Poměr

1. Poměr Co je poměr. Poměr v základním tvaru.

2. Poměr Pojem poměr nás provází celým životem a setkáváme se s ním prakticky každodenně. Vzpomeňme jen na pár ukázkách některé případy, v nichž se v běžném životě s poměrem (pojmem poměr, vyjádřením poměru) setkáváme. Tak například poměr ředění sirupů, postřiků, čisticích prostředků, oleje apod. Obrázky: http://www.freeway.cz/obchod; http://www.aquara.cz/userdata/sirupy

3. Poměr Nebo skóre sportovních utkání – např. poměr nastřílených branek domácím a hostujícím týmem, poměr střel, vyloučení apod.

4. Poměr Případně měřítka map či plánů. Obázek: http://www.shocart.cz/img/zakazkova-cinnost/plany-mest-prh-trhaci-big.jpg

5. Poměr Co to tedy je ten poměr? Je to způsob porovnání dvou údajů. Počet branek. Počet střel. Vzdálenosti. 1 cm na mapě představuje 17 000 cm ve skutečnosti. Počet využitých přesilovek. Počet vyloučení.

6. Způsoby porovnávání údajů Jak můžeme dva údaje porovnávat? 1. Pomocí rozdílu údajů na základě otázky „o kolik více“ nebo „o kolik méně“ … a - b Př.: Ve třídě je 24 dívek a 12 chlapců. O kolik více je ve třídě dívek než chlapců? Úlohu „o kolik více“ řešíme rozdílem. 24 – 12 = 12 Ve třídě je o 12 dívek více než chlapců. Př.: Ve třídě je 12 dívek a 24 chlapců. O kolik méně je ve třídě dívek než chlapců? Úlohu „o kolik méně“ řešíme také rozdílem. 24 – 12 = 12 Ve třídě je o 12 dívek méně než chlapců.

7. Způsoby porovnávání údajů 2. Pomocí podílu údajů na základě otázky „kolikrát více“ nebo „kolikrát méně“ … a : b Př.: Ve třídě je 24 dívek a 12 chlapců. Kolikrát více je ve třídě dívek než chlapců? Úlohu „kolikrát více“ řešíme podílem. 24 : 12 = 2 Ve třídě je dvakrát více dívek než chlapců. Př.: Ve třídě je 12 dívek a 24 chlapců. Kolikrát méně je ve třídě dívek než chlapců? Úlohu „kolikrát méně“ řešíme také podílem. 24 : 12 = 2 Ve třídě je dvakrát méně dívek než chlapců.

8. Definice poměru Vraťme se ještě jednou k předcházejícímu příkladu. Př.: Ve třídě je 24 dívek a 12 chlapců. Kolikrát více je ve třídě dívek než chlapců? Úlohu „kolikrát více“ řešíme podílem. 24 : 12 = 2 Ve třídě je dvakrát více dívek než chlapců. Říkáme, že počty dívek a chlapců jsou v poměru 24 : 12 Čteme dvacet čtyři ku dvanácti. Podílu a : b, kde a>0, b>0, říkáme poměr a čteme a ku b.Čísla a, b nazýváme členy poměru.Číslo a je první člen poměru, číslo b druhý člen poměru.

9. Zápis poměru Poměr (podíl) můžeme zapsat také ve tvaru zlomku. Konkrétně v našem předcházejícím příkladu můžeme výsledný poměr zapsat následovně: 2 1 Ze znalosti zlomků z toho pro nás plyne, že poměry můžeme stejně tak jako zlomky krátit a rozšiřovat. 24 : 12 = 2 : 1 Krácení poměru znamená dělení prvního i druhého členu poměru stejným číslem různým od nuly a jedné.

10. Krácení poměru Poměr lze krátit, pokud členy poměru jsou soudělná čísla. Krácení poměru znamená dělení prvního i druhého členu poměru stejným číslem různým od nuly a jedné. 5 9 40 : 8 = 5 72 : 8 = 9 Oba členy poměru můžeme dělit číslem 8, jinými slovy poměr krátit číslem 8. Po krácení je poměr vyjádřen nesoudělnými přirozenými čísly. Říkáme, že poměr je v základním tvaru. Poměr je v základním tvaru, pokud jsou oba členy poměru vyjádřeny nesoudělnými přirozenými čísly.

11. Rozšiřování poměru Abychom vyjádřili poměr v základním tvaru, tzn. pomocí nesoudělných přirozených čísel, potřebujeme často poměr rozšířit. Například, je-li poměr zadán desetinnými čísly nebo zlomky. Rozšiřování poměru znamená násobení prvního i druhého členu poměru stejným číslem různým od nuly a jedné. 1,5 . 10 = 15 3,5 . 10 = 35 V obou členech poměru se potřebujeme zbavit desetinné čárky, potřebujeme ji posunout o jedno místo doprava, tzn. vynásobit oba členy poměru deseti. 3 7 Po rozšíření je sice již poměr vyjádřen přirozenými čísly, ale zatím ještě ne nesoudělnými. Budeme jej tedy ještě krátit.

12. Rozšiřování poměru Abychom vyjádřili poměr v základním tvaru, tzn. pomocí nesoudělných přirozených čísel, potřebujeme často poměr rozšířit. Například, je-li poměr zadán desetinnými čísly nebo zlomky. Rozšiřování poměru znamená násobení prvního i druhého členu poměru stejným číslem různým od nuly a jedné. V obou členech poměru se potřebujeme zbavit tvaru zlomku, potřebujeme se zbavit jmenovatelů, tzn. vynásobit oba členy poměru nejmenším společným jmenovatelem (v našem případě číslem 12). 8 9 4 3 1 1 Po rozšíření je sice již poměr vyjádřen přirozenými čísly, ale zatím ještě ne nesoudělnými. Budeme jej tedy ještě krátit, v našem případě číslem 2.

