1. Modifikace úmrtnostních tabulekv pojišťovnictví:generační a unisex tabulkyMgr. Petr SmetanaSeminář z aktuárských věd, MFF UK11. 11. 2005

2. Obsah • generační úmrtnostní tabulky • důchodové • nedůchodové • úmrtnostní tabulky bez závislosti na pohlaví (unisex tabulky) • tvorba • výpočty a použití – porovnání • důsledky – Fair Value

3. Generační úmrtnostní tabulkyGenerační úmrtnostní tabulky – proč? 1/2 • tvorba složitějších produktů • nejen životní pojištění (např. výpočet doživotní renty po úrazu) • náročnější na vytvoření a udržování • vývoj výpočetní techniky (lepší možnosti výpočtů) • pro důchodová pojištění • zejména pro (doživotní) zajištění • kvůli změnám v průměrné délce života – např. pro penzijní fondy (potřeba plánovat v desítkách let dopředu – cca 50 let) • penzijní reforma v ČR • potřeba pro co nejpřesnější vyjádření (malé rozdíly mají větší dopad – např. po dobu 40 let)

4. Generační úmrtnostní tabulkyGenerační úmrtnostní tabulky – proč? 2/2 • pro nedůchodová pojištění opačné riziko – smrt • vyšší riziko než standardní úmrtnostní tabulky • bezpečnostní rezerva • omezení underwritingu: • snížení nákladů • zahrnutí větší skupiny osob do pojištění • zjednodušení produktu (např. vytvoření "flat-rate" pravděpodobností z generačních úmrtnostních tabulek • dlouhodobé trvání pojištění • pravděpodobnosti úmrtí v generacích klesají – nižší ceny pro mladší generace

5. Generační úmrtnostní tabulkyProjekce a selekce • projekce • dlouhodobost pojištění x • zjednodušení pojištění • selekce • oceňování zdravotního stavu • vliv underwritingu na strukturu pojistného kmene • zdravější lidé – negativum pro důchodová pojištění, pozitivum pro riziková pojištění) • náklady na underwriting (prohlídky atd.)

6. Generační úmrtnostní tabulkyZdrojová data • úmrtnostní tabulky v českých zemích • od roku 1899 • jen pro některé roky/generace • data po cca 10 letech (do roku 1990) • data po jednom roku (od roku 1990) • od 0 do 103 let • jednoroční intervaly

7. Generační úmrtnostní tabulkyRegrese 1/2 • přes 100 let a přes 10 let (t) • koeficienty , resp. • koeficienty • upravené koeficienty • s rostoucím věkem nerostoucí • úmrtnost žen by měla být nižší než mužů

8. Generační úmrtnostní tabulkyRegrese (graf pro ženy) 2/2

9. Generační úmrtnostní tabulkyBazická tabulka – selekce 1/2 • základní, z ní se bude vše počítat • zde zohlednění selekce (váhy) • Münich Re • Komerční pojišťovna • - skutečný počet zemřelých ve věku x v kalendářním roce t • - celkový počet osob ve věku x v kalendářním roce t

10. Generační úmrtnostní tabulkyBazická tabulka – selekce 2/2 • data z Komerční pojišťovny • cca 136 000 člověkoroků • fxKP = fyKP • fx_init a LinTrend(fx_init) • data z Münich Re • cca 367 000 člověkoroků pro muže, cca 442 000 člověkoroků pro ženy • fxMR = fyMR • celkové váhy dle celkového počtu osob ve kmeni

11. Generační úmrtnostní tabulkySelekce graficky

12. Generační úmrtnostní tabulkyBezpečnostní přirážka • bazické pravděpodobnosti: • bezpečnostní přirážku lze tvořit více způsoby • postup doporučovaný kanadskými pojistnými matematiky: • kde • c je konstanta s doporučenou hodnotou 0,015

13. Generační úmrtnostní tabulkyVýsledné generační pravděpodobnosti • pro pravděpodobnost úmrtí ve věku x a v kalendářním roce t platí: • názornější je ovšem následující tvar (úmrtnost muže z generačního ročníku t):

14. Generační úmrtnostní tabulkyUkázky tabulek a grafů – muži • Příklad: generační pravděpodobnosti úmrtí (muži - ročníky 1952, 1962, 1972)

15. Generační úmrtnostní tabulkyUkázky tabulek a grafů – ženy • Příklad: generační pravděpodobnosti úmrtí (ženy - ročníky 1952, 1962, 1972)

16. Generační úmrtnostní tabulkyPříklady rizikového poj. pro různé generace

17. Unisex úmrtnostní tabulkyÚmrtnostní tabulky nezávislé na pohlaví • unisex tabulky • Proč? • zákaz používání pohlaví při stanovení výše pojistného • důvodem bylo tvrzení o diskriminaci žen (nižší důchody) • Vývoj v EU - diskuse • Závěr: • směrnice o rovném přístupu ke zbožím a službám • požadavky na nepoužívání pohlaví

