Inżynieria Chemiczna i Procesowa

Inżynieria Chemiczna i Procesowa Procesy Cieplne. Wymiana Ciepła – Pojęcia podstawowe c. d. Wykład nr 10 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe

Inżynieria Chemiczna i Procesowa Przenikanie ciepła przez ściankę cylindryczną: d2 Rozpatrzmy jednorodną ściankę cylindryczną zbudowaną z materiału o stałej wartości współczynnika przewodzenia ciepła λ. Dane są temperatury przepływających czynników Tf1 i Tf2 oraz współczynniki wnikania ciepła po obu stronach ścianki α1α2 Tf1 Tw1 Tw1 Tf2 q α1 q α1 d1 Wykład nr 10 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe

Inżynieria Chemiczna i Procesowa W warunkach ustalonego ruchu ciepła: d2 Tf1 1) wnikanie ciepła wewnątrz przewodu: Tw1 Tw1 powierzchnia wymiany ciepła Tf2 2) przewodzenie ciepła w ściance: q α1 q 2 1 3 wnikanie ciepła na zewnątrz przewodu: d1 α2 Wykład nr 10 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe

Inżynieria Chemiczna i Procesowa Przekształcając: sumując stronami: Wykład nr 10 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe

Inżynieria Chemiczna i Procesowa [ W / m ] Wykład nr 10 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe

Inżynieria Chemiczna i Procesowa [ W / m * K ] liniowy współczynnik przenikania ciepła Charakteryzuje on intensywność ruchu ciepła od jednego ośrodka do drugiego przez rozdzielającą te ośrodki ściankę cylindryczną. Liczbowo jest on równy ilości ciepła przechodzącego przez ściankę o grubości 1 m w jednostce czasu i przy jednostkowej różnicy temperatur. Wielkość odwrotną do liniowego współczynnika przenikania ciepła nazywamy liniowym oporem cieplnym [ m * K / W ] Wykład nr 10 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe

Inżynieria Chemiczna i Procesowa opory cieplne wnikania ciepła opór cieplny przewodzenia ciepła w ściance Z równań wynika, że liniowe opory cieplne dla rury zależą od wartości współczynników wnikania α1α2, materiału z którego zbudowana jest rura (λ) i od średnic d1 i d2 Wykład nr 10 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe

Inżynieria Chemiczna i Procesowa Przy odniesieniu strumienia cieplnego do wewnętrznej lub zewnętrznej powierzchni ścianki cylindrycznej otrzymamy obciążenie cieplne [ W / m2 ] można to również zapisać: gdzie: [ W / m2 * K ] Wykład nr 10 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe

Inżynieria Chemiczna i Procesowa Powyższy zapis pozwala sformułować zależności między współczynnikami przenikania ciepła przy odniesieniu strumienia cieplnego do jednostki długości rury i do jednostki powierzchni: przy czym: [ W / m2 * K ] Wykład nr 10 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe

Inżynieria Chemiczna i Procesowa W wielu praktycznych przypadkach grubość ścianki cylindrycznej jest mała w porównaniu ze średnicą. Wykorzystujemy wówczas do obliczeń równania uproszczone: Wielkość ln ( d2 / d1 ) można rozłożyć w szereg: Szereg taki dla wartości stosunku d2 /d1 1 jest szybko zbieżny i z dostatecznym przybliżeniem można się wówczas ograniczyć do pierwszego wyrazu szeregu: grubość ścianki, m Wykład nr 10 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe

Inżynieria Chemiczna i Procesowa Podstawiając to do równania na k1 : [ W / m2 * K ] równanie to jest identyczne jak na współczynnik przenikania ciepła k dla ścianki płaskiej. Dla rur o cienkich ściankach do obliczeń praktycznych można stosować równanie: dla Wykład nr 10 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe

Inżynieria Chemiczna i Procesowa Cylindryczna ścianka wielowarstwowa Rura pokryta izolacją jest przykładem ścianki wielowarstwowej. λ1 λ2 λ3 Tw1 Stosując równanie dla pojedynczej ścianki cylindrycznej Tw2 Tw3 Tw4 r1 r2 r2 w stanie ustalonym możemy zapisać r4 Wykład nr 10 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe

