1 / 76

Symmetry and Group Theory

Symmetry and Group Theory. Symmetry elements and operations. Symmetry elements เช่น Mirror planes  reflection Axes of rotation  rotation inversion centers  inversion. Symmetry operation. Symmetry operation consists of -identity operation (E)

lovey
Télécharger la présentation

Symmetry and Group Theory

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Symmetry and Group Theory Symmetry elements and operations • Symmetry elements เช่น • Mirror planes  reflection • Axes of rotation  rotation • inversion centers  inversion Symmetry operation Symmetry operation consists of -identity operation (E) -rotation operation called proper roattion (Cn) -reflection operation () -inversion (i) -rotation-reflection operation called improper rotation (Sn)

  2. Identity operation (E) causes no change in the molecule Rotation operation (Cn) is rotation through 360º /n about a rotation axis Figure 4 example for rotations.

  3. Rotation angle Symmetry operation 60º C6 120º C3 ( C62 ) 180º C2 ( C63 ) 240º C32( C64 ) 300º C65 360º E ( C64 ) ถ้า Cnaxis ที่มีค่า n สูงที่สุด จะเรียกว่า principal axis

  4. Reflection operation () : the molecule contains a mirror plane เมื่อระนาบ (plane) ตั้งฉากกับแกนหลัก (principal axis) จะได้ระนาบใหม่เป็น h และที่ระนาบในทางเดียวกับ principal axis of rotation จะเรียกว่า vหรือ d

  5. Molecules contain mirror planes. σh(horizontal): plane perpendicular to principal axis σd(dihedral), σv(vertical): plane olinear with principal axis σd: σparallel to Cn and bisecting two C2' axes σv: Vertical, parallel to principal axis

  6. Inversion (i) : A molecule has a center of symmetry when, for any atom in the molecule, an identical atom exists diametrically opposite this center an equal distance from it. There may or may not be an atom at the center Xenon tetrafluoride XeF4

  7. รูปใดบ้างที่มี inversion center และอยู่ที่ได

  8. Rotation -reflection operation (Sn) : an axis around which a rotation by 360º/n, followed by a reflection in a plane perpendicular to it, leaves the molecule unchanged called an n-fold improper rotation axis.(Cn followed by σh) Rotation angle Symmetry operation 90º S4 180º C2 (= S42) 270º S43 360º E (= S44)

  9. Point groups

  10. จาก diagram จะอธิบายตามขั้นตอนดังนี้ ในกณีของ vary low symmetry (C1, Cs, Ci) หรือ high symmetry (Td, Oh, Cv D h or Ih 2. For all remaining molecules, find the rotation axis with the highest n, the highest Order Cn axis for molecule. 3. Does the molecule have any C2 axes perpendicular to the Cn axis? If it does, There will be n of such C2 axes, and the molecule is in the D set of groups. If not It is in the C or S set. 4. Does the molecule have a mirror plane (h) perpendicular to the Cn axis? If so, it is classified as Cnh or Dnh. If not, continue with step 5. 5. Does the molecule have any mirror planes that contain the Cn axis (vord)? If so, it is classified as Cnv or Dnd. If not, but it is in the D set, it is classified as Dn.

  11. 6. Is there an S2n axis collinear with the Cn axis? If so, t is classified as S2n. If not, the molecule is classified as Cn Groups of low and high symmetry: Determine whether the molecule Belong to one of the special cases of low or high symmetry. Group Table 4.2 Groups of low symmetry C1 Cs Ci

  12. High symmetry Group Description Examples Cvโมเลกุลนี้เป็นเส้นตรง มีการหมุนและระนาบสะท้อน เป็น infinite ซึ่งมีแกนหมุน แต่ไม่มี center of inversion Dhโมเลกุลนี้เป็นเส้นตรงมีการหมุนและระนาบสะท้อน เป็น infinite ซึ่งมีแกนหมุนและ แกนหมุน C2 ที่ตั้งฉากกับระนาบสะท้อนและมี inversion center Td โมเลกุลส่วนใหญ่ใน point group นี้จะมีโครงสร้าง เหมือน tetrahedral geometry โดยมีแกนหมุน C3 4 แกนแกนหมุน C2 3 แกน และมี S43 แกน และมี ระนาบ d6ระนาบแต่ไม่มีแกนหมุน C4