18. Unisex úmrtnostní tabulkyVarianty konstrukce tabulek • průměr tabulek mužů a žen • vážený průměr tabulek mužů a žen • použití metodologie ČSÚ • společná zdrojová data • metodologie

19. Unisex úmrtnostní tabulkyMetodologie ČSÚ • interní, není veřejně publikována • rekonstrukce této metody • diplomová práce na MFF UK (1996) • úprava metody • zdrojová data • ČSÚ – počty žijících osob • ČSÚ – počty zemřelých osob

20. Unisex úmrtnostní tabulkyPoužité pojmy a zdrojová data • střední stav • průměrný počet jedinců za sledované období • značí se • většinou se bere dle stavu v polovině období • soubor zemřelých třetího řádu • počet zemřelých v daném věku z generací narozených v ve dvou po sobě následujících letech (tj. ti, kteří se daného věku v daném roce právě dožili nebo se ještě těsně nestihli dožít věku o jeden rok vyššího) • značí se

21. Unisex úmrtnostní tabulkyDemografická síť - Lexisův diagram

22. Unisex úmrtnostní tabulkyPostup 1/3 • specifická míra úmrtnosti: • výpočet pravděpodobností úmrtí pomocí Novoselského formule II: • pouze pro věky 1 – 86 let • má tvar • modifikovaný tvar pro věk 0: (NZ je počet narozených v daném roce)

23. Unisex úmrtnostní tabulkyPostup 2/3 • klouzavé průměry sedmého řádu: • pravděpodobnosti dožití: • pro věky 1 – 85 let • vyšší ročníky – ?

24. Unisex úmrtnostní tabulkyPostup 3/3 • extrapolace hodnot pomocí Gompertzovy-Makehamovy formule: • pro věky 85 let a výše • obecný tvar: • metoda Kinga-Hardyho • z maximálních intervalů mezi věky 60 – 83 let: • „intervalová metoda odhadu“ • (posun o rok) 61 – 68, 69 – 76, 77 – 84 • výsledkem jsou hodnoty pro věky 75 – 103 • neostré navázání pomocí vážených přechodů

25. Unisex úmrtnostní tabulkyNavázání (King-Hardy)

26. Unisex úmrtnostní tabulkyDalší spočtené parametry • tabulkový počet dožívajících • tabulkový počet zemřelých • tabulkový počet žijících • počet let života, které má tabulková generace (tedy nikoliv jednotlivec) v daném věku ještě před sebou • střední délka života (naděje dožití)

27. Unisex úmrtnostní tabulkyVýsledek – tabulka, graf • tabulka ve tvaru publikovaném ČSÚ • graf • v logaritmickém měřítku • porovnání se samostatnými pravděpodobnostmi pro muže a pro ženy

28. Unisex úmrtnostní tabulkyGraf – unisex pravděpodobnosti

29. Unisex úmrtnostní tabulkyPraktické výsledky – vzorové tarify • Definice vzorových pojištění: • smíšené pojištění: • pojistnou událostí je smrt pojištěného do určitého (předem daného) věku nebo dožije-li se pojištěný určitého (předem daného) věku • rizikové pojištění (dočasné pojištění pro případ smrti): • pojistnou událostí je pouze smrt do určitého (předem daného) věku • v případě, že ke smrti pojištěného nedojde, nic se nevyplácí • důchodové pojištění: • v případě dožití se určitého věku je pojištěnému od tohoto věku vyplácen (zpravidla) měsíční (zpravidla) doživotní důchod • důchod je stanoven na počátku

30. Unisex úmrtnostní tabulkySmíšené pojištění - nettopojistné U smíšeného pojistného vliv úmrtnostních tabulek není významný, zejména jedná-li se o jednorázové pojistné: potřeba dosáhnout na konci pojištění na cílovou částku převáží riziko smrti.

31. Unisex úmrtnostní tabulkySmíšené pojištění – nettorezerva jednorázová

32. Unisex úmrtnostní tabulkySmíšené pojištění – nettorezerva běžná

33. Unisex úmrtnostní tabulkyRizikové pojištění - nettopojistné U rizikového pojištění použití unisex tabulek nezávislých na pohlaví výrazně zdraží pojistné pro ženy a naopak výrazně zlevní pojistné pro muže.

