Presentation 7

1. 1.Аналогови модели.1.1.Моделиране на масообменни прoцеси в колонни апарати. 1.2.Формална аналогия. 1.3.Определяне на параметрите.2.Регресионни модели.2.1.Моделиране без хипотеза за механизма.2.2.Регресионни уравнения.

2. 1. Аналогови моделиВ редица случаи информацията за механизма е непълна и не дава възможност да се състави математично описание на сложните процеси, което да стане осно- ва за създаване на теоретични или критериални модели. Същият проблем въз- никва при многобройно и сложно взаимодействие на елементарните процеси в сложния процес. В този случай се използват аналогови модели, в чиято основа стоят механизми, изградени на базата на формални физични аналогии.

3. 1.1. Моделиране на масообменни процеси в колонни апаратиТози проблем ще бъде разгледан в примера на абсорбционния процес, но в една извънредно усложнена обстановка на взаимодействие на течността и газа в колона с ненареден пълнеж. Тук очевидно математичното описание на абсорб-цията в стичащ се филм не може да се използва,тъй като взаимодействието меж-ду газа и течността е усложнено от наличието на капки,мехури и струи. Възмож-ни са и допълнителни ефекти като байпаси, застойни или циркулационни зони, а също така и турбулизиране на фазите.Независимо от сложното взаимодействие на фазите в колонни апарати за абсорбция (или екстракция), основните процеси, които протичат са конвективно и дифузионно масопренасяне в ламинарни и/или турбулентни течения и масооб-мен между фазите. Ако предположим добро радиално разпределение на двете фази, т.е. скоростите на фазите не зависят от радиуса на колоната, то концентра-цията на абсорбируемото (екстхируемото) вещество ще се изменя само по височина на колоната в резултат на сумарно влияние на горепосочените ефекти.

4. 1.2. Формална аналогияРазпределението на концентрациите сi (х)на двете фази по височината на ко-лоната може ( на базата на напълно формална аналогия) да се разглежда като резултат от конвективно масопренасяне със скорост ui , аксиална дифузия с коефициент Di и междуфазен масообмен с коефициент k ( i = 1,2 ).Математично описание на така формулирания механизъм може да се получи, ако се разгледа един обем от колоната, в който обемното съотношение на фазите е εi (i = 1,2), (задържащата способност на пълнежа по отношение на двете фази), където ε1 + ε2 = 1. Материалният баланс на пренасяното вещество в двете фази при така предложения механизъм, в случая на противоточно течение на фазите, води до следното математично описание:εi.ui (dсi /dx) = εi.Di(d2сi /dx2) – (-1)i-1.k[c1 – m.c2] , i = 1,2 , [1.1]

5. където се предполага, че в масовия баланс на пренасяното вещество във всяка фаза в разглеждания обем εi ,наред сдифузионния [εi.Di(d2сi /dx2)] и конвектив-ния [εi.ui (dсi /dx)] пренос (i = 1,2), участва и източник (консуматор) на вещество k(c1 –m.c2), чиято мощност е еквивалентна на скоростта на междуфазния масо-обмен. В горепосочената формула m е коефициент на фазово равновесие ( кон-станта на Хенри, коефициент на разпределение).Математично описание на масопренасянето в колонни апарати се получава, ако към [1.1] се прибавят граничните условия в двата края на колоната. Те изра-зяват разпределението на входящия с всяка фаза конвективен поток вещество между конвективната и дифузионната компонента на масопренасянето във всяка фаза на фазовата граница.На изхода всяка фаза е поела (отдала) основното коли-чество от обменяното вещество между фазите.По този начин за случая на проти-воток граничните условия имат вида:

6. х = 0, ε1.u1.c1(o)= ε1.u1.c1 – ε1.D1(dс1 /dx), (dс2 /dx) = 0;[1.2]х =L, ε2.u2.c2(o)= ε2.u2.c2 + ε2.D2(dс2 /dx), (dс1 /dx) = 0.Във [1.1] и [1.2] е удобно да се въведат безразмерните променливи:X = x/L , Ci = [ci /(c1(o)+ c2(o))] , i = 1,2 [1.3]и математичното описание добива вида:Pei(dCi/dX) = (d2Ci/dX2) – (-1)i -1.Ni.Pei[C1 – m.C2] ,X = i – 1 , Pei.[ci(o) /(c1(o) + c2(o))] = Pei.Ci+ (-1)i.(dCi/dX) , [1.4] 2∑ (i – k).[dCk/dX] = 0 , i = 1,2 , k=1където c1(o) и c2(o) са входните концентрации на пренасяното вещество в двете фази, а Pei и Ni (i = 1,2) – числата на Пекле и броя на преносните единици:Pei =[(wi.L)/ei ], Ni =[(k.L)/wi], ei = εi.Di , wi =εi.ui , i= 1,2. [1.5]От [1.4] и [1.5] се вижда, че математичното описание на масопренасянето съдържа четири параметъра (Pe1, Pe2, N и m), тъй като N1 и N2 са свързани:N1 = (w2/w1). N2 =N . [1.6]

