Fondamenti di Elettromagnetismo

1. Fondamenti di Elettromagnetismo Prof. Marco Farina Dipartimento di Bioingegneria, Elettronica e Telecomunicazioni

2. Modalità Esami • Prova scritta • “Auto-correzione” • Prova orale

3. Testi consigliati • R. Feynman, La Fisica di Feynman, vol 2: Elettromagnetismo e Materia, Zanichelli • Ramo-Whinnery-Van Duzer: Campi e Onde nell’elettronica delle Telecomunicazioni • Halliday-Resnick, Fondamenti di Fisica • Schaum 48: Elettromagnetismo, McGraw Hill

4. Un po’ di storia... • William Gilbert (1544-1603): “De Magnete”; la ‘terrella’; distinzione fenomeni elettrici e magnetici; • Otto Von Guericke (1602-1686): ingegnere; studi sul vuoto; primo “generatore” con sfera di zolfo • Stephen Gray (1666-1736): conduttori ed isolanti • Charles Dufay (1698-1739): chimico; elettricità “vetrosa” e “resinosa” • Pieter Van Musschenbroek (1692-1761) di Leida: fisico; il primo condensatore • John Canton (1718-1772): induzione elettrica • Benjamin Franklin (1706-1790): tipografo, giornalista, inventore, politico… Conservazione della carica, proprietà dei corpi appuntiti • Charles Augustine de Coulomb (1736-1806): ingegnere; legge quantitativa

5. Un po’ di storia... • Henry Cavendish (1731-1810): più famoso per contributi in chimica; analogo di Coulomb, e studi su capacità di condensatori di forme diverse (definizione di capacità) • Joseph Louis Lagrange (1736-1813): il concetto di potenziale • Pierre Simon De Laplace (1749-1827) • Siméon Denis Poisson (1781-1840) • George Green (1793-1841) • Carl Friederich Gauss (1777-1875) • Alessandro Volta (1745-1827): elettroforo, elettrometro, eudiometro, pila… • Hans Christian Oersted (1777-1851): effetti magnetici delle correnti • André-Marie Ampère (1775-1836): leggi dell’azione meccanica tra correnti elettriche • Michael Faraday (1791-1867): attività colossale (leghe dell’acciaio, rotazioni elettromagnetiche, liquefazione dei gas, vetri ottici, scoperta del benzene, induzione elettromagnetica, decomposizione elettrochimica, scariche nei gas, benzene, elettricità e magnetismo, diamagnetismo…. Il più grande fisico sperimentale del XIX secolo

6. Un po’ di storia... • James Clerk Maxwell (1831-1879):teoria dell’elettromagnetismo (“Treatise on electricity and Magnetism”), termodinamica e meccanica statistica. Maxwell intuì che la luce era una manifestazione del campo elettromagnetico • Da una lettera di Faraday a Maxwell nel 1857: “...C’è qualcosa che mi piacerebbe chiederle. Quando un matematico impegnato sulla ricerca delle azioni e sugli effetti fisici è giunto alle sue conclusioni, non è possibile che queste ultime siano esposte nel linguaggio di tutti i giorni, con la pienezza, chiarezza e precisione che esse hanno nelle formule matematiche? E, in caso affermativo, il farlo non sarebbe un gran dono verso uno come me? Tradurle dal linguaggio dei geroglifici in cui sono espresse, così che anche uno come me vi possa lavorar su per mezzo di esperimenti….” • Heinrich Hertz (1857-1894):Generazione/rivelazione onde EM: prove della teoria di Maxwell

7. Struttura dell’atomo • Negli anni ‘30 J.J. Thomson, Ernest Rutherford, Niels Bohr e James Chadwick sviluppano il modello di tipo “planetario”, con un nucleo di protoni e neutroni circondato di una nube di elettroni Z = numero atomico A = numero di massa Nel Nucleo: Z protoni A – Z neutroni Z elettroni esterni 10-10 m 10-15 m

8. Struttura dell’atomo • …nessuna possibilità di trovarci sopra dei lillipuziani ... • …non prendete troppo sul serio l’idea planetaria... • Del resto: perché un elettrone non cade nel nucleo? • Non c’è spiegazione nella meccanica classica • La spiegazione è nel “principio di indeterminazione” della meccanica quantistica, che stabilisce che alcune quantità (coniugate) non sono misurabili simultaneamente con precisione arbitraria; l’incertezza nella misura di grandezze coniugate è tale che il loro prodotto non può essere migliore di una costante (legata alla costante di Plank) • (a meno di qualche fattore 2 e p…) • Se elettrone e protone in un atomo di idrogeno finissero l’un l’altro, la quantità di moto tenderebbe a crescere fino ad infinito: il raggio dell’idrogeno è un compromesso tra la forza attrattiva e l’energia cinetica imposta dal principio di indeterminazione

