Statistique, licence

1. Statistique, licence Sixième séance

2. Analyse de variance Pour plans à mesures répétées

3. Plan • Position du problème • Utilité des plans à mesures répétées • Les conditions d’application • La beauté est-elle une notion universelle? • La régression vers la moyenne • Évolution • Qu’est ce qu’une bonne blague?

4. 1. Problématique situation propice à l’anova répétée.

5. Mesures répétées • Lorsqu’on mesure plusieurs fois de suite la « même » grandeur sur des sujets, on est confronté à une incohérence. • Si par exemple on mesure le QI dans trois situations, et que les sujets passent les trois situations… • On pourra dire qu’il y a 3 QI (variables), perdant ainsi l’équivalence des QI. • On pourra dire qu’il y a une variable QI et une var situation, mais alors quels sont les individus? • On utilisera une description incorrecte mathématiquement, mais facile à comprendre en parlant de variable intra-sujets et inter-sujets.

6. Utilisation courante • Cette situation est ce qu’on appelle un plan à mesures répétées pour des raisons évidentes… • On utilise souvent l’anova pour plans à mesures répétées quand on mesure plusieurs fois une même grandeur pour en percevoir l’évolution au cours du temps — ou dans diverses situations —, pour chaque sujet. • Là où une une anova simple échouerait du fait de la variabilité inter-sujet, celle-ci pourra réussir, car on peut dans ce cas supprimer les facteurs personnels.

7. Décomposition on peut se débarrasser des variations sujet. Total Inter-sujet (facteur sujet) Intra-sujet Erreur Facteur

8. 2. Utilité Des plans à mesures répétées

9. Supposons que l’on veuille étudier l’évolution des opinions vis-à-vis du maoïsme d’un groupe de jeunes a priori favorables, au cours d’une semaine de présentation. On mesure l’opinion par une valeur numérique X. Si l’on veut utiliser une anova simple, on peut interroger un échantillon le premier jour, un autre le second jour, et un troisième le dernier jour par exemple. Si l’on trouve des différences, elles seront peut-être peu significatives… Exemple-fiction

10. Anova simple les moyennes diminuent au cours du temps, mais cela pourrait être le fruit du hasard. les barres d’erreurs montrent en effet une grande variation pour chaque groupe (jour).

11. Anova simple l’hypothèse d’homogénéité des variances se tient. la différence entre les groupes n’est pas significative. On ne peut pas conclure.

12. En fait, on peut imaginer deux cas limites. L’un des cas est le suivant: les variations prises sujet par sujet sont hiératiques et peu prévisibles. Dans ce cas, les mesures répétées donneront le même résultat. L’autre cas limite est celui où, bien qu’il y ait de grandes différences entre les sujets, l’effet du facteur temps est presque le même sur les différents sujets. Dans ce cas, les résultats pourraient être très différents! Anova répétée

13. Anova répétée il y a des différences significatives entre les sujets. Comparez le Scsujet au Sctotal!

14. Anova répétée quand on a annulé le facteur sujet — très important mais pour nous inintéressant — on arrive à conclure à un effet très significatif du temps.

15. Les plans à mesures répétées permettent de s’affranchir des turbulences de la VD engendrées par le fait que les humains diffèrent. Ils sont précieux pour détecter un effet un peu fin masqué par les différences individuels. D’un autre côté, il va de soi que toutes les études ne se prêtent pas à ce genre de plan d’expérience. En particulier, il est parfois gênant de faire passer plusieurs fois le même test. Dans le cas de situations différentes, on pensera à contrebalancer pour l’ordre. Pour conclure

16. 3. Conditions d’application

17. On dispose de: Une VD numérique X Un facteur intra-sujet F Un facteur « sujet ». On s’interroge sur les effet des facteurs F et Sujet sur la VD X. On peut également avoir, en plus des facteurs déjà mentionnés, des facteurs inter-sujets. CA

18. Conditions d’applications • Les sujets doivent être indépendants (pas les observations !) • Les écart-types des différents relevés (i.e. de la VD pour chaque modalité du facteur F) doivent être homogènes • Les covariances doivent également être homogènes • Les distributions doivent être normales Indépendance des sujets Homogénéité des variances Homogénéité des covariances normalité

19. 4. La beauté Universelle, culturelle ou personnelle?

20. Présentation • Chaque sujet a attribué une note de beauté à chacun des six visages présentés. Il y a 111 sujets. • La note est une valeur comprise entre 0 et 10. • Parmi les questions que l’on peut se poser à partir de cette expérience, étudions celle-ci : dans quelle mesure la notion de beauté est-elle personnelle ?

21. Portrait A Portrait B Portrait C

22. Portrait D Portrait E Portrait F

23. Présentation Dans la pratique, on procède ainsi pour simplifier la présentation : • On dit que les individus sont les sujets. • Que la VD est « la note » X. • Il y a deux facteurs catégoriels : • Le visageV, variable intra-sujet • Le facteur « sujet » S

24. Formalisation de la question • Notre question était : la note est-elle le résultat d’un processus personnel ou plutôt universel/culturel ? • Pour y répondre, nous réécrirons la question de cette manière : « La note dépend-t-elle principalement du facteur sujet ou du facteur visage ? »

25. Formalisation de la question • Si la beauté est essentiellement personnelle, la note doit dépendre presque uniquement du facteur « sujet », et les variations de X peuvent alors s’expliquer presque entièrement par la variation due à S. • Dans le cas contraire, elle doit dépendre du « vrai » facteur : V. • Pour le savoir, nous utilisons une anova particulière, dont le principe est le même que pour l’anova simple : l’anova pour plans à mesures répétées.

