Allgemeine Wellenlehre

1. ± v∙t x x0 x1 Allgemeine Wellenlehre Unter einer Welle versteht man eine Störung, die sich mit der Zeit im Raume ausbreitet. Mit dem Transport des Bewegungs-zustandes ist ein Transport von Energie verknüpft. Wellenfunktion Sei x die Ausbreitungsrichtung, und c die Ausbreitungsgeschwin-digkeit. Dann befindet sich die Störung ψ(x0), welche sich zum Zeitpunkt t=0 an der Stelle x0 befunden hat, nach Ablauf der Zeit t an der Stelle x1 = x0± c∙t. Die Form der Auslenkung bleibt erhalten. (fortschreitende Welle) (fortschreitende Welle)

2. ψ(x,t) hängt nicht in unabhängiger Weise von x und t ab, sondern nur in der Kombination Allgemeine Wellenlehre Eigenschaften der Wellenfunktion t = 0 T = t 4 T = t 2 3 = t T 4 Jede Welle, unabhängig von ihrer Form, muß diese Gleichung erfüllen

3. Sie lassen sich als harmonische Schwingungen auffassen, die sich mit der Geschwindigkeit ausbreiten Periode T Wellenlänge λ x x x x t t x x Bewegung des Punktes x Momentanaufnahme zur Zeit t Kreisfrequenz: Wellenzahl: Fortschreitende harmonische Welle: Rückschreitende harmonische Welle: Longitudinalwellen Auslenkung erfolgt in Ausbreitungsgeschwindigkeit Transversalwellen Auslenkung erfolgt senbkrecht zur Ausbreitungsgeschwindigkeit Allgemeines über Wellen Harmonische Wellen

4. 1. Harmonische Oszillatorkette Die Wellengleichung lautet: Die Störung ψ breitet sich mit der Phasengeschwindigkeit v aus: k = Federkonstante m = Masse des Oszillators a =Oszillatorabstand Ist die Störung harmonisch, lautet die Welle: (x = Ausbreitungsrichtung) Phase: Phasengeschwindigkeit: Allgemeines über Wellen Beispiele für Wellen

5. Der Druck an der Stelle x sei p(x), an der Stelle x+dx p(x+dx): Betrachten wir die Bewegung des Volumen-elementes dV =A dx an der Stelle x. Die Druckdifferenz führt einerseits zu einer Verschiebung ξ von dV aus seiner Ruhelage gemäß der Gleichung Allgemeines über Wellen • Longitudinale Wellen: z.B. Schallwellen Beispiele für Wellen Periodische Druckschwankungen breiten sich in festen, flüssigen und gasförmigen Körpern als Schallwellen aus. andererseits nach dem Hook‘ schen Gesetz zu einer Kompression:

6. In Gasen: Longitudunalwellen ist die Kompressibilität bestimmt durch den statischen Druck Pst: Isotherme Zustandsänderung adiabatische Zustandsänderung Beispiel: Luft Metallstab Saite der Spannung T Allgemeines über Wellen Schallwellen Wellengleichung :

7. (A = Leiterquerschnitt n = Elektronendichte q = Ladung) mit: findet man: Allgemeines über Wellen • Transversale Wellen: z. elektromagnetische Wellen Beispiele für Wellen Ein einfacher Schwingkreis bestehe aus einem Kondensator C, dessen Platten über einen kreisförmigen Leiter miteinander verbunden seinen. Der Leiter besitzt auf diese Weise eine Induktivität L. Die Eigenfre-quenz beträgt auf diese Weise . Man kann den Draht so verbiegen, dass die Eigenfrequenz erhalten bleibt. Im Grenzfall erhält man einen linearen Oszillator, den soge-nannten Hertz´schen Dipol. Legt man an ihm eine Wechselspannung mit der Frequenz ω0, werden die elektrischen Ladungen zu Schwingungen angeregt. Dabei strahlen sie elektromagnetische Wellen ab.

8. L C Allgemeines über Wellen Der Hertz‘ sche Dipol

9. Allgemeines über Wellen Die Hertz‘sche Dipolstrahlung

10. + - Phasengeschwindigkeit im Vakuum: Phasengeschwindigkeit im Medium: Berechungsindex n: Allgemeines über Wellen Strahlung eines schwingenden Dipols

11. Sei U das von den Teilchen durchlaufene Beschleunigungspotential. Dann gilt wegen der Energieerhaltung: Elektronen: thermische Neutronen: Allgemeines über Wellen Materiewellen Beispiele für Wellen Nach Louis de Broglie läßt sich jedem Teilchen mit dem Impuls p eine Welle der Wellenlänge λ ( de Broglie Wellenlänge) zuschreiben:

12. x = 0 1. Harmonische Oszillatorkette m M 1. gleiche Kräfte auf beiden Seiten: 2. Energieerhaltung : Allgemeines über Wellen Trifft eine Welle auf die Grenzfläche zweier Medien, mit unterschied-licher Ausbreitungsgeschwindigkeit, wird ein Teil der Welle reflektiert (Reflexion), ein Teil der Welle wird durchgelassen (Transmission). Reflexion und Transmission an der Grenzfläche gelten folgende Bedingungen: Amplitudentransmis-sionskoeffizient Amplitudenreflexions-koeffizient

