第 3 章、图形的相似
第 3 章、图形的相似. 图形的相似 ①了解比例的基本性质，了解线段的比 1 成比例线段，通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割。 ②通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积的比等于对应边比的平方。 ③了解两个三角形相似的概念，探索两个三角形相似的条件。 ④了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小。. ⑤ 通过典型实例观察和认识现实生活中物体的相似，利用图形的相似解决一些实际问题 ( 如利用相似测量旗杆的高度 ) 。
第 3 章、图形的相似
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图形的相似 ①了解比例的基本性质，了解线段的比1成比例线段，通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割。 ②通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积的比等于对应边比的平方。 ③了解两个三角形相似的概念，探索两个三角形相似的条件。 ④了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小。
⑤通过典型实例观察和认识现实生活中物体的相似，利用图形的相似解决一些实际问题(如利用相似测量旗杆的高度)。 ⑥通过实例认识锐角三角函数(sinA，cosA，tanA)，知道300，450，600角的三角函数值；会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它对应的锐角。 ⑦运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题。
图形与坐标 (1)认识并能画出平面直角坐标系；在给定的直角坐标系中，会根据坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标。[参见例4] (2)能在方格纸上建立适当的直角坐标系，描述物体的位置。[参见例5] (3)在同一直角坐标系中，感受图形变换后点的坐标的变化。[参见例6] (4)灵活运用不同的方式确定物体的位置。[参见例7]
一、线段的比 • 1.如果选用一个长度单位量得两条线段a 、b 的长度分别为m 、n ，那么两条线段的比为a：b=m：n或 其中a,b分别叫做这个线段比的前项和后项.
四条线段a,b,c,d成比例,记作a∶b=c∶d. 或 其中a,d为比例外项;b,c为比例内项.d称为a,b,c的第四比例项． 2.在四条线段中,如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比,那么这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段． 特殊情况：若作为比例内项的两条线段相同,即a∶b=b∶c(或表示为b2=ac),则线段b叫a,c的比例中项．
3.比例基本性质 比例的灵活变形可助你达到希望的颠峰: 横竖、上下都可比，惟有交叉只能乘. 4.合比性质: 5.等比性质:
6.黄金分割 A C B 如图4-5,点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果 那么称线段AB被点C黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比 (或BC与AC的比 )称为黄金比.
二、图形的相似 • 1.形状相同的图形 • ①表象：大小不等，形状相同. • ②实质：各对应角相等、各对应边成比例. • 2.相似多边形 • 各对应角相等、各对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比(相似比与叙述的顺序有关). • 3.相似多边形性质： • ①相似多边形的对应角相等,对应边成比例. • ②相似多边形周长的比等于相似比.
③相似多边形对应对角线的比等于相似比. • ④相似多边形对应三角形相似,且相似比等于相似多边形的相似比. • ⑤相似多边形对应三角形面积的比等于相似多边形的相似比的平方. • ⑥相似多边形面积的比等于相似比的平方.
4.多边形与三角形 • ①三角形是边数最少的多边形. • ②相似三角形可类比相似多边形来学习. • 5.相似三角形 • 三个对应角相等、三条对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比叫做相似比(相似比与叙述的顺序有关). • 6.相似三角形性质： • ①相似三角形的对应角相等,对应边成比例. • ②相似三角形对应中线的比,对应角平分线的比，对应高的比,对应周长的比都等于相似比. • ③相似三角形面积的比等于相似比的平方.
A D E E B C D A B C • 7.相似三角形与全等三角形的关系： • 相似比等于1的两个三角形全等. • 8.两个极具代表性的益智“模型”： “A”型和“X”型相似三角形. • 若△ADE∽△ABC,则 • ∠DAE=∠BAC,∠ADE=∠ABC,∠AED=∠ACB.
