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Kapitel 19 Kointegration. Integrierte Zeitreihen. Regression als Modell einer nicht-stationären Variablen t -Werte zu groß R 2 zu groß Kriterien für Anpassung zeigen zu gute Werte ( spurious regression ) Stochastischer Trend! Eliminieren des Trends durch Bilden von Differenzen
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Integrierte Zeitreihen Regression als Modell einer nicht-stationären Variablen • t -Werte zu groß • R2 zu groß Kriterien für Anpassung zeigen zu gute Werte (spurious regression) Stochastischer Trend! Eliminieren des Trends durch Bilden von Differenzen Integration von stochastischen Prozessen (Zeitreihen): Ein stochastischer Prozess Yt heißt integriert von der Ordnung d, wenn seine d-fachen Differenzen DdYt ein stationärer Prozess sind; Yt~ I(d) Hackl, Einführung in die Ökonometrie (19)
Beispiel: Random-walk-Prozess X sei ein random-walk: Xt = Xt-1 + ut mit u: Weißes Rauschen, u~ I(0) Dann gilt: X~ I(1) (“Xist integriert von der Ordnung 1“): DXt = Xt – Xt-1 = ut~ I(1) Hackl, Einführung in die Ökonometrie (19)
Integrierte stochastische Prozesse Viele ökonomische Zeitreihen zeigen stochastische Trends; aus der AWM-Datendasis: d: Ordnung der Integration Beispiel: PCR = b1 + b2PYR + u ist vermutlich spurious regression; besser Modell in Änderungen (oder Zuwachsraten) Hackl, Einführung in die Ökonometrie (19)
Differenzen vs. Niveauwerten Analysieren von Differenzen • Vermeidet Konsequenzen von spurious regression • Information über Entwicklung der Niveauwerte (langfristiges Verhalten, Trends, Verhalten im Gleichgewicht) geht verloren Ökonomische Theorien sind meist Aussagen über Zusammenhänge im Gleichgewichts-Zustand! Vermeiden von spurious regression • durch Modell auf Basis von Differenzen • durch Ausnützen von Kointegration Hackl, Einführung in die Ökonometrie (19)
Beispiel: Kointegrierte Variable Nicht-stationäre Variable X: • X~ I(1) • Y = b1 + b2X + u mit u:Weißes Rauschen Dann gilt • Y~ I(1) • X, Yzeigen den gleichen stochastischen Trend • Y – b2X = b1 + u ~ I(0) Y – b2X ist eine stationäre Linearkombination der nicht-stationären Variablen! X, Ysind kointegrierte Variable! Hackl, Einführung in die Ökonometrie (19)
Kointegration X, Ysind integrierte Variable: X~ I(1), Y~ I(1) X, Y heißen kointegriert, wenn sich ein b2 finden lässt, so dass Y– b2X~ I(0) Für kointegrierte I(1)-Variable X, Y gilt also Y– b2X~ I(0); es existiert eine Beziehung Y = b1 + b2X + u mit u~ I(0) oder Weißem Rauschen u Hackl, Einführung in die Ökonometrie (19)
Kointegration: Interpretation Interpretation des Begriffs Kointegration Wegen Y– b2X~ I(0) befinden sich X und Yin einer Gleichgewichts-Beziehung; es gibt nur stationäre Abweichungen Beispiel: • Saldo-Bestände der ein- und verkauften Warenmengen bilden einen stationären Prozess: sie sind kointegriert • Einkünfte und Ausgaben der Haushalte sind kointegriert Hackl, Einführung in die Ökonometrie (19)
Kointegration: Definition Komponenten des k-Vektors x seien integriert vom Grad d : x~ I(d) existiert ein Vektor l und eine Zahl b > 0 mit z = l‘x~ I(d – b) so heißen die Komponenten von x kointegriert vom Grad (d, b); k-Vektor l heißt kointegrierender Vektor Hackl, Einführung in die Ökonometrie (19)
Fehlerkorrektur-Modell Adäquate Darstellung ökonomischer Prozesse berücksichtigt • Gleichgewichts-Beziehung • Short-run Dynamik (Kompensation von Abweichungen vom Gleichgewicht) Hackl, Einführung in die Ökonometrie (19)
