Tema 13.9 VOLUMEN de CILINDROS, CONOS Y TRONCOS DE CONO Apuntes Matemáticas 2º ESO
VOLUMEN DEL CILINDRO • El volumen de un prisma hemos visto que es: • V = l.a.h = Sb.h • Es decir “Volumen = Superficie de la base por la altura” • El cilindro se puede considerar como un prisma cuya base es un polígono de infinito número de lados. • Por tanto podemos poner: • V = Sb.h • Y como la base es un círculo. • V = π .r2.h h r Apuntes Matemáticas 2º ESO
Ejemplo 1 • Un cilindro recto presenta 10 cm de diámetro y 10 cm de altura. Hallar el volumen. • El volumen del cilindro: V = Ab.h = π.r2.h • Donde r = d/2 = 10/2 = 5 cm • V = π.r2.h = π.52.10 = 250.π cm3 • Ejemplo 2 • Un cilindro recto tiene 3141,60 cm3 de volumen y el radio de la base mide igual que la altura. • Hallar el radio y la altura. • El volumen del cilindro: V = π.r2.h • Donde 3141,6 = π.h2.h 1000 = h3 h =r = 10 cm Apuntes Matemáticas 2º ESO
Ejemplo 3 • Un prisma recto de base cuadrada presenta 5 cm por lado de la base y 10 cm por altura. • Hallar las dimensiones de un cilindro de igual altura y volumen. • El volumen del prima regular dado será: • V = Ab.h = l 2 . h = 5 2 .10 = 250 cm2 • En el cilindro: V = Ab.h = π.r2.h • 250 = π.r2..10 • de donde r2 = 250 / 31,41 = 8 • r = √8 = 2.√2 cm Apuntes Matemáticas 2º ESO
Volumen del Cono • El volumen de una pirámide hemos visto que es: • V = Sb.h / 3 • Un cono se puede considerar como una pirámide cuyo polígono de la base tiene infinitos lados. • Por tanto tenemos: • V = Sb.h / 3 • Y como Sb= π.r2 • V = π.r2.h / 3 • que es el volumen de un cono. h r Apuntes Matemáticas 2º ESO
Ejemplo_1 • Hallar el volumen de un cono que tiene 10 cm de diámetro de la base y 12 cm de altura. ¿Cuántos litros caben en el mismo si está hueco?. • Radio de la base: r = diámetro / 2 = 10 / 2 • El volumen de un cono es: • V = Ab.h / 3 = π. r2. h / 3 = π. 52. 12 / 3 = 314 cm3 • Sabemos que 1 litro = 1 dm3 • Luego 314 cm3 = 314 / 1000 dm3 = 0,314 dm3 = 0,314 litros Apuntes Matemáticas 2º ESO
Ejemplo_2 • Una pirámide regular de base cuadrada presenta 5 cm por lado de la base y 9 cm por altura. • Hallar el radio de la base de un cono de igual altura y volumen. • El volumen de la pirámide será: • V = Ab.h / 3 = l 2 . h / 3 = 5 2 .9 / 3 = 25. 3 = 75 cm2 • En el cono: V = Ab. h / 3 = π. r2 . h / 3 • 75 = π. r2. 9 / 3 • 75 . 3 / π. 9 = r 2 8 = r 2 • r = 2,82 cm es el radio de la base del cono. Apuntes Matemáticas 2º ESO
TRONCO DE CONO • Área lateral • Es el área del segmento circular (parte de una corona circular) que se forma en su desarrollo. • Al = (R+r).л.g • Siendo R el radio del círculo de la base mayor. • Siendo r el radio del círculo de la base menor. • Y g la generatriz del tronco de cono. • Área de la base • Ab = л.R2 • A’b = л.r2 • Área total • Es la suma del área lateral y de las bases. • At = (R+r).л.g + л.R2 + л.r2 Apuntes Matemáticas 2º ESO
Ejemplo_1 • La altura de un tronco de cono mide 12 cm y el radio de las bases miden 11 y 6 cm. Hallar el área lateral. • El área lateral es: • Al = 3,1416.(R+r).g • La generatriz es hipotenusa del triángulo rectángulo (en amarillo) cuyos catetos son la altura y la diferencia de los radios de las bases. • g = √ [122 + (11-6)2)] = √ (122 + 52) = • = √ (144 + 25) = √ 169 = 13 cm • Luego: Al = 3,1416.(11+6). 13 = • = 694,29 cm2 r=6 g h=12 R=11 Apuntes Matemáticas 2º ESO
Ejemplo_2 • La altura de un tronco de cono mide 72 cm. El diámetro de la base mayor mide 52 cm y el área de la base menor es de 659 cm2 . Hallar el área lateral. • El área lateral es: • Al = 3,1416.(R+r).g • Calculamos los radios: • R=D/2 = 52/2 = 27 cm • A’b=3,1416.r2 • 659=3,1416.r2 r2 = 659 / 3,1416 = 209,77 • r= √ 209,77 = 14,48 cm • La generatriz es hipotenusa del triángulo rectángulo (en amarillo) cuyos catetos son la altura y la diferencia de los radios de las bases. • g = √ [722 + (27-14,48)2)] = √ (122 + 52) = • = √ (5184 + 156,67) = √ 5340,67 = 73,08 cm • Luego: Al = 3,1416.(27+14,48). 73,08 = • = 9523,30 cm2 A’b=659 cm2 g h=72 cm D=52 cm Apuntes Matemáticas 2º ESO
r=6 g h=12 • Ejemplo_3 • Hallar el volumen del tronco de pirámide del Ejemplo 1. • El volumen será: • V = (π.R2+π. r2).h / 2 • V = (π.112+ π.62).12 / 2 • V = 942.πcm2 • Ejemplo_4 • Hallar el volumen del tronco de pirámide del Ejemplo 2. • El volumen será: • V = 885,6704.π.R2+π. r2).h / 2 • V = (π.262+ π.14,482).72 / 2 • V = 2782,4221.36 = 100167,1966 cm3 R=11 r =14,48 g h=72 d=52 Apuntes Matemáticas 2º ESO