  13. High symmetry Group Description Examples Oh เป็นโมเลกุลที่มีโครงสร้างoctahedral ถึงแม้ว่าจะมี รูปร่างเป็นแบบอื่นเช่น cubeก็จะใช้ symmetry operation ชุดเดียวกันท่ามกลาง 48symmetry operationจะมี 4 C3 และ 3 C4 และinversion IhIcosahedral structure ซึ่งมี C5 6แกนหมุน และมี symmetry operation ทั้งหมด 120อัน นอกจากนี้ยังมี T, Th, O และ Iซึ่งจะพบได้ยาก และจะกล่าวต่อไป

  14. Group อื่นๆ : Find the rotation axis with the highest n, the highest order Cn axis for the molecule. This is the principal axis of the molecule.

  15. โดยดูว่าโมเลกุลที่มี แกน C2ที่ตั้งฉากกับ Cn axis หรือไม่ รูปแสดง perpendicular C2axix โมเลกุลที่เป็น D groups ซึ่งมีแกน C2ตั้งฉากกับแกนหลัก จำนวนแกน nC2 โมเลกุลที่ไม่มี C2ตั้งฉากกับแกนหลัก จึงให้เป็น C หรือ S

  16. โดยดูว่าโมเลกุลนั้นมีระนาบกระจก (mirror plane, h horizontal plane) ที่ตั้งฉากกับ Cnaxis หรือไม่ รูปแสดง Horizontal mirror planes ส่วน H3CCH3[Co(en)3]3+ NH3 H2O2และ 1,3,5,7-tetrafluorocyclooctatetraene ยังไม่ใช่ ต้องพิจารณาต่อไป

  17. พิจารณาต่อว่าโมเลกุลนั้นมีมี mirroe planes อื่นที่ผ่าน Cn axis หรือไม่ รูปแสดง Vertical or Dihedral mirror planes or S2n axis

  18. พิจารณว่ามี S2n axis ที่เป็นเส้นตรงร่วมกับ Cnaxis หรือไม่ และจากโมเลกุล 1,3,5,7-tetrafluorocyclooctatetraene มี S2nนั้นก็คือ จะมี point group เป็น S4 ส่วน H2O2จะมี point group เป็น C2

  19. การเปรียบเทียบ Cและ D point group classification โมเลกุลที่อยู่ใน class นี้ ต้องประกอบด้วย Cn axis และถ้ามีมากกว่าหนึ่ง Cn axis ให้เอาแกนที่มีค่า n สูงสุดเป็นแกนอ้างอิง D classification C Classification กรณีทั่วไป : พิจารณาแกน C2ที่ตั้งฉากกับแกน Cnซึ่ง nC2 axes  Cnaxis no C2 axes  Cn axes เป็นแกนสูงสุด Subcategories: -ถ้ามี horizontal plane ของสมมาตร DnhCnh -ถ้ามี n vertical planes DndCnv -ถ้าไม่มี plane of symmetry DnCn

  20. Point group ที่เกี่ยวข้องกับ Ih, Ohและ Td group Point group พวกนี้เป็นพวก high-symmetry point group เช่นสาร พวก C60, SF6และ CH4มี point group เป็น Ih, Ohและ Tdตามลำดับ ตารางSymmetry operations for High-symmetry point groups and their rotation subgroup Point gr. Symmetry operations IhE 12C5 12C52 20C3 15C2i 12S1012S103 20S6 15 I E 12C5 12C52 20C3 15C2 OhE 8C3 6C2 6C4 3C2(C42)i 6S48S6 3h 6d OE 8C3 6C2 6C4 3C2(C42) Td E 8C3 3C26S4 6d T E 4C3 4C323C2 ThE 4C3 4C323C2 I 4S64S65 3h

