Grafi - drevesa

1. Grafi - drevesa

2. Grafi • Enostaven graf G=(V,E) • V = VG ={1,2,3,4} – vozlišča • E = EG = {a,b,c,d,e} – povezave • Povezava a ima krajišči 1 in 2. Vozlišči 1 in 2 sta sosedni: 1 ~ 2. a 1 2 c b d e 3 4

3. Valence vozlišč • G=(V,E) • VG ={1,2,3,4} • EG = {a,b,c,d,e} • Število sosedov (oz. Število povezav, ki izhajajo iz vozlišča v je valenca ali stopnja vozlišča: deg(v). • deg(1) = deg(4) = 3, deg(2) = deg(3) = 2. a 1 2 c b d e 3 4

4. Lema o rokovanju • V poljubnem grafu G=(V,E) velja, da je dvojno število povezav enako vsoti valenc vozlišč grafa: • V dokazu uporabimo računovodsko pravilo v incidenčni matriki grafa.

5. Cikel Cn na n vozliščih. V – oglišča n-kotnika E – robovi • |V|=n • |E|=n 1 2 3 4 C4

6. 1 2 3 4 Pot Pn na n vozliščih. V – oglišča lomljenke (ali pa delilne točke intervala) E – odseki Krajišči lomljenke imenujemo tudi krajišči poti. Na sliki sta krajišči poti 1 in 4. • |V|=n • |E|=n-1 P4 1 2 3 4

7. Polni graf Kn na n vozliščih. V – oglišča n-kotnika E – robovi in diagonale • |V|=n • |E|=n(n-1)/2 1 2 3 4 K4

8. Polni dvodelni graf Kn,m na n+m vozliščih. V = U1 U2 , |U1| = m, |U2 | = n. E = U1 U2 • |V|=n + m • |E|=n m 1 2 3 4 K2,2

9. Kocke • (Hiper)kocka razsežnosti n je graf Qn, ki ima: • VQn = {0,1}n. • u ~ v, če se vektorja ločita natančno v eni koordinati. • |VQn| = 2n • |EQn| = n 2n-1

10. Incidenčna matrika M(G). • Grafu G=(V,E) lahko priredimo pravokotno matriko M=M(G) z |V| vrsticami in |E| stolpci takole: { 1 ... v je krajišče povezave e Mv,e = 0 sicer

11. Zgled incidenčne matrike • G=(V,E) • VG ={1,2,3,4} • EG = {a,b,c,d,e} MG = a 1 2 c b d e 3 4

12. Invariante grafov • Znano je, da lahko matematičnim objektom prirejamo števila. Npr.: Matriki priredimo determinanto, polinomu stopnjo, prostoru razsežnost, vektorju dolžino, itd. • Obstaja veliko načinov, kako grafu priredimo število. Takemu številu običajno rečemo invarianta grafa. Lahko bi rekli, da je glavna tema teorije grafov študij grafnih invariant.

13. Izomorfizmi in invariante grafov Izomorfizems(G) = H je bijektivna preslikava, ki slika vozlišča v vozlišča: in ohranja sosednost: • u ~ v natanko tedaj, ko je s(u)~s(v). Invarianta grafa, je lastnost grafa, (običajno je to število), ki se ohranja pri izomorfizmu grafov.

14. Naloga o izomorfizmu B A Poišči izomorfizem med grafoma A in B ter med grafoma C in D. D C

15. Matrika sosednosti A(G). • Grafu G=(V,E) z V={1,2,3,...,n} lahko priredimo matriko A=A(G) takole: { 1 ... i ~ j Ai,j = 0 sicer

16. Zgled matrike sosednosti • G=(V,E) • VG ={1,2,3,4} • EG = {a,b,c,d,e} AG = a 1 2 c b d e 3 4

17. Matrika sosednosti ni invarianta • Matrika sosednosti ni invarianta, ker je odvisna od vrstnega reda oz. oštevilčenja vozlišč. • Tudi incidenčna matrika ni invarianta.

18. Podgrafi • Graf H=(U,F) je podgraf grafa G=(V,E), če je U podmnožica V in je E podmnožica F. • Pozor! Pri tem je pomembno, da je (U,F) res graf! Vsaka izbira podmnožic U in F v splošnem ne določa grafa. Za vsako izbrano povezavo moramo izbrati tudi njeni krajišči.

19. Zgled podgrafov • G=(V,E) • VG ={1,2,3,4} • EG = {a,b,c,d,e} Naj bodo: U = {1,2,3}, W = {2,3,4}, F = {b}, P = {a,d}. Tedaj sta (U,P) in (W,F) podgrafa, (U,F) in (W,P) pa ne. a 1 2 c b d e 3 4

20. Povezani grafi • Na množici vozlišč grafa G vpeljemo ekvivalenčno relacijo takole: u @ v, če in samo če obstaja podgraf, izomorfen poti, ki ima u in v za krajišči. • Graf G je povezan, če ima ekvivalenčna relacija @ en sam ekvivalenčni razred..

21. Povezanost grafov - praksa • Graf je povezan, če lahko njegov “model” iz kroglic in vrvic zgrabimo za poljubno kroglico, potresemo in nič ne pade na tla. (Pri tem seveda “vozlanja” vrvic ne priznamo!)

22. Drevo • Drevo je povezan graf brez cikla. • Obstaja več karakterizacij dreves. Npr.: • Drevo je povezan graf z n vozlišči in n-1 povezavami. • Drevo je povezan graf, ki ni več povezan, če mu odstranimo poljubno povezavo.