ADL(1,1)-Modell: Fehlerkorrektur-Form Ausgangspunkt: • ADL(1,1)-Modell Yt = a + jYt-1 + b0Xt + b1Xt-1 + ut mit X~ I(1), |j| < 1; dann gilt: Y~ I(1) • Gleichgewichts-Beziehung zwischen X und Y: Yt = m0 + m1Xt + et Wie hängen ADL-Modell und Gleichgewichts-Beziehung zusammen? Subtrahieren und Addieren von Yt-1 und b0Xt und Umformen gibt DYt = – (1 –j)[Yt-1 –m0–m1Xt-1] + b0DXt + ut mit m0 = a/(1 –j) und m1 = (b0+ b1)/(1 –j) Hackl, Einführung in die Ökonometrie (19)
Fehlerkorrektur-Form und Gleichgewicht Aus Yt-1 –m0–m1Xt-1 = et = – [1/(1 – j)] (DYt–b0DXt– ut) ergibt sich: • der Gleichgewichts-Fehler et ist eine Linearkombination der I(0)-Variablen DY, DX und u • und et ~ I(0) Es folgt: • Yt-1 –m0–m1Xt-1 ist eine Gleichgewichts-Beziehung • Y und X sind kointegriert Hackl, Einführung in die Ökonometrie (19)
Fehlerkorrektur-Modell: Interpretation Das Modell Yt-1 =m0+m1Xt-1 + et-1 beschreibt die langfristige Beziehung zwischen X und Y Das Modell • DYt = – (1 –j)[Yt-1 –m0–m1Xt-1] + b0DXt + ut • = – j0[Yt-1 –m0–m1Xt-1] + b0DXt + ut beschreibt die kurzfristige Dynamik, • das Anpassen von Y an Änderungen von X und • die Korrektur von Gleichgewichts-Fehlern der Vorperiode Achtung! Das Vorzeichen von j0 = (1 –j) muss positiv sein, wenn das Modell die Kompensation von Gleichgewichts-Fehlern beschreiben soll Achtung! Gleiche Ordnung der Integration der Variablen ist Voraussetzung für kointegrierende Beziehung Hackl, Einführung in die Ökonometrie (19)
Modell für Importe Importgleichung des AW-Modells: log(MTR/FDD) = m1log(MTD/YED) + m2TIME + e MTR: reale Ausgaben für Importe von Gütern und Dienstleistungen, FDD: gesamte Nachfrage, MTD: Deflator zu MTR, YED: Deflator des BIP, TIME: Trendvariable MTR/FDD: Anteil der Importe an gesamter Nachfrage (Mp), MTD/YED: Verhältnis der Deflatoren (RD); beide sind I(1) Angepasstes Modell: log(Mp) = – 1.956 – 0.255 log(RD) + 0.0044TIME mit t-Statistiken 8.383 (für m1) und 30.518 (m2), R2 = 0.966, Durbin-Watson d = 0.120 Mp,RD und TIME sind kointegriert, wenn Residuen I(0) Hackl, Einführung in die Ökonometrie (19)
Modell für Importe, Forts. Hackl, Einführung in die Ökonometrie (19)
Test auf Kointegration I(1)-Variable Y und X seien nicht kointegriert Dann sind die e = Y – m0 – m1X eine I(1)-Variable; der unit-root-Test sollte nicht-stationäres Verhalten anzeigen Engle-Granger-Test auf Kointegration: • OLS-Anpassung der potentiellen Gleichgewichts-Beziehung Y = m0 + m1X + e • Anwenden eines unit-root-Tests zum Überprüfen der Nullhypothese, dass die Residuen eine I(1)-Variable sind • wird die Nullhypothese verworfen: • e sind I(0)-Variable • Y und X sind kointegriert Hackl, Einführung in die Ökonometrie (19)
Engle-Granger-Verfahren zum Anpassen des Fehlerkorrektur-Modells Ausgangspunkt: ADL(1,1)-Modell DYt = –j0[Yt-1 –m0–m1Xt-1] + b0DXt + ut Verfahren von Engle-Granger: • Prüfen der Integrations-Ordnung; X und Y müssen gleiche Ordnung haben; es gelte: X und Y sind I(1)-Variable • Schätzung der Gleichgewichts-Beziehung Y = m0 + m1X + e liefert Schätzer für m0 und m1 sowie Residuen • Test auf Kointegration: unit-root-Test zum überprüfen, ob die Residuen ein stationärer Prozess sind; wenn ja, • Schätzen des Fehlerkorrektur-Modells Hackl, Einführung in die Ökonometrie (19)
Engle-Granger-Verfahren: Schätzen der Parameter • Schätzen des Fehlerkorrektur-Modells: Es gibt zwei Möglichkeiten: • OLS-Schätzer für j0 und b0 aus • DYt = – j0+ b0DXt + ut • OLS-Schätzer für a, j0 und b0 aus DYt = a– j0[Yt-1 – m1Xt-1] + b0DXt + ut Hackl, Einführung in die Ökonometrie (19)