  21. รูปแสดงW[N(CH3)2]6ซึ่งมี point gr. เป็น Th โมเลกุลนี้ไม่เป็น Ohเพราะตรงตำแหน่ง N(CH3)2 ที่ไม่สมมาตรกันในแตละตำแหน่ง จึงต้องเป็น Th

  22. Common point groups The following table contains a list of point groups with representative molecules. The description of structure includes common shapes of molecules based on VSEPR theory

  23. Properties and Representations of groups Mathematical gr. จะมี properties ที่แน่นอน ตัวอย่างเช่น ตารางข้างล่าง จะอธิบายถึง symmetry operation ของ NH3 Properties of Gr. Examples from Point Gr. 1.แต่ละgr. ต้องมี identity operation C3vหรือทุกโมเลกุลต้องมี E เช่น EA = AE = A 2. แต่ละ operation ต้องมี inverse เมื่อรวมกับ operation จะได้ identity Operation 3. ผลของ 2 gr. Operation จะเป็น สมาชิกของ gr. ซึ่งรวมผลิตภัณฑ์ของ ตัวมันเอง 4. associative properties of combination must hold. In other words, A(BC) = (AB)C

  24. รูปแสดงsymmetry operation of ammonia, NH3 having a point gr. of C3v with the symmetry operations: E, C3, C32, v , v´ and v˝

  25. Matrices ข้อมูลที่สำคัญเกี่ยวกับสมมาตรของ point gr. จะสรุปอยู่ใน character table เพื่อจะเข้าใจการสร้างและการใช้ character table ควรพิจารณา properties of matrices ซึ่งเป็นพื้นฐานของตาราง และในการสร้าง matrices จะมีการคูณของ 2 matrices ตามสูตร Cij = Aik X Bkj โดย Cij= product matrix, with irows and j columns Aik= initial matrix, with irows and k columns Bkj= initial matrix, with k rows and j columns

  26. ตัวอย่าง j j k (1)(7) + (5)(4) (1)(3) + (5)(8) (2)(7) + (6)(4) (2)(3) + (6)(8) 7 3 4 8 5 6 i = k i X j 27 43 38 54 ซึ่งพบว่า I = j = k = 2 = i j 0 0 0 -1 0 0 0 1 i 1 2 3 k = j (1)(1)+(2)(0)+(3)(0) (1)(0)+(2)(-1)+(3)(0) (1)(0)+(2)(0)+(3)(1)i j โดย I = 1, j = 3 และ k = 3 จึงได้ผลเป็น 1 แถว 3 คอลัมน์ = 1 -2 3i

  27. Representations of point groups Symmetry operation: matrix representations เช่น พิจารณา H2O มี point gr. เป็น C2vซึ่งมีแกน C2 ผ่านที่ออกซิเจน และ มีระนาบโมเลกุล แต่ไม่มีแกนที่ตั้งฉากกับ C2และไม่มีระนาบกระจกใน แนวนอน แต่มีระนาบกระจกตามแนวตั้ง 2 ระนาบ ดังแสดงในรูป Coordinate system After C2 After v (xz) After v´ (yz) ในแต่ละ symmetry operation สามารถแสดง transformation matrix New coordinates = transformation matrixold coordinates

  28. เมื่อ พิจารณา point gr. ของ H2Oเป็น C2v C2:การหมุนที่มี coordinateเป็น (x,y,z) ตาม แกน C2(z) จะได้ coordination ใหม่เป็น x´ = new x = -x y´ = new y = -y z´ = new z = z -1 0 0 0 -1 0 0 0 1 Transformation matrix ของ C2 สำหรับ matrix equation x´ y´ z´ x y z -x -y z x´ y´ z´ -x -y z -1 0 0 0 -1 0 0 0 1 = = หรือ = New coordination In terms of old Transformation matrix New coordination Old Coordination = =

