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Equation de diffusion dans l’espace des échelles:

Journée « Géométries multi-échelle, théorie constructale et exergie » Société Française de Thermique, 16 mars 2006. Equation de diffusion dans l’espace des échelles: la notion de diffusivité d’échelle Diogo Queiros-Conde

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Equation de diffusion dans l’espace des échelles:

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Presentation Transcript

  1. Journée « Géométries multi-échelle, théorie constructale et exergie » Société Française de Thermique, 16 mars 2006 Equation de diffusion dans l’espace des échelles: la notion de diffusivité d’échelle Diogo Queiros-Conde Ecole Nationale Supérieure de Techniques Avancées Unité Chimie et Procédés Pour plus de détails: D. Queiros-Conde, Proc. Roy. Soc. Lond. (2003) 459, 3043-3059

  2. Géométrie fractale • Une avancée incontestable: sensibilisation à la dimension « échelle » • De nombreuses études mais déviations à la fractalité importantes. Le nombre de décades est faible. • Voir Avnir et al. (1998) (histogramme centré sur 1.3 décade) • Dimension fractale dépend de l’échelle : PROBLEME ! ! • Pouvoir prédictif faible (sans théorie d’appoint…) • Kadanoff (1986) : “Fractals :Where is the physics ? ” • Saffman (1991): “ I would say that the attempts to represent or describe turbulent flows, or the evolution of chaotic systems using fractals is essentially a botanical description, unless you can do some prediction, or make some theory to say what is happening…” Besoin d’une description plus fine dans l’espace des échelles. Pour cela, il faut considérer l’espace des échelles comme une dimension spatiale à part entière ---> 4 dimensions d’espace?

  3. l k Nk,i = Nk,j Nj,i l i l j

  4. l0 CORPS lc CRÊTE • Système multi-échelle : • Gamme d’échelles li appartenant à [lc, l0]  • Echelle logarithmique : • x=ln(li/l0) • « Volume-échelle » Vi: volume • occupé par le système à l’échelle li Entropie d ’échelle: Si,0=ln(V0/Vi) Gradient d’entropie d’échelle:

  5. Définition de l’entropie d’échelle li l 0 lnN(li) ln(li ) Si,0=ln[W(li)] Analyse en échelles Cas particulier: fractal Loi générale d’évolution pour l’entropie d’échelle ?

  6. Equation de bilan en régime permanent Notations : x=ln(li/l0) Sx=Si,0, Dx=Di , fx=fi , fx=dSx/dx=Dx-d. -fx+fx+dx-w(x)dx=0 où w(x) est le puits d’entropie CAS PARTICULIER 1: FRACTALITE Le fractal devient un cas particulier : w(x)=0 Puits d’entropie nul et régime permanent CAS PARTICULIER 2: w(x)=b Puits d’entropie uniformément distribué dans l’espace des échelles ---> Invariance d’échelle parabolique

  7. =(Di+Dj)/2 • INVARIANCE D’ECHELLE PARABOLIQUE : w(x)=b • Puits d’entropie uniforme (“ équipartition ” ) dans l’espace des échelles • d2Sx/dx2-b=0 , Sx=(b/2)x2+(D0-d)x • lnNi,0=_[(b/2)x2+D0x] : analyse en échelle est parabolique Dimension fractale est linéaire en fonction du logarithme de l’échelle Des expressions remarquables De nombreuses vérifications expérimentales Lien avec principe d ’équipartition de D. Tondeur?

  8. UL UT l0 UL U ’ U ’ d FLAMME TURBULENTE Interaction flamme-turbulence régime des « flammelettes » b=0.177 Analyse en échelle parabolique (b/2=0.088) Dimension fractale linéaire avec logarithme de l’échelle LOI DE VITESSE PARABOLIQUE Données de Ronney et al. (1995)

  9. n-1 Fréquence des pannes sur le réseau électrique américain en fonction du nombre d’usagers touchés Réserves en pétrole du delta du Niger R. Anderson et A. Boulanger, Mechanical Engineering « Power and Energy », mars 2004 Taille du champ (Mb) vs rang du champ, distribution « fractale parabolique » J. Lahérrère (Colloque « Energie et développement durable », Bruxelles, 2000) Agrégation limitée par la diffusion

  10. CORPS D0 t* Diffusivité d’échelle c(quantité nouvelle en physique) l0 lc t* temps « total » de cascade CRÊTE D REGIME VARIABLE: DIFFUSIVITE D ’ECHELLE Capacité à propager une perturbation dans l’espace des échelles (de “ peau en peau ”) En turbulence : t*=tKolmogorov c[(9/16)Re3/2(lnRe)2]/(l02/n).

  11. Temps CAS « FRACTALEMENT MINCE »: Application aux interfaces passives Vérification expérimentale sur mesures ( Villermaux, E. & Innocenti, C. 1999) Yt=Ln[(Dt-D0)/(D-D0)] en fonction de t/th ( D=2 )

  12. CORPS t* l0 li tc,i CRÊTE lc TRANSFERT D’INFORMATION ENTRE ECHELLES Temps de “ liaison ” : gamme [ lc; li] Temps d’auto-correlation à l’échelle li : Fraction du temps total de cascade tc,i = Fc,it* En turbulence : t*=tKolmogorov Experience 1: Expérience de Honoré & Grésillon (2000) (diffusion collective de la lumière sur un jet turbulent) Experience 2: Mesures Poulain, Baudet, Gagne (2003) (par diffusion d’ultrasons) tc,i/t* mesuré et calculé vs Fc,i tc,i/t* mesuré vs tc,i/t*calculé

  13. PERSPECTIVES - Vers une dynamique d’échelle... - Lien avec des approches modernes de la thermodynamique (M.Feidt) Interprétation de l’entropie d’échelle Cas parabolique: connexion avec le principe d’équipartition de la production d’entropie (D. Tondeur) - Lien avec la théorie constructale (A. Bejan) Qui se dresse sur la pointe des pieds ne tient pas debout. Qui veut aller jambes écartées ne peut avancer. » Tao-te-king, verset 14

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