TRANSFORMASI 2 DIMENSI

1. TRANSFORMASI 2 DIMENSI • Dasar • Representasi Titik dan Transformasi • Transformasi Titik • Transformasi Garis • Rotasi • Refleksi • Skala • Transformasi Kombinasi

2. Motivasi • Why do we need geometric transformations in CG? • As a viewing aid • As a modeling tool • As an image manipulation tool

3. REPRESENTASI TITIK DAN TRANSFORMASI • Sebuah titik direpresentasikan secara dua dimensi melalui koordinatnya • Transformasi dan Matriks dituliskan atau Matriks A ditransformasikan dengan matriks transformasi Tmenghasilkan matriks B

4. TRANSFORMASI TITIK Sebuah titik X ditransformasikan dengan matriks T diformulasikan sebagai berikut Evaluasi nilai a, b, c, d • Jika a=d=1 dan c=b=0 Matriks Identitas • Jika d=1, b=c=0 Skala pada komponen x • Jika b=c=0 Skala pada komponen x dan y • Jika a=d > 1 Enlargment • Jika 0<a=d<1 Compression • Jika a=1, d=-1, b=c=0 Refleksi pada sumbu x • Jikaa=-1, b=c=0, d=1 Refleksi pada sumbu y • Jika a=d=1, c=0 Shear

5. TRANSFORMASI GARIS • Transformasi garis lurus • Sebuah garis yang melalui titik A(0,1) dan titik B(2,3) yang ditransformasikan dengan matriks • Menghasilkan • Dapat ditulis

6. ROTASI • Sumbu rotasi pada sumbu origin yaitu titik (0,0) • Rotasi dengan sudut istimewa 90°, 180°, 270°, 360° • Diketahui koordinat titik yang membentuk segitiga {(3, -1), (4, 1), (2, 1). Gambarkan objek tersebut kemudian gambarkan pula objek baru yang merupakan transformasi rotasi objek lama sebesar 90° CCW dengan pusat rotasi (0,0).

7. ROTASI DENGAN SUDUT TERTENTU • Pusat rotasi tetap pada origin • Menggunakan cara polar Rotasi sebesar θ˚ CCW

8. y x ILUSTRASI REFLEKSI y 1 y y 1 1’ 1’ 2 3 2 3 3’ 2 3’ 2 x x x 3 2’ 3’ 1 2 1’

9. REFLEKSI • Pencerminan pada sumbu utama (absis dan ordinat) • Latihan • Diketahui sebuah objek dengan pasangan koordinat {(4,1), (5,2), (4,3)}. • (a) Refleksikan pada cermin yang terletak pada sumbu x • (b) Refleksikan pada garis y=-x.

10. y x ILUSTRASI REFLEKSI y 1 y y 1 1’ 1’ 2 3 2 3 3’ 2 3’ 2 x x x 3 2’ 3’ 1 2 1’

11. SKALA DAN TRANSFORMASI KOMBINASI • Skala • Ada dua jenis penskalaan yaitu uniform scaling (us) dan non-uniform scaling (ns) • us: a=d, b=c=0; • ns : a≠d, b=c=0 • kompresi :a=d<1; • ekspansi: a=d>1 • Transformasi Kombinasi (a,b)

12. y y y y y x x x x x SHEAR (2,1) (1,1) (1,1) (0,1) (1,1) (0,1) (2,1) (3,1) (1/2,0) (3/2,0) (0,0) (1,0) (0,0) (1,0) (0,0) (1,0) (0,-1) (1,2) (0,3/2) y (1,1) (0,1/2) (1,1) x (1,0) (-1,0)

13. TRANSFORMASI KOORDINAT HOMOGEN • Koordinat homogen • Rotasi pada pusat rotasi sembarang • Refleksi pada cermin yang berada pada posisi garis sumbu sembarang

14. KOORDINAT HOMOGEN • Origin bersifat INVARIAN. Koordinatnya tidak akan pernah berubah. Jika ditransformasikan, akan tetap di (0,0). • Dalam kondisi nyata, origin tidak harus selalu absolut di (0,0). Untuk itu digunakan koordinat homogen • Koordinat homogen memetakan titik (0,0) ke posisi lain. Untuk itu ada elemen tambahan pada matriks transformasi • Matriks Transformasi Umum (MTU)` a, b, c, d merupakan elemen untuk skala, rotasi,refleksi dan shearing m, n merupakan elemen untuk translasi s adalah elemen untuk overal scaling p, q adalah elemen untuk proyeksi