7. 1.3. Определяне на параметритеКоефициентът на фазово равновесие mе термодинамичен параметър и мо-же да се определи независимо и отделно от кинетичните параметри на базата на експериментални данни за фазовото равновесие, предполагайки линеен закон на разпределение на преносимото вещество в двете фази. По този начин моделът съдържа три параметъра (Pe1, Pe2 и N), които се определят от експериментал-ни данни за разпределението на концентрациите по височината на колоната:C1 = C1 (X) , C2 = C2 (X) [1.7]Параметрите Pei(i = 1,2) имат хидродинамична природа и практически не зависят от вида на “дифундиращото” вещество. Те могат да бъдат определени по отделно, ако се използват две вещества, всяко от които е разтворено само в една от фазите, т.е. от експериментални данни за C1 (X) се определя Pe1 и от C2 (X) – Pe2 . Параметърът Nсе определя от C1(X) и C2(X), когато се изпол-зва вещество разтворимо и в двете фази.

8. Аналоговите модели приличат на теоретичните модели по това, че най-често целевата функция зависи нелинейно от параметрите на модела. Това води до съществени затруднения при статистическия анализ на моделите. Параметрите Pei(i = 1,2) и N могат да се определят само от [1.4] и експе-риментални данни за [1.7], чрез решаване на обратната идентификационна за-дача. Всички други опити за определяне на параметрите са неправомерни, защо-то използваната аналогия прави величините в [1.4] условни.

9. 2. Регресионни моделиСимулирането на конкретен процес е възможно при наличието на модел, т.е. адекватна функционална връзка (по възможност в явен вид) между целевата функция (изходната величина) у, факторите (входните величини) х = х1,..….,хm и параметрите на модела b =b1,……,bk , т.е.:у = φ(х1,.......,хm;b1,……,bk) , [2.1]където функцията φ трябва да апроксимира по “най-добър начин” експеримен-талната функционална зависимост на у от х.В зависимост от наличната информация за механизма на сложния процес мо-гат да се използват теоретични, критериални или аналогови модели.

10. 2.1. Моделиране без хипотеза за механизмаТвърде често се налага създаването на модели и при пълна липса на инфор-мация за механизма. В тези случаи се използват регресионни модели (регресии, регресионни уравнения):η = η(х) , [2.2]където η е условното математично очакване на изходната величина у при зада-дени стойности на факторите х.Отсъствието на знания за механизма на явлението не дава възможност да се определи вида на функционалната зависимост [2.2]. На практика обаче, тези функции като правило са непрекъснати заедно със своите частни производни в областта на изменение на факторите. Това позволява да се получи Тейлъровия ред на функцията в околността на някаква характерна точка хо:

11. mη(х) = η(хо) + ∑ [∂η(х)/ ∂хi] Іх=хо [хi– хio] + i =1m -1m+ ∑ ∑ 1 . [∂2η(х)/ ∂хi∂хj] Іх=хо [хi– хio].[хj– хjo] + …. [2.3]i =1 j = i+1 2!m+ ∑ 1 . [∂2η(х)/ ∂хi2] Іх=хо [хi– хio]2 + …. ,i =1 2!където хо = хio, ....., хmo. Видът на функцията е неизвестен, т.е. производните не могат да се изчислят, но от непрекъснатостта на η и нейните производни следва, че [2.3] може да се представи като :mm -1mmη(х) = βo + ∑ βi хi + ∑ ∑ βi j хi хj+ ∑ βi i хi2 + ….. ,[2.4]i =1 i =1 j = i+1 i =1

12. където коефициентите β са параметри на модела [2.4] и се определят от екс-периментални данни. В този смисъл [2.4] представлява апроксимация на екс-перименталната зависимост:уn= φ(х1n,.......,хmn) , n = 1,….., N , [2.5] където уnи хin (n = 1,…., N; i = 1,…., m) са експерименталните стойности на η и х , а N е броя на експериментите .2.2. Регресионни уравненияПолиномните модели [2.4] имат голямо приложение, но в регресионните модели могат да се използват и по-сложни функции fi (x), i = 1, …., k, т.е. :kη(х) = ∑ βifi (x) . [2.6]i = 1

13. Наличието на експериментални данни [2.5] позволява определянето на пара-метрите в регресионните модели [2.6] . Поради експерименталните грешки в определянето на уn (n = 1,…., N) не могат да се определят точните стойности на параметрите β= β1 , ...., βk , а само техните оценки b=b1,......,bk . По този начин регресионният модел позволява да се получат изчислени стойности на целевата функция: ˆ ky = ∑ bifi (x) . [2.7] i=1Подборът на регресионен модел ( ако няма специални съображения) започва обикновено с линейни ( по отношение на факторите ) модели: ˆ ky = ∑ bix i [2.8] i=1и след проверка за адекватност могат да бъдат последователно усложнявани с нелинейни членове, ако се докаже отсъствие на адекватност. При всички случаи обаче, основни моменти при създаване на регресионните модели е определянето на оценките на параметрите и статистическия анализ на моделите.