Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları 2010-2011 Bahar Yarıyılı

1. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları 2010-2011 Bahar Yarıyılı Prof.Dr. Engin ORAKDÖĞEN Doç.Dr. Ercan YÜKSEL

2. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları BÖLÜM VIII ÖZEL MODLARIN ÖZELLİKLERİ MODLARIN SÜPERPOZİSYONU YÖNTEMİ

3. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları . . . . Modların Özellikleri

4. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları . . . .

5. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları . . . .

6. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları Modların Süperpozisyonu Yöntemi Doğrusal elastik davranan çok serbestlik dereceli bir sistemin zorlanmış titreşimi çok sayıda tek serbestlik dereceli sistemin zorlanmış titreşimlerinin süperpozisyonu ile elde edilmektedir. Değişken dönüşümü yapılırsa Normalleştirilmiş özel vektörler

7. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları

8. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları

9. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları

10. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları Köşegen Matris hi=Kritiksönümoranı=0.05~0.10 [ω2] ve [2hω] matrisleri köşegen matris alduklarından, denklemler birbirinden ayrılır. Her diferansiyel denklem birbirinden bağımsızdır ve zaman artımı yöntemi ya da Duhamel integrali ile integre edilebilir.

11. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları Başlangıç koşullarının elde edilmesi

12. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları Toplam Yerdeğiştirme Toplam İvme Dış yükün olmadığı durumda dinamik denge (hareket) denklemi;

13. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları Denklem tekrar düzenlendiğinde; Temel titreşimi için hareket denklemi elde edilir. Her düğüm noktası için aynı fonksiyon

14. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları Deprem (temel titreşimi) problemi sabit mesnetli ve dış etkili sistemin titreşim problemine dönüşmüş olur.

15. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları VIII.6.1 Zaman Artımı (Sayısal İntegrasyon) Yöntemi Temel titreşimine bağlı olarak belirlenen dinamik dış etkisi için sayısal integrasyon yöntemlerinden biri ile hesap yapılarak istenen büyüklükler belirlenir. Her iki bakımdan ( malzeme ve geometri bakımlarından) doğrusal olmayan sistemler incelenebilir. VIII.6.2 Modların Süperpozisyonu Yöntemi Bu yöntemde malzeme doğrusal-elastik olmalıdır. Buna karşın II.Mertebe teorisine göre hesap yapılabilir. Dinamik denge denkleminde değişken dönüşümü yapılırsa

16. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları Dinamik denge denkleminin her iki yanı soldan ile çarpılırsa

17. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları Matrislerinin köşegen matris olmaları ve deprem hareketinin iki yönlü oluşu nedeniyle (-) işaretinin kaldırılabileceği dikkate alınırsa

18. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları Böylece (n) serbestlik dereceli sistemin titreşim hesabı (n) adet birbirinden bağımsız tek serbestlik dereceli sistemlerin titreşimlerinin toplamı şeklinde ifade edilmiş olur. Bu diferansiyel denklem takımı zaman artımı yöntemi veya Duhamel integrali ile çözülebilir. Katılma katsayıları Başlangıç koşulları kullanılarak

19. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları Diferansiyel denklemler bağımsız olarak integre edildiğinde zamana bağlı yerdeğiştirme fonksiyonları elde edilir. Her fonksiyonun en büyük genliği farklı zaman dilimlerinde oluşmaktadır.

20. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları Uygun biçimde süperpoze edilirlerse yerdeğiştirme fonksiyonu Bu matris gösteriminden (i) nolu yerdeğiştirme bileşeni Modal katılım oranları uygulandığında ;

21. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları Göreli yerdeğiştirme, göreli hız ve mutlak ivme büyüklükleri; sönümün titreşim modları üzerindeki etkisi terkedilerek elde edilebilir. Başlangıç koşulu olarak kullanılırsa t : seçilmiş belirli bir zaman dilimi t : integrasyon değişkeni

22. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları • Doğrusal malzeme davranışı durumu için hazırlanan • göreli yerdeğiştirme • göreli hız • mutlak ivme • Spektrum eğrileri h (sönüm oranı) ve T (titreşim peryoduna) bağlı olarak oluşturulur. Bu durumda;

23. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları El Centro May 1940 N-S Bileşeni MUTLAK İVME SPEKTRUMU Farklı sönüm oranları

24. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları • Gerçek deprem kayıtlarının ölçeklendirilmesi • Spektral eğrilerin elde edilmesi • Ortalama spektral eğrilerin elde edilmesi • Ortalama eğrilerin düzleştirilmesi (tasarımda kullanılabilecek spektrum eğrileri) Sa : Mutlak ivme spektrumu Sd : Göreli yerdeğiştirme spektrumu amax : En büyük ivme g : Yerçekim ivmesi h : Sönüm oranı (%)

25. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları En Büyük Etkilerin Bulunması Mutlak Değerlerin Toplamı Farklı zaman dilimlerinde oluşan en büyük etkilerin mutlak değerlerinin toplanması esasına dayanmaktadır. En emniyetli ve en elverişsiz yöntemdir.

26. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları Karelerin Toplamının Karekökü Yöntemi (SRSS) Tam Karesel Birleştirme (CQC)

27. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları Modal süperpozisyonun yapıldığı bu basitleştirilmiş hesap yöntemine SPEKTRUM ANALİZİ adı verilir. Hesapta izlenen yol : • Özel modların bulunması : Yeterli kütle katılım oranını sağlayacak sayıda titreşim modu dikkate alınmalıdır. • nolu • Titreşim • Modunu • periyodu • nolu normalleştirilmiş titreşim modu

28. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları Modal katılım oranları Etkin kütle katılım oranı

29. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları 2. Her titreşim moduna karşı gelen en büyük mutlak ivmelerin hesabı: Uygun sönüm oranı için hazırlanmış ivme spektrumundan her titreşim modu peryoduna karşı gelen ivme büyüklüğü hesaplanır.

30. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları 3. Yapı sistemi her titreşim moduna karşı gelen sanal yükler etkisinde çözümlenir. Kat hizalarına etkiyen statik tekil yükler

31. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları 4. İncelenecek büyüklükler (yerdeğiştirmeler, iç kuvvetler) uygun bir birleştirme yöntemi kullanılarak hesaplanır. Örneğin SRSS (Karelerin toplamının karekökü) yöntemi kullanılacak ise ortaya çıkması muhtemel büyüklük aşağıdaki biçimde hesaplanacaktır. 5. Malzeme bakımından doğrusal olmayan davranış ‘süneklik kavramı’ ile dikkate alınabilir. Doğrusal davranış durumu için belirlenen büyüklükler süneklik oranına bağlı davranış katsayısı (m) ile küçültülerek kullanılır.

32. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları Süneklik Kavramı Kritik kesit sünekliklerine (kesit dönme kapasitesi) büyük ölçüde bağlı olan sistem genel sünekliği hs , yapı sistemi kapasite eğrisinde gerçekleşen en büyük yerdeğiştirmenin du,akma yerdeğiştirmesine dy oranı olarak hesaplanabilir.

33. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları Kesit Dönme Kapasiteleri

34. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları Davranış Katsayısı Aynı deprem titreşimi durumu için doğrusal ve doğrusal olmayan davranışlar arasında; T≥0.5 sn veya 0.8 sn (Japonya)için yerdeğiştirmelerin eşitliği Davranış katsayısı

35. Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları 0.125≤T≤0.50 sn içinhızların (enerjilerin) eşitliği Davranış katsayısı T‹0.125 snivmelerin eşitliği Davranış katsayısı