15. ROTASI PADA SUMBU SEMBARANG • Jika sebuah objek dirotasikan sebesar θ° dengan pusat rotasi (m, n), maka langkah-langkah yang harus dilakukan adalah • Translasikan pusat rotasi ke (0, 0); karena yang kita ketahui hanyalah rumus rotasi pada origin • Lakukan rotasi sebesar yang diinginkan • Re-translasi pusat rotasi ke posisi semula • MTU

16. ILUSTRASI

17. (xr,yr) (xr,yr) (xr,yr) (xr,yr) Ilustrasi Lainnya Translate Rotate Translate

18. REFLEKSI PADA GARIS SEMBARANG • Langkah-langkah • Translasikan cermin sedemikian rupa sehingga menyentuh titik origin • Rotasikan cermin sehingga berimpit dengan salah satu sumbu utama • Refleksikan objek • Re-rotasi • Re-translasi • Jadi MTU terdiri dari 5 buat matriks transformasi sebagai berikut:

19. Latihan 1 Diketahui sebuah objek dengan koordinat {(0,0), (2,2), (2,1), (6,1), (6,-1), (2, -1), (-2,-2)} • Rotasikan objek sebesar 45º CCW dengan pusat rotasi pada (9, 4) • Rotasikan objek sebesar 30º CW dengan pusat rotasi pada (-3,5) • Gambarkan objek asli • Tentukan MTU • Tentukan Koordinat Objek Baru • Gambarkan objek hasil transformasi

20. Jawab 1a

21. Jawab 1b

22. Latihan 2 Diketahui sebuah objek dengan koordinat {(0, 0), (1, -2), (3, 3), (2, 3), (1, 1), (0, 2), (-1, 1), (-2, 3) , (-3, 3), (-1, -2), (0, 0)}. • Refleksikan objek di atas pada cermin yang berimpit dengan garis y = –x+9. • Refleksikan objek di atas pada cermin yang berimpit dengan garis y = x+9. • Gambarkan objek asli • Tentukan MTU • Tentukan Koordinat Objek Baru • Gambarkan objek baru hasil transformasi

23. Jawab 2a

24. Jawab 2b

25. Soal-soal Tentukan titik-titik dijital untuk garis antara (-3,5) dan (8,-7) dengan algoritma DDA dan Bresenham Tentukan titik-titik dijital untuk lingkaran dengan pusat 3,5 dan diameter 8 A. Turunkan matriks transformasi umum (MTU) untuk rotasi dengan pusat rotasi pada sebuah titik sembarang (0, 0) dan sudut rotasi sebesar  searah jarum jam (clock wise). B. Berdasarkan hasil A. tentukan matriks transformasi umum (MTU) untuk rotasi dengan pusat rotasi pada sebuah titik sembarang (x, y) dan sudut rotasi sebesar  searah jarum jam (clock wise).

26. Soal-soal Diketahui sebuah objek sebagai berikut Tentukan koordinat objek pada viewport dan gambarkan jika diketahui koordinat windows (Xwmain, Ywmin dan Xwmax, Ywmax) adalah (0,0, 12, 14) dan koordinat viewport (Xvmin, Yvmin, Xvmax, Yvmax) adalah (2,2, 10,10)

27. Soal-soal

28. Soal-soal

29. Soal-soal

30. Soal-soal

31. Lain-lain • Demo • Transformation Tester • Cabri 2D • Artikel • OpenGL • Visual Studio .NET/C++, C# • Java (JOGL) • GDI+ • Visual Studio .NET/C# • WPF, Silverlight • Flash • Mobile Programming Visual Studio dan Java

32. QUIZ1 • Senin 7 Maret 2011 • Membawa Kalkulator • Tidak boleh saling meminjam Kalkulator • Boleh membawa cheatsheet maksimal 1 lembar • Materi: • Teori dasar • Algoritma Penggambaran Garis • Algoritma Penggambaran Lingkaran • Transformasi 2 dimensi (NON HOMOGEN)