Inżynieria Chemiczna i Procesowa Wykorzystując koncepcję oporów cieplnych i eliminując temperatury Tw2 i Tw3 Wykład nr 10 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe

Inżynieria Chemiczna i Procesowa A dla ścianki zawierającej n warstw: W przypadku gdy znany jest strumień cieplny Qh / L wówczas z równań na przewodzenie ciepła przez poszczególne warstwy można wyznaczyć temperatury pomiędzy warstwami Tw2, Tw3, …, Tw(k+1) Wykład nr 10 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe

Inżynieria Chemiczna i Procesowa Wykład nr 10 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe

Inżynieria Chemiczna i Procesowa Przenikanie przez ściankę cylindryczną wielowarstwową opisuje równanie: W zastosowaniach praktycznych często zależy nam na zwiększeniu oporu przenikania ciepła przez ściankę rury. Dlatego rurociągi pokrywa się warstwą materiału o małej wartości współczynnika przewodzenia ciepła. Mówimy wówczas o izolacji przewodu. Wykład nr 10 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe

Tf q λ Tw d1 α2 dz Inżynieria Chemiczna i Procesowa Rozpatrzmy przypadek rury z izolacją λ. Straty cieplne od rury izolowanej do otoczenia można obliczyć z równania: opór cieplny Wykład nr 10 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe

Inżynieria Chemiczna i Procesowa Strumień cieplny będzie maksymalny wówczas, gdy mianownik równania będzie minimalny. To znaczy gdy opór cieplny osiągnie wartość minimalną. Tę wartość można wyznaczyć obliczając pochodną oporu cieplnego względem średnicy dz i przyrównując otrzymany wynik do 0: Wykład nr 10 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe

Inżynieria Chemiczna i Procesowa dla dz równego dzkr a więc krytyczna średnica jest średnicą dla której straty cieplne są maksymalne. Druga pochodna Stąd nasuwa się wniosek że straty cieplne od rury do otoczenia mogą być zwiększone przez zwiększenie warstwy izolacyjnej , jeżeli średnica krytyczna jest większa niż średnica rury bez izolacji. Qh/L sytuacja ta występuje tylko dla małych rur lub drutów o małe średnicy dopiero izolacja o grubości większej niż (d* - d) / 2 powoduje spadek strat ciepła. dz dkr d* d Wykład nr 10 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe

Inżynieria Chemiczna i Procesowa Podstawy ruchu ciepła przez wnikanie Dotychczas nasz uwaga skupiona była na procesie przewodzenia ciepła w ciałach stałych. Wnikanie ciepła było głownie rozpatrywane jako pewien rodzaj warunków brzegowych w zastosowaniu do powierzchni ciała przewodzącego ciepło. Współczynnik wnikania ciepła α definiowany był prawem Newtona i przyjmowany jako wielkość znana. Rozpatrzymy teraz szczegółowo proces wnikania ciepła w płynach i metody wyznaczania wartości współczynników wnikania ciepła. Wnikanie ciepła obejmuje przewodzenie ciepła w warstewce płynu przylegającej do powierzchni wymiany oraz konwekcję w głównej masie płynu. Wykład nr 10 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe

Inżynieria Chemiczna i Procesowa Przez konwekcję rozumiemy transport energii w płynie głównie w wyniku ruchu samego płynu. Proces przewodzenia energii przez wymianę cząsteczkową występuje nadal, ale główny ruch energii zachodzi na skutek kontaktu elementów płynu o większej energii z obszarem o mniejszej energii, kontakt ten następuje w wyniku ruchu pakietów płynu ( mieszanie) W przypadku gdy ruch elementów płynu spowodowany jest przez siły zewnętrzne mechanizm taki nazywamy konwekcją wymuszoną Kiedy nie występują siły zewnętrzne w płynie, jego ruch zachodzi wówczas w wyniku różnic gęstości. Występujący w takich warunkach ruch ciepła nazywamy konwekcją swobodną Wykład nr 10 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe

