EstimasiTitik
Nunungnurjanah • Ekadamayanti • TitaAzizah • Iahsolikhah First Group of Mathematic PRESENT
Statistikinferensial kesimpulan Pengujianhipotesis Penaksiran parameter Penaksirantitik Penaksiran interval
Contoh Pengertian Penaksirantitik Metode-metode Hakikat
Metode-metode Metodemomen Estimatorbayes Metodemaksimumlikelihood
STATISTIK INFERENSIAL • Statistikinferensialadalahststistika yang dengansegalainformasidari sample digunakanuntukmenarikkesimpulanmengenaikarakteristikpopulasidarimana sample itudiambil.
Parameter adalahkarakteristikdarisuatupopulasi • = mean = rata-rata • ^2 = varian = keseragaman • d = mean differensial = perbedaan rata-rata • = Proporsi • d =Proporsi rata-rata Statistikadalahkarakteristikdari data sample • = mean = rata-rata • S ^2 = varian = keseragaman • d = mean differensial = perbedaan rata-rata • P = Proporsi • P d =Proporsi rata-rata
Statistikdigunakanunutkmenduga parameter • pendugatitikuntuk • pendugatitikuntuk2 • pendugatitikuntukP
EstimasiTitik • Estimasi adalah keseluruhan proses yang menggunakan sebuah estimator untuk menghasilkan sebuah estimate dari suatu parameter. • Sebuahestimasititikdarisebuah parameter adalahsesuatuangkatunggal yang dapatdianggapsebagainilai yang masukakaldari.
Estimator adalahfungsi sample, sedangkan • Estimate adalahnilaiterealisasidari estimator, yaitubilangan yang didapatbila sample benar-benardiambil.
HakikatEstimasi • Estimasiadalahtaksiran, dan yang diestimasiadalahparameterpopulasi • Data yang digunakanuntukmelakukanestimasi parameter populasiadalahstatistiksampelsebagai estimator • Terdapatprosedurtertentuuntukmelaksanakanestimasi
Contoh • Seorang ahli sosial ekonomi ingin mengestimasi rata-rata penghasilan buruh di suatu kota. Sebuah sampel dikumpulkan menghasilkan rata-rata Rp 2.000.000,-. • Dalam hal ini telah dilakukan estimasi titik, dengan menggunakan estimator berupa statistic mean ( ) untuk mengestimasi parameter mean populasi (μ). NilaisampelRp 2.000.000,- sebagainilai estimate dari mean populasi.
Metode Momen (Methode of Moment Estimator / MME) “Metode moment diciptakan oleh Karl Pearson pada tahun 1800.Metode ini merupakan metode tertua dalam menentukan estimatortitik.”
Misal X1, X2, ...., Xn adalah sampel random dari populasi dengan fungsi densitas f(x I θ), estimator metode momen didapatkan dengan menyamakan momen sampel ke-k pada momen populasi ke-k, dan menyelesaikan sistem persamaan simultan yang dihasilkan. • Estimator metode momen dan didapatkan dengan menyelesaikan sistem persamaan dalam bentuk m1,m2,...,mk yaitu: = m1 = m2 . = mk
ContohSoal Misalkan x1, x2, x3, ....., xnadalah sample random daripopulasi yang berdistribusi X N (, ^2). Denganmenggunakanmetodemomen, tentukan estimator titikuntuk dan ^2
Penyelesaian • X N (, ^2) berarti E(X) = danVar(Z) = ^2 • Var (X) = E (X^2)-(E(X))^2 • ^2 = E (X^2) - ^2 • E (X^2) = ^2 + ^2 Sehinggamemperolehpersamaansepertiberikut: • E(X) = sehingga ^ = • E (X^2) = maka ^^2 + ^^2 =
^^2 = - = -X^2 =
MetodeKemungkinanMaksimum(Likelihood) Metodekemungkinanmaksimummerupakanmetodeuntukmemperoleh estimator titik dengan cara memaksimumkan fungsi kemungkinan. Misalkan X adalah peubah acak kontinu / diskrit denganfungsikepadatanpeluang f(x;θ), denganθadalah suatu parameter yang tidakdiketahui, dan X1, X2,...,Xn sampel acak berukuran n,maka fungsi kemungkinanmaksimumθ adalah:
Contoh: Misalkan X1, X2, ... , Xn adalah sampel acakberukuran n dari distribusi B (1;),dengantidak diketahui. Tentukan penaksir titik untukdengan menggunakan metode kemungkinanMaksimum.
Penyelesaian : Fungsi kepadatan peluang dari X adalah: f (x; ) x = 0,1 = 0 ; lainnya Fungsi kemungkinan dari sampel acak berukuran n adalah :
Kemudian kedua ruas diberi ln, sehingga akan diperoleh: lnln + .ln Selanjutnya kita turunkan ln terhadap Yaitu:
Jadi, penaksir kemungkinan meksimum untuk adalahX, yang merupakan rerata sampel.
ESTIMATORBAYES
Langkah-langkahuntukmenentukantaksiranBayesbagiθadalah: • Tentukanfungsikepadatanpeluanggabungandari X1,X2,…, Xn (dinotasikan) dengan g(X1,X2,… Xn) yang didefinisikanberikut: g(X1,X2,… Xn : θ) = f(X1 ; θ). F(X2 ;θ). … f(Xn ; θ) 2. Tentukanfungsidensitasdari , yang besarnyadiambilataudipilihdandisesuaikandengan g(X1,X2,… Xn : θ) . Distribusi yang mempunyaifungsidensitasdari , dandinotasikandenganλ (θ), dinamakandistribusi prior.
3. PenaksirBayesuntukθditentukanoleh: a. jikaλ (θ)daripeubahacakberbentukdiskrit, maka: • (x1,x2,…,xn) = • b. jikaλ (θ)daripeubahacakberbentukdiskrit, maka: • (x1,x2,…,xn) =
Contoh: Misalkan x1,x2,…,xnmerupakansebuahsampelacakdaridisrtibusi B(1 ; θ), θϵΩ = (0,1). TentukanpenaksirBayesuntukθ
Penyelesaian: • Fungsikepadatanpeluangdari X adalah: f(x;θ) = θk(1-θ)1-x ; x = 0,1 = 0 = lainya. • Fungsidensitasgabungandari X1,X2,…,Xnadalah: = f(x1 ; θ). F(X2 ;θ). … f(Xn ; θ) = [ ] [ ] = [ ] =