9. Struttura dell’atomo • la quantità di moto sarebbe dell’ordine • supponete che a sia il “raggio” dell’atomo • e l’energia cinetica • La forza elettrica attrattiva (lo vedremo più in là oggi) darà all’elettrone un’energia potenziale • L’energia totale è la somma dei due: vediamo a che distanza a l’energia è minimizzata • raggio di Bohr….

10. Struttura dell’atomo • Negli anni ‘50 Reines e Cowan dimostrano l’esistenza di un ulteriore tipo di particella, predetta da Wolfgang Pauli negli anni 30: il Neutrino • Alla fine degli anni ‘30 nei raggi cosmici si identifica un cugino pesante dell’elettrone, il Muone (200 volte più pesante, per il resto identico all’elettrone) e più tardi, negli accelleratore di particelle, un altro cugino, Tau • Nelle collisioni ad altissime energie, volte riprodurre condizioni successive al Big Bang, si identificano due parenti del neutrino, denominati muon-neutrino e tau-neutrino • Neutrini, muoni e tau non sono costituenti della materia, e quelli ottenuti negli accelleratori sono di solito particelle effimere.

11. Struttura dell’atomo • Nel ‘68 a Stanford si scopre che protoni e neutroni NON sono fondamentali: essi sono composti da combinazioni di QUARK (QUestion mARK) denominati SU e GIU’ (Up/Down), che hanno carica elettrica +2/3 e -1/3 rispetto alla carica dell’elettrone rispettivamente • ci sono 2 UP ed 1 Down in un protone e viceversa in un neutrone • Particelle non elementari composte da combinazioni di Quark vengono anche definiti Adroni, che si distinguono dai Leptoni (elettrone, muone, tau) che non hanno altri costituenti e non sono sensibili alla Forza Forte

12. “Zoologia” delle particelle Particelle elementari (Fermioni) +antiparticelle (identiche con carica opposta)

13. “Zoologia” delle particelle • Combinazioni di Quark danno origine a: • - Barioni, composti da 3 quark (come neutrone e protone) • - Barioni esotici (4, 5 quark) • - Mesoni (quark+anti-quark): pioni, kaoni….. Per una lista aggiornata ad oggi: http://pdg.lbl.gov/2004/listings/bxxxcomb.html

14. Le Forze • Ad oggi tutte le interazioni sembrano ricondursi a 4 forze fondamentali • Interazione Elettromagnetica • Interazione Gravitazionale • Interazione Nucleare Forte • Interazione Nucleare Debole

15. Le Forze e i quanti • “C’era un tempo in cui i giornali scrivevano che solo 20 persone avevano capito la teoria della relatività. Non credo che tale tempo sia mai esistito. Potrebbe essere esistito un tempo in cui un solo uomo l’aveva capita perché l’unico a concepirla, prima di scrivere il suo articolo. Ma dopo aver letto l’articolo molti capirono la teoria della relatività, in un modo o nell’altro, sicuramente più di venti. D’altro canto posso affermare con sicurezza che nessuno capisce la meccanica quantistica” • Richard Feynman

16. Il paradosso alla fine del 1800 • Data una cavità metallica, si valutano le soluzioni dell’insieme equazioni di Maxwell+condizioni al contorno • Si verifica che solo un numero discreto di “modi” sono possibili, ovvero onde che hanno in ciascuna direzione un numero d’onda pari ad un multiplo discreto di p/L, se L è la dimensione in tale direzione della cavità • Tuttavia il numero di modi possibili, sebbene discreto, è infinito • L’uso della termodinamica classica (Rayleigh e Jeans) portava a prevedere che, ad una data temperatura, tutti i modi venissero eccitati con la stessa ampiezza: l’energia totale del sistema (integrale su tutti i modi)=infinito!

17. L’ipotesi di Planck • Energia fornita per pacchetti interi (quanti) • L’energia minima di un’onda è proporzionale alla frequenza dell’onda stessa • Nella cavità alcuni modi avranno minima energia associata (il pacchetto più piccolo) troppo elevata per essere eccitati: ad una data temperatura solo un numero finito di modi è eccitato!

