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Irreduzibilität

Irreduzibilität. Andreas Flesch. Motivation. i. A. beliebig viele Darstellungen derselben Gruppe Erhöhung der Dimension des Darstellungsraums => immer größere Darstellungsmatrizen zurückführbar auf endliche Zahl von „Grunddarstellungen“?.

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Presentation Transcript

  1. Irreduzibilität Andreas Flesch

  2. Motivation • i. A. beliebig viele Darstellungen derselben Gruppe • Erhöhung der Dimension des Darstellungsraums => immer größere Darstellungsmatrizen • zurückführbar auf endliche Zahl von „Grunddarstellungen“? Irreduzibilität

  3. endliche Gruppe: alle Darstellungen können aus endlicher Zahl „unterschiedlicher irreduzibler“ Darstellungen gewonnen werden Irreduzibilität

  4. Definition • L invarianter Vektorraum bezüglich Darstellung von G: • T reduzibel: es existiert Teilraum L1 (L10, L1L) und orthogonales Komplement L2 von L, so dass beide invariant unter T sind Irreduzibilität

  5. wichtig: L2 auch invariant • andere Lehrbücher: Reduzibilität  Vollreduzibilität • T irreduzibel: es existiert kein solcher Unterraum Irreduzibilität

  6. unitäre Darstellungen • alle T(Ga) unitär: Invarianz von L1 => Invarianz von L2 • Beweis: ei: Basis von L1, ej: Basis von L2 Irreduzibilität

  7. Bem.: Darstellungen in der Physik in der Regel unitär (im Folgenden vorausgesetzt) Irreduzibilität

  8. Folgerungen • Zerlegung von L in invariante und irreduzible Unterräume (nicht eindeutig): • T(q)(Ga):irreduzible Darstellung von G in Lq • Achtung: Summe von Operatoren aus verschiedenen Räumen Irreduzibilität

  9. Darstellungsmatrizen bez. „sortierter“ Basen der Unterräume Lq (Blockdiagonalform): • T(q)(Ga) (dim(Lq)  dim(Lq))-Matrix Irreduzibilität

  10. Blockstruktur wird in der Regel erst nach Basiswechsel (Unterräume Lq) erreicht • Verfahren, invarianten Unterraum zu erzeugen, liefert schließlich auch irreduzible Darstellungen • Darstellung von Vektoren (Zerlegung in „irreduzible“ Komponenten): Irreduzibilität

  11. Beispiel (Gruppe D3) • R1/2: Rotation in x-y-Ebene um 120° bzw. 240° Irreduzibilität

  12. eine mögliche Darstellung (L=R3): Irreduzibilität

  13. Darstellung ist reduzibel • invariante orthogonale Unterräume V1 (x,y) und V2 (z) bilden mit den entsprechenden Teilmatrizen zwei- bzw. eindimensionale Darstellungen von D3 • Darstellung in V2 offensichtlich irreduzibel • V1 auch irreduzibel, da es keine ,  gibt, so dass Basis von V1 und (einfacheres Nachweisverfahren folgt später) Irreduzibilität

  14. Äquivalente Darstellungen • Eigenschaften von Darstellungen folgen aus den irreduziblen Darstellungen • es existieren unendlich viele irreduzible Darstellungen (vgl. Basiswechsel) Irreduzibilität

  15. T(Ga) Darstellung von G in L, A Abbildung von L nach L‘ (gleiche Dimension) • T‘(Ga) Darstellung von G in L‘ • T‘ und T heißen äquivalent • Beweis: z.B. Elliot & Dawber • äquivalente Darstellungen bilden eine Klasse • Maschke‘s Theorem: Jede Klasse äquivalenter Darstellungen für endliche Gruppen beinhaltet unitäre Darstellungen Irreduzibilität

  16. Beweis: z.B. Elliot & Dawber • Bem.: gilt häufig auch für physikalisch relevante unendliche Gruppen • daher Beschränkung auf unitäre Darstellungen • ist T(Ga) Matrix der Darstellung bezüglich Basis ei und eine neue Basis ei‘ gegeben durch Irreduzibilität

  17. dann ist T(Ga) bezüglich der neuen Basis gegeben durch: (äquivalente Matrixdarstellung) • Achtung: Unterschied zu oben, da dort neuer Operator, während hier gleicher Operator bezüglich neuer Basis! • Eigenschaften wie die Eigenwerte der Darstellungsmatrizen sind für alle Elemente einer Klasse gleich. Irreduzibilität

  18. äquivalente Darstellungen werden identifiziert (geeignete Basis => Matrizen identisch), daher nicht äquivalente irreduzible Darstellungen • T, T‘ sind nicht äquivalent, falls es keinen Operator A gibt, so dass gilt: Irreduzibilität

