3x + 5

  24. 7.6. Integrasifungsitrigonometri 7.6.1 Integrasifungsisinu, cosu, tanu, cotu, secudancscu Bukti

  25. Bukti Bukti

  26. Bukti Bukti

  27. Bukti

  28. 7.6.2 Integrasifungsisinmudancosmu Langkahuntukmenyelesaikan∫sinmu du dan∫cosmu du adalahsebagaiberikut.

  29. Jika m adalahbilanganbulatpositifganjil yang lebihbesardarisatu, makasinmuditulisdalambentuk sinm-1 u sin u • Sedangkancosm u ditulis cosm-1 u cos u. • Selanjutnyagunakanidentitastrigonometri, • sin2u + cos2u = 1 danmetodesubstitusi • 2. Jika m adalahbilanganbulatpositifgenap yang lebihbesardaridua, makasinmuditulisdalambentuk (sin2 u)m/2 . • Sedangkancosm u ditulis (cos2 u)m/2 . • Selanjutnyagunakanidentitastrigonometri, Contoh 7.12

  30. Contoh 7.12 Penyelesaian Misal u = cosx –du = sinxdx

  31. Contoh 7.13 Penyelesaian Misal u = sinx du = cosxdx

  32. Contoh 7.14 Penyelesaian

  33. Contoh 7.15 Penyelesaian

  34. 7.6.3 Integrasifungsitrigonometrisinmucosnu Untukmenyelesaikan integral yang mengandung integransinm u cosnuberikutdiberikanlangkah- langkahpenyelesaian. • 1. Jika m adalahbilanganbulatganjil 3, maka c. Lakukansubstitusi u = cosx 2. Jika n adalahbilanganbulatganjil 3, maka c. Lakukansubstitusi u = sinx

  35. 3. Jika m dan n adalahbilangangenap 2, maka b. Gunakanidentitastrigonometri, Contoh 7.16 Penyelesaian Misal u = cosx –du = sinxdx

  36. Contoh 7.17 Penyelesaian

  37. 7.6.4 Integrasifungsitrigonometritanm u secnu Untukmenyelesaikan integral yang mengandungintegran tanmusecnuberikutdiberikanlangkah-langkahpenyelesaian • 1. Jika m adalahbiilanganbulatganjil3, maka c) Lakukansubstitusi u = sec x

  38. 2. Jika n adalahbilanganbulatgenap 2, maka : a) tanm x secn x ditulisdalambentuk tan mx secn-2x sec2x • b) Gunakanidentitastrigonometri sec2x = tan2x + 1 • c) Lakukansubstitusi u = tanx • Jika m adalahbilangangenapdan n adalahbilanganganjil, • berkemungkinanmetode yang digunakanadalah integral • parsial Contoh 7.18 Penyelesaian

  39. Misal u = sec x du = secxtanxdx Jadi 7.7. Integrasifungsitrigonometriinvers

  40. Bukti dw = du w = u Gunakanrumus integral parsial ∫v dw=vw – ∫w dv Contoh 7.19 Penyelesaian

  41. Bukti dw = du w = u Gunakanrumus integral parsial ∫v dw=vw – ∫w dv

  42. Bukti

  43. Bukti Bukti

  44. Bukti

  45. 7.8 Integrasidengansubstitusitrigonometri • 7.8.1 Integrasifungsiirrasional Langkahawaluntukmenyelesaikan integral fungsi irrasionaladalahdengan mengu8bah integran yang berbentukirrasionalmenjadirasional. Biasanyauntuk mencapaihaltersebutkitalakukansubstitusitrigonometri. • Padapasaliniakandibahasbeberapafungsiirrasional.

  46. Bukti Dari gambardisampingdidapat a x a sinu = x  a cos u du = dx u