23. Vpeti podgraf • Če za podgraf H=(U,F) grafa G(V,E) velja U = V, pravimo, da je H vpet podgraf grafa G.

24. Vpete poti in cikli • Vpeto pot v grafu imenujemo hamiltonova pot, vpet cikel pa hamiltonov cikel. • Izkaže se, da je ugotavljanje, ali ima graf hamiltonovo pot ali hamiltonov cikel, eden od računsko zahtevnih problemov (NP-poln).

25. Vpeto drevo • Vsak povezan graf ima vpeto drevo. • Za končne grafe lahko to pokažemo hitro. [Dokler ne dobimo drevesa, odstranjujemo primerne povezave]. • Za neskončne grafe pa to ni izrek ampak je dejstvo, ekvivalentno aksiomu izbire.

26. Koliko vpetih dreves ima polni graf? • Na desni strani vidimo, da ima npr. K3 tri vpeta drevesa! • Naj t(Kn) označuje število vpetih dreves polnega grafa. • Izrek: t(Kn) = nn-2 • Dokaz: Pravilo enakosti: Prüferjev kod!

27. Osnovni principi (pravila) kombinatorike • Pravilo vsote • Pravilo produkta • Pravilo enakosti • Računovodsko pravilo • Dirichletovo pravilo • Metoda odlikovanega elementa • Pravilo matematične indukcije

28. Pravilo vsote • Moč disjunktne unije množic je enaka vsoti moči obeh množic.

29. Uporaba pravila vsote • Število poti od rdečega do sivega oglišča nad rumenim trikotnikom izračunamo tako, da ob vsakem križišču zapišemo, na koliko načinov ga lahko dosežemo, če začnemo v sivem vozlišču.(npr. 2+3=5) 1 5 14 28 42 42 1 4 9 14 14 1 3 5 5 1 2 2 1 1 1

30. Pravilo produkta • Moč kartezičnega produkta množic je enaka produktu moči obeh faktorjev.

31. Uporaba pravila produkta • Zgled: Koliko števil lahko pokaže trimestni semafor, če vedno sveti na vsakem mestu eden od znakov +,-, 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. • Po pravilu produkta: 12 x 12 x 12.

32. Pravilo enakosti • Množici sta enako močni, če in samo če obstaja med njima bijekcija.

33. Uporaba pravila enakosti • Zanimajo nas oklepajni izrazi: • () • ()() • (()) • (()())()((()())()) • Število oklepajnih izrazov s 5 pari oklepajev je enako številu poti od rdeče do sive točke nad rumenim trikotnikom. (()())(())

34. Zgled uporabe pravil • Moč potenčne množice je |P(A)| = 2|A|. • Dokaz: • Pokažemo bijekcijo med podmnožicami X množice A in karakterističnimi vektorji c(X). [Pravilo enakosti]. • Preštejemo vse |A|-razsežne dvojiške vektorje. [Pravilo produkta].

35. Računovodsko pravilo • Vsota elementov pravokotne matrike je enaka vsoti vsot po stolpcih in vsoti vsot po vrsticah.

36. Dirichletovo pravilo • Če v n predalov pospravimo n+1 predmetov, tedaj obstaja vsaj en predal, v katerem sta vsaj dva predmeta.

37. Zgled uporabe Dirichletovega pravila • V predalu imamo tri pare enakih rokavic. Koliko rokavic moramo potegniti iz predala, da bomo zagotovo med njimi imeli par? • V predalu imamo tri pare črnih in tri pare modrih nogavic. Koliko nogavic moramo potegniti iz predala, da bomo imeli zagotovo par enakobarvnih nogavic?

38. Igra Sim • Igralca povezujeta 6 izbranih točk v ravnini z raznobarvnima svinčnikoma. Igro izgubi tisti, ki nariše trikotnik svoje barve. Dokaži, da v igri ni možen neodločen izid.

39. Metoda odlikovanega elementa • Naj bo A končna množica, x 2 A odlikovani element in A družina podmnožic množice A. Naj bo P(X,x) predikat, ki povezuje X µ A in x. Naj bo • A(x) = {X µ A| P(X,x)} • A – x := A \ A(x) • Po pravilu vsote je: • |A| = |A(x)| [ |A – x|

40. Zgled uporabe metode odlikovanega elementa • Naj f(A)=f(n) označuje moč potenčne množice množice A, |A|=n. Naj bo x odlikovani element. • Podmnožice, ki vsebujejo x lahko primerjamo z vsemi podmnožicami, ki x ne vsebujejo. Zato je • f(n) = f(n-1) + f(n-1) = 2f(n-1). • Velja tudi f(0) = 1. • Od tod dobimo f(1) = 2, f(2) = 4, f(3) = 8, in uganemo f(n) = 2n.

41. Pravilo matematične indukcije • Naj bo P lastnost naravnih števil. Radi bi dokazali, da P velja za vsa naravna števila. • (I) Baza indukcije. P(1). • (II) Indukcijski korak: P(n) ) P(n+1). • Če dokažemo oba dela (I) in (II), trditev P velja za vsa naravna števila. • Opomba: Obstaja več različic indukcije. Npr. baza je lahko P(0) ali kakšna druga majhna vrednost P(d). Pri indukcijskem koraku lahko upoštevamo ob P(n) tudi P(n-1),...

42. Uporaba matematične indukcije • Radi bi dokazali, da je f(n) = 2n. • Baza indukcije: f(0) = 1 = 20 . • Indukcijski korak; • f(n+1) = 2f(n) = 2 2n = 2n+1.