  19.  läuft über nicht äquivalente irreduzible Darstellungen • m: Häufigkeit Irreduzibilität

  20. Orthogonalitätsrelationen für irreduzible Darstellungen

  21. Motivation • bisher: Reduktion auf die Analyse nicht äquivalenter irreduzibler Darstellungen • für diese gelten wichtige Orthogonalitätsrelationen • entscheidend für charakteristische Eigenschaften von Symmetrien (in der Physik) Irreduzibilität

  22. Schur‘s erstes Lemma • T(Ga) irreduzible Darstellung von G in L, A Operator in L,  Konstante, 1 Einheitsoperator • Wenn A für alle Ga mit T(Ga) kommutiert, ist A ein Vielfaches des Einheitsoperators! Irreduzibilität

  23. Schur‘s zweites Lemma • T(1)(Ga), T(2)(Ga) seien irreduzible Darstellungen von G in L1 (Dimension s1) bzw. L2 (Dimension s2), A Operator, der Vektoren aus L2 nach L1 transformiert. Dann gilt, falls T(1) und T(2) nicht äquivalent sind: • Beweise: z.B. Elliot & Dawber Irreduzibilität

  24. Orthogonalitätsrelationen • betrachte im Folgenden nur identische oder nicht äquivalente irreduzible Darstellungen • dann zusammenfassende Darstellung der Lemmata möglich • T()(Ga), T()(Ga) irreduzible Darstellungen von G in L bzw. L, A Operator, der die Vor. der Lemmata erfüllt: Irreduzibilität

  25. Wähle wobei X beliebiger Operator, der Vektoren aus L nach L abbildet. wobei falls T(), T() nicht äquivalent falls T()=T() Irreduzibilität

  26. Dann gilt: da Gc=GaGb für festes a ganz G durchläuft, wenn Gb ganz G durchläuft Irreduzibilität

  27. Wähle Bestimmung von : Falls i=j und = gilt, folgt nach Summation über i: Einsetzen in die Lemmata: Irreduzibilität

  28. Falls T() unitär ist, folgt: da Irreduzibilität

  29. rechte Seite  0 für =,i=j,q=p • dann: • Mittelwert über die Gruppe: Division durch die Anzahl g der Gruppenelemente Irreduzibilität

  30. Orthogonalität: • gilt nur für irreduzible Darstellungen ( => Test auf Irreduzibilität) Irreduzibilität

  31. (Schur) • Folgerung: irreduzible Darstellungen von Abelschen Gruppen sind eindimensional • Beweis: T()(Ga) sei irreduzible Darstellung einer Abelschen Gruppe G, dann gilt: T()(Ga) ist diagonal für alle Ga und somit reduzierbar (Widerspruch!), es sei denn, T()(Ga) hat Dimension 1 Irreduzibilität

  32. s1=1 T(1): s2=1 T(2): T(3): s3=2 • Beispiel (D3) (g=6): D3 hat drei verschiedene irreduzible Darstellungen! Irreduzibilität

  33. Nun gilt z.B.: Irreduzibilität

  34. Eigenschaften von Darstellungen • durch Basiswechsel können unendlich viele Darstellungen einer Gruppe erzeugt werden („Ähnlichkeitstransformation“) • gesucht: von solchen Transformationen unabhängige Eigenschaften • es existieren diverse solche Eigenschaften (z.B. Eigenwerte der Matrizen) Irreduzibilität

  35. Die Spur der Matrix T(Ga) (Summe der Eigenwerte, Summe der Diagonalelemente in beliebiger Basis) (Ga) ist invariant unter Ähnlichkeitstransformationen. Die Menge heißt Charakter der Darstellung. • in der Regel genügt es eine zu betrachten • besonders nützlich: Irreduzibilität

  36. Beweis: • ebenso haben alle Elemente der gleichen Klasse Cp den gleichen Charakter p Irreduzibilität

  37. Beweis: Seien Ga, Gb in der gleichen Klasse. Dann gilt Ga=GmGbGm-1. Dann folgt für beliebige Darstellung T von G: Irreduzibilität

  38. Orthogonalität: Weiterhin: Irreduzibilität

  39. Kriterium für Irreduzibilität: Irreduzibilität

  40. Quellen • J.P. Elliot, P.G. Dawber, Symmetry in physics, Volume 1, Principles and simple applications, MacMillan, London, 1979 • E. Stiefel, A. Fässler, Gruppentheoretische Methoden und ihre Anwendung, Teubner, Stuttgart, 1979 Irreduzibilität

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