三、三角形相似的判定方法 A A D B E C B D E C E D A B C • 1.定理 两角对应相等的两个三角形相似. • 2.推论1平行于三角形一边直线截其它两边(或其延长线),所截得的三角形与原三角形相似; • 如图:如果DE∥BC,那么△AＤＥ∽△ＡＢＣ • 2.推论1平行于三角形一边直线截其它两边(或其延长线),所截得的三角形与原三角形相似; • 如图:如果DE∥BC,那么△AＤＥ∽△ＡＢＣ • 3.推论2 平行于三角形一边直线截其它两边(或其延长线),所得的对应线段成比例.如果DE∥BC，
C ·· · A B · ·· D • 4.定理 三边对应成比例的两个三角形相似. • 5.定理 两边对应成比例,且夹角相等的两个三角形相似; • 6.定理 斜边直角边对应成比例的两个直角三角形相似. • 7.模型“双垂直”三角形 • 直角三角形斜边上的高分直角三角形所成的两个直角三角形与原三角形相似. • △ACD∽△CBD∽△ABC. • 认识结论:∠A=∠DCB;∠B=∠ACD;
B E D O B C F F A C O E A D 三、相似图形的特例图形的位似 • 1.如果两个图形不仅相似,而且每组对应顶点所在的直线都经过同一个点,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心,这时的相似比又称为位似比. • 2.性质： • 位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.
E′ A′ D′ G′ B′ A A C′ F′ ●P ●P B B G G F′ C′ P C C F F O G′ B′ D D E E A′ D′ E′ • 3.如何作位似图形(放大). • 4.如何作位似图形(缩小). • 5.体会位似图形何时为正像何时为倒像.
A A E S R D E B C P D Q B C • 6.如图,添加一个条件,使则△ABC∽△AED,则这条件可以是. • 7.如图所示,在△ABC中,底边BC=60cm,高 AD=40cm,四边形PQRS是矩形形. • (1)△ASR与△ABC相似吗?为什么? • (2)求矩形PQRS的边长.
四、直角三角形的边角关系 B ∠A的对边 ┌ A C ∠A的邻边 • 1.正切的定义:如图: Rt△ABC中,锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记作tanA,即 i α • 3.坡面与水平面的夹角(α)称为坡角,坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度i(或坡比),即坡度等于坡角的正切. • 2.余切的定义:∠A的正切的倒数叫做∠A的余切,即Rt△ABC中,锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切,记作cotA,即
B ∠A的对边 ┌ A C ∠A的邻边 • 4.正弦的定义:在Rt△ABC中,锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦,记作sinA,即 • 6.锐角A的正弦,余弦,正切和余切都叫做∠A的锐角三角函数. • sinA,cosA,tanA,cotA是在直角三角形中定义的(注意数形结合,构造直角三角形).它的实质是一个比值其大小只与∠A的大小有关. • 5.余弦的定义:在Rt△ABC中,锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦,记作cosA,即
7.互余两角之间的三角函数关系： • ①sinA=cosB,或sinB=cosA. • 一个锐角的正弦等于它的余角的余弦,即 • ②cosA=sinB,或cosB=sinA. • 一个锐角的余弦等于它的余角的正弦,即 • ③tanA=cotB,或tanB=cotA. • 一个锐角的正切等于它的余角的余切,即 • ④cotA=tanB,或cotB=tanA. • 一个锐角的余切等于它的余角的正切,即 A c b a ┌ B C • 8.同角之间的三角函数关系： • ①平方和关系:sin2A+cos2A=1. • ② ③商的关系:
300 450 ┌ ┌ 450 600 2 1 1 1 • 9.特殊角(300,450,600角)的三角函数值. 特殊角的三角函数值表 • 10.三角尺三边之间的比值关系:
B c a ┌ A C b • 11.三角函数的有关计算： • ①由锐角求三角函数值. • ②由锐角的三角函数值反求锐角. • ③运用特殊角(300,450,600角)的三角函数值和计算器进行计算. • ④由于计算器的型号与功能的不同,按相应的说明书使用. • 12.解直角三角形： • 工具:① a2+b2=c2.② A+B=900. • ③ • 类型:①已知一边一角解三角形;②已知两边解三角形.
A A A A 600 300 450 ┌ 300 ┌ 450 600 ┌ B 20 C D B 20 C D B 20 C D 4cm 450 300 B C A ┌ ┌ D β α a B C D 13.几种模型：根据图中所示数值求AD • 1. • 2. • 3. • 4. • 5. • 14.三角函数的应用 • (1)解直角三角形应用题; • (2)测量物体的高度.