18. L’ipotesi di Planck: applicazione alla radiazione di corpo nero • Occorreva solo stabilire sperimentalmente la costante di proporzionalità: la costante di Planck: h ~ 6.6 10-34 Js • Legge di Rayleigh-Jeans • Legge di Planck • Con l’aggiustamento di un solo parametro si aveva un accordo perfetto con l’esperimento: premio Nobel 1918

19. Effetto Fotoelettrico • Un metallo colpito da luce, può emettere elettroni • Se si aumenta l’intensità della luce, non aumenta l’energia cinetica degli elettroni, ma il numero di elettroni emessi • Se si aumenta la frequenza della luce incidente, aumenta l’energia cinetica degli elettroni • Spiegazione (Einstein; 1905): la luce ha natura corpuscolare (fotoni) che hanno energia E=h f

20. Quindi corpuscoli o onde ? Credits:Dr. Tonomura Come reinterpretare i fenomeni luminosi in termini corpuscolari: Feynman http://vega.org.uk/video/subseries/8

21. Il nostro corso Tornando alle interazioni • I fotoni sono i quanti o i “mediatori” (particelle) delle forze elettriche (elettromagnetiche); quali per le altre forze?

22. Esistono fattori comuni? • Molti fisici teorici sono alla ricerca di una TOE (Theory Of Everything) cercando una spiegazione comune a tanta varietà di particelle • Apparentemente gravità e le altre interazioni sottostanno a leggi inconciliabili (relatività generale e meccanica quantistica) • Le due teorie più promettenti sono quelle dei Twistors (Roger Penrose, 1970) e quella delle Stringhe (1968-1970 circa) • Nel 2003 Edward Witten ha collegato le due teorie, e in gennaio 2005, ad Oxford, la prima conferenza dedicata alla convergenza delle due teorie… • Morale: Non tutto ciò che studiate è assodato, statico, immutabile! Da ingegneri, applicherete concetti che sono consolidati da un punto di vista operativo; concetti classici (equazioni di Maxwell) o quantistici (dispositivi, laser); senso critico!

23. Carica elettrica • La carica elettrica (q) è la proprietà delle particelle sensibili alla forza (interazione) elettromagnetica, così come la massa (o carica) gravitazionale (m) è la proprietà delle particelle sensibili alla forza gravitazionale) • La carica di una particella non dipende dal suo stato di moto: essa è uno scalare invariante, indipendente dal sistema di riferimento in cui viene misurata (principio di invarianza della carica elettrica) • La carica elettrica elementare è quella dell’elettrone (e): scoperta da JJ Thomson nel 1897, fu misurata da R. Millikan tra il 1909 e il 1917

24. Quantizzazione della carica • La carica elettrica osservata sperimentalmente è sempre un multiplo intero (positivo o negativo) di e • I quark (carica frazionaria) non compaiono mai da soli (principio di schiavitù asintotica) ma in combinazioni che consentono di non violare tale regola

25. Neutralità della carica In un sistema isolato la somma algebrica delle cariche elettriche è costante Benjamin Franklin [1706-1790] La materia è macroscopicamente neutra A livello atomico le forze di attrazione tra cariche opposte sono formidabili

26. q1 ur r q2 Quantificazione interazione tra cariche Charles Augustin de Coulomb [1736-1806] • Legge di Coulomb (1785) • Nel vuoto

27. q1 r-r’ r q2 O r’ Legge di Coulomb • Se l’origine non coincide con una delle due particelle • Nota: permettività o permeabilità elettrica nel vuoto

28. Particella Simbolo Massa (kg) Carica (e) elettrone e me= 9.109110-31 - e protone p mp= 1.672510-27 +e neutrone n mn= 1.674810-27 0 mp/me= 1836 mn/mp= 1.0014 Ma quanto è “vigorosa” la forza elettrica? • Confrontiamo l’attrazione gravitazionale (terra su protone) e quella elettrica di due protoni a 10000km di distanza, sapendo che la massa di un protone (vedi tabella)

29. Incredibilmente più forte della gravità • Il rapporto Fe/Fp è di circa 84 milioni!!

30. Facciamo qualche conto • In una monetina rame (PA=63.546) da 1cent, dal peso di 2 g, ci sono (considerando per semplicità un elettrone di conduzione per ogni atomo) 6.02 X 1023 2/63.546 cioé circa 2 1022 elettroni liberi di muoversi, pari a circa -3200 C • 6.02 X 1023 è Numero di Avogadro, chiamato così in onore di Amedeo Avogadro e denotato dal simbolo NA, è il numero di elementi contenuti in una mole. • Mole: quantità in grammi pari al peso molecolare • Una variazione del 1 per 1000 della carica libera porterebbe due monetine a 10 km di distanza ad attrarsi o respingersi con una forza di 100.000 N!