26. Tableau des données brutes

27. Tableau

28. Interprétation • Les F se comparent à ceux de la table. • Pour le F (S), il faut lire 110 et 550 dl (soit 1.57) • Pour le F (V), il s’agira de 5 et 550 dl (soit 3.05) • Dans les deux cas, les F observés sont significatifs à 1% (et même, en fait, à 0.01%)

29. Interprétation On en déduit tout naturellement que : • La note dépend « certainement » (et non pas « fortement ») du visage présenté • Elle dépend également du sujet (juge) Il faudra affiner pour pouvoir répondre à la question de départ

30. Remarques • On ne teste habituellement pas TOUT. • En général, il faut bien réfléchir avant l’expérience à ce qui sera nécessaire et ce qui ne le sera pas. Plus on calcule de statistiques F, moins le résultat final est fiable, pour un risque par test fixé. • Dans notre cas, il faut calculer les deux F possibles, mais on ne calcule habituellement que le F (facteur), car la variation inter-sujet ne nous intéresse pas.

31. Grandeur des effets • Comme dans le cas général, on peut affiner la compréhension des effets en calculant les grandeurs des effets. • Par exemple SC(S)/SC(total)=75%, ce qui indique que 75% de la variation totale (sur l’échantillon) pour les notes est attribuable au facteur sujet • D’autre part, SC(V)/SC(total)=23%, si bien que 23% de la variation totale est attribuable au facteur visage.

32. Grandeur des effets • Cela laisse penser que la notion de beauté est avant tout personnelle, car les facteurs individuels expliquent une plus grande partie de la variation. • Mais il faudrait en réalité étudier les rangs plus que les notes. • Les différences inter-sujet observées sont en effet en partie dues à l’interprétation des codes de jugement. (notes attribuées). • L’étude avec les rangs constituent le test de Friedman, et il montre que la beauté est plutôt culturelle ou universelle.

33. 5. Régression Vers la moyenne

34. Eau et fièvre • Sélectionnons un échantillons de patients ayant de la fièvre (au moins 38°). • Donnons-leur de l’eau de source. Nous les informons qu’ils boivent de l’eau de source (il n’est pas ici question d’effet placebo). • Reprenons, deux jours plus tard, leur température. Dans la plupart des cas, la température a baissé! Halte aux coûteuses aspirines! Sus au paracétamol!

35. Eau et fièvre • Comment expliquer ce résultat surprenant, déjà constaté pour les tailles par Galton? • Il s’agit de la régression vers la moyenne, un phénomène purement mécanico-statistique.

36. Eau et fièvre Explication intuitive La température dépend de plusieurs facteurs (virus, etc.) dont la plupart sont aléatoires et varient au cours du temps. En sélectionnant des personnes ayant de la fièvre, on choisit un moment où ces facteurs vont tous dans le sens d’une augmentation de température. Il est probable que quelques heures plus tard, certains auront changé. Explication mathématique On note T la température en début d’expérience, et T’ en fin d’expérience. L’évolution de température est évidemment liée négativement à T, surtout si T et T’ sont indépendants…

37. 6. A la main Évolution de la dépression en cure

38. Présentation • Des patients dépressifs suivent une thérapie. On relève chaque mois un score X de gravité de la dépression • Le but est de savoir si l’évolution est plutôt positive au cours du temps • On a une VD numérique : X • Un facteur S (sujet) et T (temps) catégoriel (on mesure X quatre fois, T a donc quatre modalités) • Chaque patient passe plusieurs fois le test donnant X.

39. Question • Nous sommes dans le cadre d’une anova pour plans à mesure répétées. • La question est de savoir si T a un effet sur X. • L’hypothèse nulle serait « X ne présente en moyenne aucune modification au cours du temps » • L’hypothèse alternative « X varie au cours du temps »

40. Données brutes

41. Mieux vaut répéter • Si on étudiait seulement les moyennes de la VD chaque mois, sans tenir compte du facteur sujet, on aurait à comparer les moyennes de distributions très étalées • En effet, les valeurs diffèrent beaucoup d’un sujet à l’autre • Grâce à l’anova pour plans à mesures répétées, on peut annuler la variation sujet • Intuitivement, on peut comprendre les choses de la manière suivante :

42. Méthode simple

43. Méthode répétée Chaque courbe représente un sujet. On suit l’évolution pour chaque sujet

44. Conditions • On supposera • L’indépendance des sujets • La normalité • L’homogénéité des covariances et des variances

45. Plan • Le but est de calculer F pour le facteur temps (T) • Notre question est en effet de savoir si T a un effet sur la VD X. • Pour cela, on doit faire presque tous les calculs, en commençant par les SC

46. FC • Commençons par calculer le facteur de correction FC.

47. SC total • On peut ensuite calculer SC total

48. SC inter-sujet • Le SC inter-sujet se calcule facilement

49. SC(T) • Un autre SC est facile : le SC entre les mois SC(T)

50. Autres SC • Les autres SC se déduisent par différences.