13. Poměr Oba porovnávané údaje musí být ve stejných jednotkách. Př.: Vyjádři poměrem délky úseček AB = 50 mm a CD = 5 cm. Zadání svádí k rychlému zápisu řešení ve tvaru: 50:5 10:1 Je však tento výsledek správný? Narýsujme si obě zadané úsečky. Úsečky jsou stejně dlouhé, což znamená, že jejich délky jsou v poměru 1:1. Kde jsme tedy udělali chybu? A B AB=50 mm Nevyjádřili jsme si délky ve stejných jednotkách a porovnávali je v jednotkách různých. A to není možné! AB= 50 mm = 5 cm CD = 5 cm 5 5 C D : CD=5 cm 1 : 1 Dvě čísla (veličiny) můžeme porovnat poměrem jen tehdy, jsou-li uvedeny ve stejných jednotkách!

14. Pár příkladů k procvičení – list č. 1: Vyjádřete v základním tvaru poměr první veličiny ke druhé: 960 km, 1320 km 10 kg, 45 kg 16 min, 36 min 1 km, 50 m 4 kg, 25 g 1,5 h, 50 min Až budete hotovi nebo když si nebudete vědět rady, klikněte, a ukážu vám postup.

15. Pár příkladů k procvičení – list č. 1: Vyjádřete v základním tvaru poměr první veličiny ke druhé: 960 km, 1320 km 10 kg, 45 kg 16 min, 36 min 960 : 1320 10 : 45 16 : 36 96 : 132 2 : 9 4 : 9 24 : 33 8 : 11 1 km, 50 m 4 kg, 25 g 1,5 h, 50 min 1000 m, 50 m 4000 g, 25 g 90 min, 50 min 1000 : 50 4000 : 25 90 : 50 100 : 5 800 : 5 9 : 5 20 : 1 160 : 1

16. Pár příkladů k procvičení – list č. 2: Najděte neznámý člen v rovnosti poměrů: n : 40  =  9 : 10 44 : x  =  11 : 6 y : 4  =  49 : 28 44 : 8  =  33 : n 7 : 12  =  28 : z Až budete hotovi nebo když si nebudete vědět rady, klikněte a ukážu vám postup.

17. Pár příkladů k procvičení – list č. 2: Najděte neznámý člen v rovnosti poměrů: n : 40  =  9 : 10 44 : x  =  11 : 6 y : 4  =  49 : 28 11 je zvětšena na 44. 10 je zvětšena na 40. 28 je zmenšena na 4. Kolikrát? 44 : 11 = 4 Kolikrát? 40 : 10 = 4 Kolikrát? 28 : 4 = 7 4 x zvětšíme i číslo 6. 4 x zvětšíme i číslo 9. 7 x zmenšíme i číslo 49. 44 : 24  =  11 : 6 36 : 40  =  9 : 10 7 : 4  =  49 : 28 44 : 8  =  33 : n 7 : 12  =  28 : z 7 je zvětšena na 28. 44 je změněna na 33. 5 je zvětšena na 40. Kolikrát? 28 : 7 = 4 Jak? Děleno 4, násobeno 3. Kolikrát? 40 : 5 = 8 4 x zvětšíme i číslo 12. Provedeme to i s číslem 8. 8 x zvětšíme i číslo 3. 7 : 12  =  28 : 48 44 : 8  =  33 : 6

18. Pár příkladů k procvičení – list č. 3: Určete, které poměry se sobě rovnají: 2 : 3; 3 : 6; 3 : 7; 1,2 : 2,4; 1,5 : 3,5; 2,8 : 7; 6/4 :14/4; 4 : 10; 0,1 : 0,2; 4 : 5; 1 : 7/3; 8 : 18 Až budete hotovi nebo když si nebudete vědět rady, klikněte a ukážu vám postup.

19. Pár příkladů k procvičení – list č. 3: Určete, které poměry se sobě rovnají: 2 : 3; 3 : 6; 3 : 7; 1,2 : 2,4; 1,5 : 3,5; 2,8 : 7; 6/4 :14/4; 4 : 10; 0,1 : 0,2; 4 : 5; 1 : 7/3; 8 : 18 3 : 6 = 1,2 : 2,4 = = 0,1 : 0,2 2 : 3 Poměry, které se sobě rovnají, mají stejný základní tvar. Všechny zadané poměry tedy nejdříve vyjádříme v základním tvaru. 3 : 6 = 1 : 2 3 : 7 1,2 : 2,4 = 12 : 24 = 1 : 2 3 : 7 = 1,5 : 3,5 = = 6/4 : 14/4 = = 1 : 7/3 1,5 : 3,5 = 15 : 35 = 3 : 7 2,8 : 7 = 28 : 70 = 2 : 5 6/4 : 14/4 = 6 : 14 = 3 : 7 4 : 10 = 2 : 5 0,1 : 0,2 = 1 : 2 2,8 : 7 = 4 : 10 4 : 5 1 : 7/3 = 3 : 7 8 : 18 = 4 : 9

20. Pamatuj si! Poměr je v základním tvaru, pokud jsou oba členy poměru vyjádřeny nesoudělnými přirozenými čísly. Poměry se sobě rovnají, rovnají-li se jejich základní tvary. Poměry krátíme tak, že první i druhý člen poměru dělíme stejným číslem různým od nuly a jedné. Poměry rozšiřujeme tak, že první i druhý člen poměru násobíme stejným číslem různým od nuly a jedné.