31. Pensate ad una forza simile alla gravitazione […] ma che sia all’incirca un miliardo di miliardi di miliardi di miliardi di volte più forte.[…] tutta la materia è una miscela di protoni positivi ed elettroni negativi che si attirano e si respingono con questa gran forza. Tuttavia la compensazione è così perfetta che stando accanto ad un’altra persona voi non risentite alcuna forza. Eppure se ci fosse anche un piccolo difetto nella composizione ve ne accorgereste subito. Se vi trovaste ad un metro di distanza da un altro ed ambedue aveste l’un per cento di elettroni in più che di protoni, la forza di repulsione sarebbe incredibile. Quanto grande? Sufficiente per sollevare l’Empire State Building? No! Per sollevare il monte Everest? No! La repulsione sarebbe abbastanza grande per sollevare un “peso” uguale a quello della Terra! Richard P. Feynman

32. q1 r-r’ r q2 O r’ Esercizio • Due cariche puntiformi q1 (50 mC) e q2 (10 mC) sono poste rispettivamente nei punti di coordinate P1 (-1, 1, -3) m e P2 (3, 1, 0) m. Trovare la forza su q1

33. q 1 + q 2 F F 2 3 + = + q q q 3 + F 4 F F 1 F = F + F + F + F q 4 1 2 3 4 Forze in un sistema di cariche • Sovrapposizione degli effetti

34. Consideriamo la forza dovuta a Py1= 4m z P Qo Px2 Py2 y Py1 Px1 x Esercizio Calcolare la forza sulla carica Qo=100 mC posta sull’asse z a 3 m dall’origine se quattro cariche Q= 20 mC sono disposte simmetricamente sugli assi x ed y a 4 m dall’origine

35. z P Qo Px2 Py2 y Py1 Px1 x Esercizio (cont.) La forza ha direzione positiva in z e negativa in y. Se una carica identica è posta simmetricamente sull’asse y, la forza prodotta avrà la stessa ampiezza, ma punterà verso y positive Quindi le componenti in y si elidono. Lo stesso vale per le cariche sull’asse x: l’unica componente restante sarà quella lungo z, e di ampiezza quadrupla rispetto a quella calcolata

36. q0 r-r’ r dq O r’ Distribuzioni continue di carica Il numero di cariche solitamente coinvolte nei fenomeni elettromagnetici è così alto che ha senso considerare campi generati da distribuzioni continue La forza su q0 dovuta all’elemento infinitesimo di carica dq vale

37. C a r i c a V o l u m e V Q dV d q Densità di carica in un volume Carica totale distribuita nel volume V dq = r(r’)dV’ Integrale di difficoltà enorme!

38. Superficie S Carica Q dS dq Densità Superficiale di carica Densità superficiale di carica Carica totale sulla superficie

39. Densità Lineare di carica Densità lineare di carica Carica totale sul filo

40. Calcoliamo la densità superficiale di carica d rp Calcoliamo la distanza da un elemento di carica in coordinate cilindriche (r, f, z) Determinare la forza su una carica puntiforme Q1=50mC posta in P, a 5 m sull’asse z, dovuta ad un disco uniformemente carico, con carica Q=500 p mC e raggio 5 m Esercizio

41. L’elemento di superficie è La sovrapposizione (integrale di superficie) degli effetti di tutti gli elementi restituisce la forza cercata: nessuna componente radiale d Ed il contributo alla forza dell’elemento di superficie carico è rp Esercizio

42. d rp Esercizio Risolviamo l’integrale:

43. F = + E q + + q - q F = - E q Nel vuoto Intensità del campo elettrico E E Linee di Campo

44. Campo Elettrico sull’asse di un disco carico Avevamo ottenuto: Per cui: Quando d=0

45. Campo Elettrico sull’asse di un disco carico Casi Limite Quando d>>R Come per una carica puntiforme

46. Campo Elettrico sull’asse di un disco carico Casi Limite (cont) Quando R molto grande Piano infinito