Inżynieria Chemiczna i Procesowa Wyznaczenie wartości współczynników wnikania może być przeprowadzone metodą analityczną. Obejmuje ona poszukiwanie rozkładu temperatur w płynie otaczającym ciało. Ruch płynu w bezpośrednim sąsiedztwie powierzchni jest laminarny i wówczas strumień cieplny od powierzchni musi być szacowany na podstawie gradientu temperatury płynu na powierzchni. Współczynnik wnikania może być definiowany jako stosunek gęstości strumienia cieplnego do różnicy między temperaturą powierzchni a temperaturą płynu: przepływ płynu Tf Tw powierzchnia ciała Wykład nr 10 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe

Inżynieria Chemiczna i Procesowa Wyznaczenie wartości α metodą analityczną opisaną powyżej jest bardzo złożone Ponieważ proces wnikania ciepła obejmuje również przewodzenie ciepła w cienkiej warstwie przy powierzchni ciała, można tu zastosować równanie Fouriera: normalna do powierzchni ciała Poza wymienioną warstewką ruch ciepła można opisać równaniem Newtona: porównując: Wykład nr 10 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe

Inżynieria Chemiczna i Procesowa Wprowadzając oznaczenie: dla układu dwuwymiarowego x, y Równanie tego typu opisuje ruch ciepła na granicy ciała dla y = 0. W przypadku gdy interesuje nas tylko hydrodynamika układu, do pełnego opisu przepływu płynu, należy dysponować składowymi prędkości Ux i Uy oraz ciśnieniem p dla każdego punktu. Równanie ciągłości oraz równanie Naviera – Stokesa wystarczają do znalezienia wymienionych niewiadomych. Podczas rozpatrywania zagadnień ruchu ciepła przez wnikanie należy również wyznaczyć temperaturę T w każdym punkcie pola przepływu. Potrzebne jest zatem dodatkowe równanie podstawowe. Równaniem tym jest równanie różniczkowe wnikania ciepła zwane równaniem energii Wykład nr 10 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe

Inżynieria Chemiczna i Procesowa Przyjmijmy następujące założenia: płyn jest nieściśliwy i jednorodny, nie występują wewnętrzne źródła ciepła, ciepło wydzielane w płynie w wyniku tarcia może być zaniedbane oraz ciepło dostarczane do elementu płynu zużywane jest jedynie na zmianę entalpii. dQy+dy Rozpatrzmy elementarny prostopadłościan o wymiarach dx, dy, dz przyjmując, że płyn ma stałe parametry λ, cp, ρ. y dQz dQx+dx dQx BILANS CIEPLNY ELEMNTU PŁYNU x dQz+dz dQy z Wykład nr 10 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe

Inżynieria Chemiczna i Procesowa Ilość ciepła dostarczona do prostopadłościanu wzdłuż osi x w jednostkowym czasie dt wynosi: Ilość ciepła opuszczająca element w kierunku x: dQy+dy y dQz dQx+dx dQx x dQz+dz dQy z Wykład nr 10 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe

Inżynieria Chemiczna i Procesowa Różnica pomiędzy ciepłem dopływającym a odpływającym w kierunku x : podobnie dla pozostałych kierunków: Wykład nr 10 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe

Inżynieria Chemiczna i Procesowa Stąd całkowita ilość ciepła dostarczona do elementu wyniesie: Zgodnie z założeniem całe to ciepło zużywane jest na zmianę entalpii: przyjmując: Wykład nr 10 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe

Inżynieria Chemiczna i Procesowa Przyrównując oba równania: lub: Wykład nr 10 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe

Inżynieria Chemiczna i Procesowa Wyznaczmy wartość gęstości strumienia cieplnego qx. Ciepło przenoszone jest w płynie zarówno przez konwekcję jak i przewodzenie: [ J / m2 * s ] jeżeli przyjmiemy ux jako składową wektora prędkości na kierunku x i iloczyn ρux [ kg/m2*s ] jako gęstość strumienia masy ( na jednostkę powierzchni normalnej do kierunku przepływu ) wówczas: Wykład nr 10 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe

Inżynieria Chemiczna i Procesowa Sumując: Podobnie dla osi y i z: Wykład nr 10 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe

Inżynieria Chemiczna i Procesowa różniczkując otrzymujemy: sumując: Wykład nr 10 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe

Inżynieria Chemiczna i Procesowa dla cieczy nieściśliwych: Jest to równanie energii opisujące rozkład temperatury w poruszającym się płynie. Wykład nr 10 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe

Inżynieria Chemiczna i Procesowa Korzystając z definicji pochodnej wędrownej: dyfuzyjności cieplnej: i wprowadzając operator Laplacea równanie energii przyjmuje postać: Wykład nr 10 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe

Inżynieria Chemiczna i Procesowa W przypadku gdy nie ma przepływu płynu u = 0 to równanie sprowadza się do różniczkowego równania przewodzenia ciepła: Uwzględniając w wyprowadzeniu szybkość z którą energia mechaniczna jest rozpraszana w energią cieplną pod działaniem sił lepkości ( dyssypacja energii) równanie przyjmuje postać dla układu dwuwymiarowego x, y: Wykład nr 10 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe

Inżynieria Chemiczna i Procesowa Parametry podobieństwa w ruchu ciepła: W odniesieniu do ruchu ciepła parametry podobieństwa procesu mogą być utworzone na podstawie dyskusji równań różniczkowych : ciągłości , ruchu i energii. Rozważmy przypadek ustalonego ruchu ciepła podczas przepływu płynu o temperaturze Tf nad powierzchnią ciała o temperaturze Tw. W takim przypadku w układzie pojawią się siły masowe będące wynikiem unoszenia. Jeżeli obierzemy sobie kierunek x zgodnie z kierunkiem wektora ciążenia, w równaniu Naviera – Stokesa siły masowe w kierunku y będą równe 0 a w kierunku x : współczynnik rozszerzalności objętościowej w tych warunkach równania podstawowe przyjmują postać: Wykład nr 10 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe

Inżynieria Chemiczna i Procesowa Wykład nr 10 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe

Inżynieria Chemiczna i Procesowa Równania te mogą być przekształcone do postaci bezwymiarowych przez wybór pewnych wielkości charakterystycznych, takich jak długość l, prędkość u0 i różnica temperatur ΔT = Tw – Tf oraz zdefiniowanie następujących zmiennych bezwymiarowych: Wprowadzając do równań otrzymujemy: Wykład nr 10 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe

Inżynieria Chemiczna i Procesowa Pojawiają się cztery grupy bezwymiarowe Wykład nr 10 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe

Inżynieria Chemiczna i Procesowa Rozwiązanie powyższych równań względem temperatury bezwymiarowej może być przedstawione za pomocą zależności funkcyjnej: te cztery grupy bezwymiarowe mogą być wykorzystywane jako parametry podobieństwa procesów. Zależność funkcyjna przedstawiana jest często w postaci: Wykład nr 10 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe

Inżynieria Chemiczna i Procesowa Tak więc otrzymane grupy bezwymiarowe są parametrami podobieństwa dla ogólnego przypadku opływu powierzchni ogrzewanej przez ciecz lepką przy czym: liczba Grashofa liczba Eckerta liczba Prandtla liczba Reynoldsa Wykład nr 10 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe

Inżynieria Chemiczna i Procesowa Tak więc bezwymiarowa temperatura : Do otrzymania wartości współczynnika wnikania ciepła wykorzystuje się zależność: wprowadzając zmienne bezwymiarowe: Wykład nr 10 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe

Inżynieria Chemiczna i Procesowa lub po przekształceniu : pojawia się jeszcze jedna grupa bezwymiarowa liczba Nusselta jest to liczba bezwymiarowa o istotnym znaczeniu w ruchu ciepła. Wykład nr 10 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe

Inżynieria Chemiczna i Procesowa biorąc pod uwagę : oraz możemy zapisać zależność funkcyjną postaci: zależność ta pozwala nam wyznaczyć współczynniki wnikania ciepła w układzie. Wykład nr 10 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe

Inżynieria Chemiczna i Procesowa W szczególnych przypadkach równanie to może być wykorzystywane w uproszczonej postaci: W zastosowaniu do konwekcji wymuszonej zaniedbuje się często wpływ sił unoszenia: lub zaniedbując efekty lepkiej dyssypacji energii: W zastosowaniu do konwekcji swobodnej pomija się liczbę Reynoldsa: Wykład nr 10 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe

Inżynieria Chemiczna i Procesowa