Transformasi geometri

1. Transformasi geometri

2. Definisi : • Pemindahan objek (titik, garis, bidang datar) pada bidang. • Perubahan yang (mungkin) terjadi: • Kedudukan / letak • Arah • Ukuran

3. Jenis-jenis Transformasi Geometri • Proyeksi • Pergeseran tanpa merubah bentuk(Translasi) • Pencerminan (Refleksi) • Pemutaran (Rotasi) • Perkalian bangun/penskalaan (Dilatasi) • Pergeseran merubah bentuk(shear)

4. Proyeksi • Suatutitikatausistemdiproyeksikanterhadapsuatugarisacuansehinggasetiaptitikatausistemtersebutsejajardengangarisacuan. • Proyeksimerupakanjarakterpendek. Jikatitik A diproyeksikanterhadapsumbux, makahasiltersebutadalahtitik B dengan AB merupakanjarakterpendektitik A terhadapsumbux. Jikadiproyeksikanterhadapsumbuy, makahasilnyaadalahtitik C dengan AC merupakanjarakterpendektitik A terhadapsumbuy y A C O B x

5. Proyeksi titik terhadap garis x= y TitikA(a,b)diproyeksikanpadagarisy = x menghasilkantitikA’(a’,b’) Cara mencarimatriktransformasi- nyaadalahsebagaiberikut : Perhatikanbahwa : a= r cosθdanb = r sin θ a’=OA’ cos 45 danb’ = OA’ sin 45 OA’=r cos (45 – θ) Maka : a’= r cos (45 – θ) cos 45 = r cos 45 cos 45 cosθ + r cos 45 sin 45 sin θ = Karena a’ = b’, maka b’ =

6. Sehingga diperoleh : Matriktransformasiuntuktitik yang diproyeksikanpadagarisy = x

7. Translasi • Suatu titik atau sistem mengalami pergeseran namun tidak merubah bentuk, karena setiap titik penyusun sistem mengalami pergeseran yang sama. • Contoh : Sebuah titik P(x,y) ditranslasikan sejauh a satuan sepanjang sumbu x dan y satuan sepanjang sumbu y, diperoleh peta titik P’(x’,y’). Y = P’(x+a,y+b) P’(x’,y’) y’ T= a b b y P(x,y) a X x O x’

8. P’(x’,y’) dy dx P(x,y) Translasi dari titik P ke titik P’ secara linier. x’ = x + dx y’ = y + dy Model Matrik:

9. Sebuahbuku yang terletakdiatasmejadigesersejauhh, makasetiaptitik yang menyusunbukutersebutharusbergesersejauhhjuga. Bukubergeserdalamsatuarahyaituarah x positif

10. Bagaimana jika buku digeser ke arah x dan y sekaligus ?

11. adalah : • Penulisanprosestranslasititik A menjadititik M, dantitik B menjadititik N dengan

12. Contohsoal : Tentukanbayangandarilingkaran (x – 2)2 + (y – 1)2 = 9 jikaditranslasikanoleh : Jawab : Misalkantitik P(a,b) adalahtitikpadalingkaran, sehinggapersamaandapatditulis : (a – 2)2 + (b – 1)2 = 9. Titik P ditranslasidengan diperolehtitik T’ sbb :

13. a = a’ – 3 dan b = b’ – 3 Maka : a’ = a + 3 dan b’ = b + 3 Substitusikepersamaan : (a’ – 3– 2)2 + (b’ – 4– 1)2 = 9 (a’ – 5)2 + (b’ – 5)2 = 9 Jadibayanganlingkaran : (x – 5)2 + (y – 5)2 = 9 Cara lain : Persamaanlingkaranmempunyaipusat (2,1). Dengandilakukantranslasipusatlingkarandiperoleh : Jadibayanganlingkaran : (x – 5)2 + (y – 5)2 = 9

14. Pencerminan (refleksi) • Transformasi pencerminan /refleksi menghasilkan bayangan yang tergantung pada acuannya.

15. RefleksititikA (a, c) terhadapsumbux menghasilkanbayanganyaituA’(a’, c’), demikianjugauntuktitikBdantitikC. • Refleksi terhadap sumbu x Diperolehpersamaanbahwa : a’ = a, b’ = b, c’= -cdanseterusnyasehinggapersamaanmatriktransformasinyaadalah : RefleksiditulisdengannotasI : A(a,c) A’(a, -c) sumbux Dengannotasimatrik :