13. Allgemeines über Wellen Reflexion und Transmission Spezialfälle: m<M 0 < t < 1 -1 < r < 0 m=M t = 1 r = 0 m>M 1 < t < 2 0 < r < 1 Im allgemeinen wird von einer Welle Energie transportiert. Diese ist stets proportional zum Quadrat der Amplitude. Der relative Energie-anteil der reflektierten Welle wird durch den Reflexionsgrad R, der der transmittierten Welle durch den Transmissionsgrad T beschrie-ben:

14. Beispiel: Schallwelle Beispiel: elektromagnetische Welle Allgemeines über Wellen Der Wellenwiderstand Analog zum Ladungstransport im Leiter, der durch den Widerstand bestimmt ist, läßt sich die Ausbreitung von Wellen beschreiben durch den Wellenwiderstand Z des Mediums. Dann gilt an der Grenzfläche zweier Medien mit unterschiedlichem Wellenwiderstand:

15. Amplitude: Phase: konstruktive Interferenz: destruktive Interferenz: Allgemeines über Wellen Zwei Wellen treffen sich zur Zeit t im Punkte P. Sie sollen bis dahin verschie-dene Wege zurückgelegt haben Interferenz von Wellen

16. Gruppe x(t) Schwingung Allgemeines über Wellen Wellengruppe Wir haben bisher nur Wellenzüge unendlicher Länge behandelt. Im allgemeinen hat man es aber nur mit endlichen Wellenzügen zu tun. Beispiel: Ein angeregtes Atom sendet Strahlung aus. Dauer Länge des Wellenzuges: Man kann einen endlichen Wellenzug sich vorstellen als Überlagerung zweier oder mehrerer unendlicher Wellenzüge benachbarter Frequen-zen.

17. x(t) Gruppengeschwindigkeit vgr Phasengeschwindigkeitvph Allgemeines über Wellen Dispersion Phasengeschwindigkeit Gruppengeschwindigkeit Ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit von der Wellenlänge abhängig, spricht man von Dispersion. in dispersiven Medien ist Im allgemeinen ist Es liegt normale Dispersion vor. Es liegt anormale Dispersion vor.

18. Allgemeines über Wellen Sie entstehen bei der Überlagerung von fortschreitenden und rücklau-fenden Wellen. Stehende Wellen • Reflexion am festen Ende (M>>m) • Reflexion am losen Ende (m>>M) Es entsteht eine Entkopplung der zeitlichen u. räumlicher Variablen. Ergebnis: Die einzelnen Massenpunkte schwingen mit konstanter Amplitude, die allerdings vom Ort abhängt. Es findet somit auch kein Transport der Energie statt! Ist der Reflexionskoeffizient r<1 erhält man stattdessen:

19. n= 1,2,3,4…∞ Allgemeines über Wellen Stehende Wellen auf einer schwingenden Saite Bei einer Saite sind die beiden Enden fest eingespannt. Wird eine Schwingung erzeugt, breitet sie sich wellenartig aus. Am Ende wird die Welle reflektiert. Die reflektierte Welle läuft zurück und wird am anderen Ende ihrerseits reflektiert. Es kommt dabei zur Überlage-rung der fortschreitenden und der rücklaufenden Welle. Es entstehen stehende Wellen, wenn die Randbedingungen erfüllt sind: Knoten: bezeichnet einen Punkt mit der Schwingungsamplitude Null Bauch: bezeichnet einen Punkt mit maximaler Schwingungsamplitude Grundschwingung: n=1 wird festgelegt durch die Länge der Saite 2L=λ

20. n= 1,2,3,4…∞ n= 0,1,2,3,4…∞ Allgemeines über Wellen Eine Druckschwankung breitet sich in einem Rohr, wo das Gas nicht ausweichen kann, anders aus als im freien Raum. Dies führt dazu, daß die Schallwelle an einem offenen Ende frei schwingen kann. Sie wird dort so reflektiert, als sei M = 0. Der Reflexionskoeffizient ist positiv. Man beobachtet dann stehende Wellen, wenn gilt: Stehende Welle in einem Rohr

21. Flächen gleicher Phase Q Beobachter • Bewegter Beobachter Der bewegte Beobachter misst n‘ Q Q Beobachter Allgemeines über Wellen Bisher sind wir stillschweigend davon ausgegangen, daß der Erreger der Störung (Sender) und der Beobachter (Detektor) in Ruhe sind. Dopplereffekt Tritt eine relative Bewegung zwischen dem Erreger der Welle und dem Beobachter auf, mißt man eine Frequenzverschiebungt, die mit zunehmender Geschwindigkeit wächst. Man bezeichnet dieses Phäno-men als den Doppler Effekt (siehe Christian Doppler(1803-1853)). • Bewegte Quelle Sei n0 Ausgestrahlte Frequenz, v die Geschwindigkeit. Dann mißt der ruhende Beobachter die Frequenz n

22. R Mach‘ scher Kegel Allgemeines über Wellen Der Mach‘ sche Kegel • Bewegte Quelle mit v > vph

23. Leitbilder der Physik Christian Doppler (1803-1853) 1803 Geboren am 29.11. in Salzburg Studium der Mathematik und Physik 1835 Physikprofessor in Prag 1848 Professor Polytechnik Wien 1853 Gestorben in Venedig an Lungenerkrankung Ausbreitung akustischer und optischer Wellen, Entdeckung des Doppler-Effektes. 25.5.1842: Veröffentlichung des Buches "Über das farbige Licht der Doppelsterne" Die lohnendsten Forschungen sind diejenigen, welche, indem sie den Denker erfreu'n, zugleich der Menschheit nützen. Experimentalphysik II, M. Hein, SS 02