  29. v (xz) :การสะท้อนของ coordinate(x,y,z) ผ่านระนาบ xz x´ = new x = x y´ = new y = -y z = new z = z 1 0 0 0 -1 0 0 0 1 Transformation matrix ของ v (xz) สำหรับ matrix equation x´ y´ z´ x y z x -y z x´ y´ z´ x -y z 1 0 0 0 -1 0 0 0 1 = = หรือ = Transformation matrices สำหรับ4 symmetry operations ของgroup ตามนี้ -1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 -1 0 0 0 1 -1 0 0 0 -1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 v´ (yz) : v (xz) : C2: E :

  30. จากการคูณ matrix ของ 2 symmetry operation จะได้ matrix ใหม่ที่ตรงกับ operation หนึ่งของตัวมัน ดังตัวอย่างเช่น -1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 -1 0 0 0 1 1 0 0 0 -1 0 0 0 1 = v´ (yz) = C2 x v (xz) = ซึ่งจากการคูณของ C2 x v (xz) นั้นก็หมายถึง การทำ vก่อน แล้วตามด้วย C2 ถ้าพิจารณาโมเลกุลของ H2O ข้างต้น จะเห็นว่า C2 และ v´ (yz) operation จะเห็นการเปลี่ยนแปลงของ H1และ H2ในขณะที่ E และ v (xz)จะไม่พบ การเปลี่ยนแปลง

  31. Characters A square matrix or sum of the numbers on the diagonal from upper left to lower right ตัวอย่างเช่น C2v E C2v(xz) v´(yz) 3 -1 1 1 เซตของ character นี้จะทำให้เกิด representation ไม่ว่าจะเป็นรูปแบบ ของ matrix หรือ character นั้น representation นี้จะเรียกว่า reducible representation โดยจะให้เป็นสัญลักษณ์ของแกมมา ()

  32. Reducible and irreducible representation Transformtion matrix แต่ละอันของ C2vข้างบนจะเป็นแบบ “block diagonalized” ดังนั้นสามารถแตกให้เป็น matrix เล็กๆ ที่เป็น diagonal ของ matrix element ดังข้างล่าง (ที่ไม่เท่ากับศูนย์) [-1] 0 0 0 [1] 0 0 0 [1] [1] 0 0 0 [-1] 0 0 0 [1] [1] 0 0 0 [-1] 0 0 0 [1] [1] 0 0 0 [1] 0 0 0 [1] v´ (yz): v (xz) : C2: E : จากทั้งหมดนี้ เป็นพวก ที่ไม่ใช่ zero จะลดลงได้เป็น 1 x 1 matrix ซึ่งจะได้ว่า block diagonalizedในส่วนของ x,y, z coordinate ซึ่งจะเป็นอิสระต่อกันไม่ขึ้นต่อกัน เช่น matrix element ที่ตำแหน่ง 1,1 จะเป็นของ x coordinate และ ที่ตำแหน่ง 2,2 จะเป็นของ y coordinate และ ที่ตำแหน่ง 3,3 จะเป็นของ z coordinate

  33. จากทั้ง 4 matrix นำมารวมกันในตาราง E C2v(xz) v´(yz) coordinate Used 1 -1 1 -1 x 1 -1 -1 1 y 1 1 1 1 z  3 -1 1 1 Irreducible representations ของ C2v point group สามารถสร้าง Reducible representation 

  34. Character tables Complete set of irreducible representations for point gr. called character table for group. Character table for each gr. is unique. C2v E C2v(xz) v´(yz) A11 1 1 1 z x2, y2, z2 A2 1 1 -1 -1 Rzxy B1 1 -1 1 -1 x, Ryxz B21 -1 -1 1 y, Rxyz

  35. The label used with character tables are as follows: • x,y,z transformations of x,y,z coordinates or combinations thereof • Rx, Ry, Rzrotation about the x,y,z axes • R any symmetry operation, such as C2 or v(xz) • character of the operation • i and j designation of different representations, such as A1 or A2 • h order of the group (the total number of symmetry operations • in the group)