16. Refleksi terhadap sumbu y Samasepertirefleksiterhadapsumbux menghasilkanpersamaana’= - a, b’ = - b dan c’ = c danseterusnya.sehinggapersamaanmatriktransformasinyaadalah : RefleksiditulisdengannotasI : A(a,c) A’(-a, c) sumbuy Dengannotasimatrik :

17. Menghasilkanpersamaan : a’= - a, dan c’ = -c, b’= - b, dan c’ = -c, d’= - d, dan c’ = -c, sehinggapersamaanmatriktransformasinyaadalah : • Refleksi terhadap titik asal (0,0) RefleksiditulisdengannotasI : A(a,c) A’(-a,-c) titik(0,0) Dengannotasimatrik :

18. Menghasilkanpersamaan : a’= c, dan c’ = a, b’= c, dan c’’ = b, d’= e, dan e’ = d danseterusnya sehinggapersamaanmatriktransformasinyaadalah : • Refleksi terhadap garis y = x RefleksiditulisdengannotasI : A(a,c) A’(c,a) y = x Dengannotasimatrik :

19. Menghasilkanpersamaan : a’= -c, dan c’ = -a, b’= -c, dan c’’ = -b, d’= -e, dan e’ = -d danseterusnya, sehinggapersamaanmatriktransformasinyaadalah : • Refleksi terhadap garis y = - x RefleksiditulisdengannotasI : A(a,c) A’(-c,-a) y =- x Dengannotasimatrik :

20. Sumbuxdigesersejauhh, menghasilkanpersamaan : a’= a, dan c’ = 2h-c, b’= b, dan c’ = 2h-c, d’= d, dan e’ = 2h-e, sehingganotasipersamaanmatriktransformasinyaadalah : • Refleksi terhadap garis y = h

21. Bukti : Sumbu-xdipindahkansejauhhsehinggasumbu-x yang baruadalahy = h. Makakoefisiensetiaptitikberubahmenjadi (x’, y’) dengan : Kemudiantitiktersebutdirefleksikanpadasumbu-x yang barumenjadi : Tahapterakhir, menggesersumbu-x yang barukesumbu-x semuladenganmemakaitranslasidiperoleh:

22. Sekarang yang digeseradalahsumbuysejauhk, menghasilkanpersamaan : a’= 2k-a, dan c’ = c, b’= 2k-b, dan c’ = c, d’= 2k-d, dan e’ = e, sehingganotasinyaadalah : • Refleksi terhadap garis x = k x=k A(a,c) A’(2k-a,c) Dengannotasimatrik :

23. ContohSoal : Tentukanbayanganjajaran-genjang ABCD dengantitiksudut A(-2,4), B(0,-5) C(3,2) dan D(1,11) jikadirefleksikanterhadapsumbu-x, kemudiandilanjutkandenganrefleksiterhadapsumbu-y. Jawab : Penyelesaiansoaltersebutdilakukandenganduatahapyaitumencaribayanganjajaran-genjang ABCD darirefleksiterhadapsumbu-x, kemudianbayangan yang terjadidirefleksikanterhadapsumbu-y.

24. Refleksi terhadap sumbu-x adalah sebagai berikut :

25. Selanjutnya titik A’, B’, C’ dan D’ direfleksikan pada sb-y

26. Hasilakhirdiperolehjajaran-genjangA’’B’’C’’D’’ dengan titiksudutA’’(2,-4), B’’(0,5), C’’(-3,-2) danD’’(-1,-11). Cobapikirkan : Bagaimanacaramendapatkanmatriktransformasipadasuatusistem yang mengalamirefleksilebihdarisatu kali tetapipenyelesaiannyahanyadenganmengunakansatutahapsaja ?