34. Unisex úmrtnostní tabulkyRizikové pojištění – nettorezerva jednorázová

35. Unisex úmrtnostní tabulkyRizikové pojištění – nettorezerva běžná

36. Unisex úmrtnostní tabulkyDůchodové pojištění - nettopojistné U důchodového pojištění se nejvíce projevuje skutečnost, že se počítá s pravděpodobnostmi úmrtí až do vysokých věků (tj. výrazně se projeví efekt snížení či zvýšení pravděpodobností úmrtí v důsledku toho, že se nepoužije pohlaví jako vstupní parametr). Tento efekty je zde ale samozřejmě opačný než v ostatních případech.

37. Unisex úmrtnostní tabulkyDůchodové poj. – nettorezerva jednorázová

38. Unisex úmrtnostní tabulkyDůchodové pojištění – nettorezerva běžná

39. Unisex úmrtnostní tabulkyJiný způsob tvorby unisex hodnot • pomocí kombinací • na úrovni výsledků – (vážené) průměry pojistných • na úrovni vstupních parametrů – (vážené) průměry pravděpodobnostní úmrtí • např. takto kde k jsou poměry mužů a žen v portfoliu ( 0<= k <= 1 )

40. Unisex úmrtnostní tabulkyVážené průměry – jednorázové smíšené poj.

41. Unisex úmrtnostní tabulkyVážené průměry – běžné smíšené pojištění

42. Unisex úmrtnostní tabulkyVážené průměry – jednorázové rizikové poj.

43. Unisex úmrtnostní tabulkyVážené průměry – běžné rizikové pojištění

44. Unisex úmrtnostní tabulkyVážené průměry – jednorázové důchodové poj.

45. Unisex úmrtnostní tabulkyVážené průměry – běžné důchodové pojištění

46. Unisex úmrtnostní tabulkyFair Value • Tato metoda pracuje s budoucími finančními toky, které z jednotlivých pojistných smluv mohou vyplynout. Zahrnuje v sobě mj.: • skutečné chování pojistného kmene (stornovost, úmrtnost apod.); • skutečnou nákladovost v pojišťovně (náklady na jednotlivé pojistné smlouvy v jednotlivých letech trvání těchto smluv atd.); • očekávané chování finančních trhů (zda a jak bude pojišťovna schopna vydělat investováním svěřených prostředků (jako rozdíl oproti garantované technické úrokové míre)) • Výsledkem je hodnota, kterou by měla pojišťovna považovat za rezervu – je to částka, kterou by měla v budoucnu vydat na pokrytí svých závazků plynoucích z uzavřených pojistných smluv.

47. Unisex úmrtnostní tabulkyKomentáře k Fair Value 1/2 • Složitý způsob výpočtu: • komplikované modely (náročná kontrola správnosti) • část portfolia • Nepřesnost výpočtu: • zprůměrované portfolio • Časová náročnost výpočtu: • nedostatečné softwarové nástroje (důvodem je např. cena) • použití např. MS Excelu (rychlost výpočtu není dostatečná)

48. Unisex úmrtnostní tabulkyKomentáře k Fair Value 2/2 • Nestálost výpočtu: • vstupní parametry jsou nepřesné - jsou použity parametry, které jsou pouze odhadovány • nutné opakování pro zmírnění nepřesností (dále jsou též prováděny testy citlivosti) • porovnání spočtené hodnoty FV s "klasickým" výpočtem bruttorezervy pomocí standardních aktuárských vztahů • aktuárské výpočty jsou stabilní (nemění se v čase) – kvůli obezřetnosti jsou porovnávány s FV • např.: Jsou-li spočtené hodnoty FV větší než spočtené hodnoty klasických rezerv, použijí se do bilance (účetnictví, výkazů atd.) hodnoty spočtené pomocí FV. Jsou-li však spočtené hodnoty FV menší než spočtené hodnoty klasických rezerv, z důvodu obezřetnosti jsou do výkazu použity vyšší hodnoty spočtené klasicky.

49. Unisex úmrtnostní tabulkyTesty citlivosti FV • Některé důvody pro provádění testů citlivosti: • eliminace nestálosti • upřesnění výsledků • závislost na vstupních parametrech • kdy má smysl se je snažit zpřesnit a kdy ne • Způsoby provádění testů citlivosti: • změna vstupních parametrů • změna pouze jednoho parametru x změna více parametrů najednou • multiplikativní efekty • Odborná směrnice č. 3 České společnosti aktuárů • varianty testů pro různé vstupní parametry • doporučené testy citlivosti

50. Unisex úmrtnostní tabulkyDalší test citlivosti FV • Směrnice EU • hrozící možnost implementace v ČR • test dopadů v ČR – na jaké typy pojištění jsou největší? • Použití unisex úmrtnostních tabulek • shodné pojistné i rezervy pro muže i ženy • Skutečná úmrtnost mužů a žen bude různá • výhoda: více mužů nebo více žen? • Test citlivosti na strukturu portfolia • změna poměru mužů a žen • relativní i absolutní změny