  36. Property Example: C2v The total number of symmetry operations Order = 4 in the gr. Is called the order (h). ก็คือจำนวน 4 symmetry operation: E, C2, v(xz), symmetry operation ที่อยู่ในแถวสูงสุดของตาราง v´(yz) character table 2. Symmetry operation are arranged in class. All Each symmetry operation is in a operations in class have identical characters for separate class; therefore, there are their transformation matrices and are grouped in 4 columns in the character table. the same column in the character tables. 3. จำนวนของ irreducible representations เท่ากับ เนื่องจากมี 4 classes จึงต้องมี จำนวนของ classes ซึ่งหมายความว่าcharacter tables 4 irreducible representations จะมีจำนวน rows และ columns เท่ากัน 4. ผลรวมของ dimensions (character under E) 12+ 12 + 12 + 12 = 4 = h, order of ของแต่ละ irreducible representations จะเท่ากับ group order of the group. h = [i(E)]2 i

  37. Property Example: C2v 5. สำหรับirreducible representation พบว่าผลของ For A1, 12+ 12 + 12 + 12 = 4 = h Square of character ที่คูณกับจำนวน operation ใน each operation is its own class in this Class จะเท่ากับ order ของ group group. h = [i(R)]2 6.irreducible representationเป็นorthogonalต่อกัน B1 and B2 are orthogonal : ผลรวมของ product of characters นำมาคูณกันในแต่ (1)(1) + (-1)(-1) + (1)(-1) + (-1)(1) = 0 ละ class ของคู่ของ irreducible representation จะ each operation is its own class in this เท่ากับ ศูนย์ group. h = [i(R)j(R) = 0 เมื่อ i  j 7. A totally symmetric representation, with C2v has A1, in which all characters = 1 characters of 1 for all operations, is includes in all groups R

  38. สรุป ตัวอย่างของ C2v Symmetry operations After E After C2 After v (xz) After v´ (yz) Matrices representations (reducible) -1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 -1 0 0 0 1 1 0 0 0 -1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 v´ (yz) : v (xz) : C2: E : Characters of matrix representations 3 -1 1 1

  39. Block diagonalized matrices [-1] 0 0 0 [1] 0 0 0 [1] [1] 0 0 0 [-1] 0 0 0 [1] [1] 0 0 0 [-1] 0 0 0 [1] [1] 0 0 0 [1] 0 0 0 [1] C2: E : v´ (yz): v (xz) : Irreducible representations E C2v(xz) v´(yz) coordinate Used 1 -1 1 -1 x 1 -1 -1 1 y 1 1 1 1 z  3 -1 1 1

  40. Character tables C2v E C2v(xz) v´(yz) Matching Functions A11 1 1 1 z x2, y2, z2 A2 1 1 -1 -1 Rzxy B1 1 -1 1 -1 x, Ryxz B21 -1 -1 1 y, Rxyz การบ้านPrepare a representation flow chart for trans-N2F2 ซึ่งมี point gr. เป็น C2h

  41. ตัวอย่างอื่น เช่น NH3มี point gr. เป็น C3v พิจารณา C3 rotation ดังรูปข้างล่าง x′ = xcos2 - y sin 2 = -1x - 3y 3 2 3 2 y′ = x sin 2 + ycos2 = 3x -1y 3 3 2 2

  42. Transformation matrices for symmetry operations -3 1 0 0 0 -1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 2 0 0 cos2 cos2 cos2 cos2 -1 v(xz) : E : C3: = -1 0 3 2 3 3 3 3 2 0 0 2 1 0 0 1 [1] 0 0 0 0 sin 2 -sin 2 -sin 2 sin 2 ซึ่งพบว่า (C32) = (C3) ก็อธิบายเป็น 2C3และสำหรับการสะท้อนพบว่าที่ เหมือนกันอยู่ในกลุ่มเดียวกัน จะได้เป็น 3v การทำ transfer matrix ของ C3และ C32ไม่สามารถทำ block diagonized 1 x 1 matrices ได้ เพราะ C3matrix มี off-diagonal entries แต่อย่างไรก็ตาม สามารถทำ block diagonized เป็น 2 x 2 และ 1x1 matrices ได้ 3 3 3 3 1 0 0 0 -1 0 0 0 [1] 1 0 0 0 1 0 0 0 [1] v(xz) : E : C3:

  43. C3 matrix จะถูก block ด้วยวิธีนี้ เพราะ (x,y) combination จะทำให้ได้ x′ and y´ และจาก 2x2 matrices จะได้ character ที่สัมพันธ์กับ E representation ดังในตาราง ในส่วนของ 1x1 matrix นั้นจะ match กับ A1 representation ส่วน A2จะได้ตาม properties of Mathematical gr. ที่เคยอธิบายของ C2vข้างต้นและ properties of character C3v point gr. ดังข้างล่าง ตารางแสดง properties of the characters for C3v point group. properties C3v example Order 6 (6 symmetry operation) Classes 3 classed E, 2C3(=C3,C32), 3v (= v ,v′v ˝ 3. Number of irreducible representation 3 (A1,A2,E) 4. Sum of squares of dimensions equals 12 + 12 +22 = 6 the order of group

  44. Properties C3v example 5. Sum of squares of characters multiplied by the number of operations in each class equals to the order of the group 6. Orthogonal representation 7. Total symmetric representation A1 with all characters = 1 E 2C3 3v A1: 12 + 2(1)2 + 3(1)2 = 6 A2:12 + 2(1)2 + 3(-1)2 = 6 E: 22 + 2(-1)2 + 3(0)2 = 6 The sum of products of any two Representation multiplied by the number of operations in each class = 0 A2 x E: (1)(2) + 2(1)(-1) + 3(-1)(0) = 0 or A2 x A1: (1)(1) + 2(1)(1) + 3(-1)(0) = 0

  45. Character tables of C3v C3v E 2C2 3v A1 1 1 1 z x2 + y2, z2 A2 1 1 -1 Rz E 2 -1 0 (x,y), (Rx,Ry) (x2-y2, xy), (xz,yz) นอกจากนี้ยังพบว่า Operation C3จะอยู่ในคลาสเดียวกับ 2C3ในตาราง character table ซึ่งแสดงว่า การหมุนทั้งทวนเข็มและตามเข็มนาฬิกา ก็ยังคงให้ผลในคลาสเดียวกัน ซึ่งที่เป็น การสะท้อนก็เช่นเดียวกัน 2. ถ้า C2 แกนหลัก(ใน D gr.) จะ assign ให้เป็น prime (′) โดย single prime จะแสดงถึงที่ผ่านหลายอะตอมในโมเลกุลโดย (˝) แสดงการผ่านระหว่างอะตอม 3. เมื่อระนาบกระจกตั้งฉากกับแกนหลัก หรือเป็น horizontal (h) ส่วนระนาบ อื่นจะเป็น v or d

  46. 4. ค่าที่อยู่ทางขวาสุดจะเป็นตัวบอกว่ามี symmetry of mathemetric function ของ coordinate x,y and z หรืออาจจะเป็น rotation (Rx, Ryand Rz) ซึ่ง จะแทนด้วย orbital และพบว่าถ้าเป็น Eจะมี 2 coordinate หรือ rotation เช่น (x,y), (Rx,Ry) 5. Matching the symmetry operation of molecule with those listed in the top row of the character table will confirm any point gr. 6. Irreducible representation มีสัญลักษณ์ต่างๆ ที่เป็นไปตามกฏดังนี้ ถ้ามี symmetricจะให้เป็น 1 ถ้า antisymmetricจะแทนด้วย -1 a. ตัวอักษรจะกำหนดตาม dimension ของ irreducible represetation Dimension Symmetry Aif representation is symmetric to the principal rotation operation ((Cn) = 1) B if it is antisymmetric ((Cn) = -1)* 2 E 3T *ในกรณี Dnd (n= เลขคู่) และ S2npoint gr. โดย S2nเป็น order ที่มีแกนสูงสุด จะให้ priority ก่อน ดังนั้น B ที่มี -1 จะดูที่ S2nถึงแม้ว่า +1 จะอยู่ที่ order ที่สูงสุด Cn axes

More Related