27. y P’(x’,y’) P(x,y)  x Perputaran (rotasi) • Rotasi adalah perpindahan obyek dari titik P ke titik P’, dengan cara diputar dengan sudut  x’ = x cos() - y sin() y’ = x sin() + y cos()

28. Untukmemudahkanperhitungan, makadibuatnotasidalambentukmatrik : dengan : - sin θdancosθadalahfungsi linier dariθ • x’ kombinasi linier darixdany • y’ kombinasi linier darixdany

29. Bukti : Titik A berpindahketitik A’ sejauhα. Dalamkoordinatkutub, titik A(a,b) ditulis : A(rcosθ, r sin θ). Sedangkan A’(a’,b’) ditulis : A’(r cos (θ + α), r sin (θ + α)). Maka, diperoleh : Matriktransformasi untuktitik yang dirotasi terhadaptitikpusat O (0,0)

30. y P’(x’,y’) my.y P(x,y) x mx.x Penskalaan (dilatasi) • Merupakantransformasisuatutitikatausistemterhadapsuatuacuan yang menyebabkanjaraktitikatausistemberubahdenganperbandingantertentu. (Perpindahantitik P ketitik P’ denganjaraktitik P’ sebesar m kali titik P) x’ = mx x y’ = my y

31. Dalam bentuk matrik dituliskan : • Transformasi ini tidak mengalami perubahan bentuk, hanya mengalami perubahan ukuran karena jarak titik-titik penyusun berubah dengan perbandingan tertentu terhadap acuan.

32. Dikenalsuatuistilahfaktordilatasik yang menyebab-kanperbesaranatauperkecilansuatusistem. • Jikanilaik (bilangannyata): • k> 1 : hasildilatasidiperbesar • -1<k<1 : hasildilatasidiperkecil • k = 1 : hasildilatasisamadenganaslinya. • Contoh : Gambardisampingdilakukandilatasidenganfaktor k = 2. Carilahtitik-titik A’, B’ C’ dan D’ !

33. Transformasidapatdilakukandengan : • Jawab : Jadihasildilatasiterhadaptitik O(0,0): A’(4,6), B’(10,6) C’(12,10), D’ (6,10) Notasi : (0,k) A(a,b) A’(ka,kb)

34. Shear • Pergeseran pada suatu sistem dengan terjadinya perubahan bentuk disebut transformasi shear. • Biasanya digunakan dalam memanipulasi grafik pada komputer. Untuk memberi kesan lain pada obyek jika dilihat dari sudut pandang berbeda. • Ada dua macam transformasi shear yaitu shear terhadap sumbu-x dan shear terhadap sumbu-y

35. Shear terhadapsumbu-x Perubahanterjadipadaabsistitik-titikpadaujungsistem yang tidakterletakpadasumbu-xdenganfaktorsheark (k : bilangannyata)

37. Shear terhadapsumbu-y Perubahanterjadipadaabsistitik-titikpadaujungsistem yang tidakterletakpadasumbu-ydenganfaktorsheark (k : bilangannyata)

39. Contohsoal : Tentukantitikkoordinatbayangandarisebuahbangunsegitiga ABC dengan A(2,0), B(6,0), C(0,4) jikasegitigatersebutdishearterhadapsumbu-xdenganfaktorshear k=3 sertasketsakanbayangan yang terbentuk. Jawab : Sketsabayangan :

41. Koordinat Homogen • Koordinathomogenadalahrepresentasikoordinat 2 dimensidengan 3 vektor Koordinathomogen

42. KomposisiTransformasi • Komposisitransformasiadalahmenggabungkanbeberapatranformasi, sehinggadapatmenghasilkanbentuktransformasi yang lebihkompleks • Dapatdilakukan 3 transformasidalamsebuahmatriktunggal : - operasi yang dilakukanadalahperkalianmatrik - ketikamentransformasikansuatutitik, tidakadapenangankhusus : matrik . Vektor - transformasigabungan : matrik . matrik

43. Macamkomposisitransformasi : • Rotasisebagaititikperubahan : Translasi – Rotasi – Translasi • Skalasebagaititikperubahan : Translasi – Skala – Translasi • Perubahansistemkoordinat : Translasi – Rotasi – Skala

49. Latihan : • Jikatitik (a,b) direfleksikanterhadapsumbu-y, kemudiandilanjutkandengantransformasisesuaimatrikmenghasilkantitik (1, -8). Tentukannilaiadanb. • Tentukanmatrik yang bersesuaiandengandilatasipusat (0,0) danfaktorskala 3 dilanjutkandenganrefleksiterhadapgarisy = x. • Buktikanbahwa : merupakanmatriktransformasiuntuktitik yang dirotasiterhadaptitik P(m,n)